人教版新课标A选修2-3第一章 计数原理综合与测试练习

章末达标测试(一)

(本卷满分150分，时间120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有

A．210个　　B．300个　 　C．464个　　 D．600个

解析　由于组成无重复数字的六位数，个位数字小于十位的与个位数字大于十位的一样多，所以有＝300(个)．

答案　B

2．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有

A．7种      B．8种       C．6种       D．9种

解析　要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，买2张IC卡有3种方法，买3张IC卡有2种方法，共有2＋3＋2＝7种不同的买法．

答案　A

3．若A＝6C，则m等于

A．9        B．8         C．7          D．6

解析　由m(m－1)(m－2)＝6·，解得m＝7.

答案　C

4．(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n＋2(x≠－1，n∈N*)的展开式中x2的系数是

A．C     B．C      C．C－1     D．C－1

解析　先把(1＋x)3，(1＋x)4，…，(1＋x)n＋2看作等比数列求和．

原式＝＝[(1＋x)n＋3－(1＋x)3]，

原式展开式中x2的系数就是(1＋x)n＋3与(1＋x)3展开式中x3的系数之差，C－C＝C－1，故选D.

答案　D

5．若从1，2，3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有

A．66种         B．63种        C．61种         D．60种

解析　从1，2，3，…，9这9个数中同时取4个不同的数，其和为奇数的取法分为两类：第一类取1个奇数，3个偶数，共有CC＝20种取法；第二类是取3个奇数，1个偶数，共有CC＝40种取法．故不同的取法共有60种，选D.

答案　D

6．五种不同商品在货架上排成一排，其中A，B两种必须连排，而C，D两种不能连排，则不同排法共有

A．12          B．20           C．24             D．48

解析　先排除C，D外的商品，利用捆绑法，将A，B看成一个整体，有AA种排法，再将C，D插空，共有AAA＝24种排法．

答案　C

7．已知展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64，则n等于

A．4        B．5         C．6          D．7

解析　展开式中，各项系数的和为4n，二项式系数的和为2n，由已知得2n＝64，所以n＝6.

答案　C

8．等腰三角形的三边均为正整数，它的周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为

A．8        B．9        C．10          D．11

解析　共有(1，1，1)，(1，2，2)，(1，3，3)，(1，4，4)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，所以不同形状的三角形的种数为10种．

答案　C

9．形如45 132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为

A．20       B．18          C．16        D．11

解析　由题可知，十位和千位只能是4，5或3，5，若十位和千位排4，5，则其他位置任意排1，2，3，则这样的数的个数有AA＝12；若十位和千位排5，3，这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻，1，2在其余位置上任意排列，则这样的数的个数有AA＝4，综上，共有16个．

答案　C

10．设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为

A．－20        B．20         C．－15         D．15

解析　当x>0时，f[f(x)]＝＝的展开式中，常数项为C(－)3＝－20.

答案　A

11．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为

A．3×3!       B．3(3！)3       C．(3！)4        D．9!

解析　采用捆绑法，不同坐法种数为A(AAA)＝(3！)4.

答案　C

12．如图所示，环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为

A．96       B．84         C．60        D．48

解析　分三种情况讨论：①种四种颜色的花：A种；②种三种颜色的花：若A，C同色，有(4×A)种种法，若B，D同色，有(4×A)种种法；③种两种颜色的花：只能是A，C同色，B，D同色，有(4×3)种种法，综上可知，一共有A＋4×A＋4×A＋4×3＝84种不同的种法．

答案　B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)

13．(2018·天津)在的展开式中，x2的系数为________．

解析　的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝Cx5－，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C＝.

答案　

14．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．

解析　先让5名大人全排列，有A种排法，两个小孩再依条件插空，有A种方法，故共有AA＝1 440种排法．

答案　1 440

15．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项为________．

解析　由题意知n＝8，通项为Tk＋1＝(－1)k·C k8··x8－k，令8－k＝0，得k＝6，故常数项为第7项，且T7＝(－1)6··C＝7.

答案　7

16．在某次中俄海上联合搜救演习中，参加演习的中方有4艘船，3架飞机；俄方有5艘船，2架飞机，若从中、俄两组中各选出2个单位(1架飞机或1艘船都作为一个单位，所有的船只两两不同，所有飞机两两不同)，且选出的4个单位中恰有一架飞机的不同选法共有________．

解析　若选出的一架飞机是中方的，则选法是CCC＝120种；若选出的一架飞机是俄方的，则选法有CCC＝60种，故不同选法共有120＋60＝180(种)．

答案　180种

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(10分)若的展开式中的所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．

解析　由题意知2n＝64，所以n＝6，所以的展开式中二项式系数最大的项为T4＝C·x3·＝C＝20.

答案　T4＝20

18．(12分)有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋．现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？

解析　设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：

第一类：A中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝6(种)；

第二类：C中选1人参加象棋比赛，B中选1人参加围棋比赛，方法数为C·C＝12(种)；

第三类：C中选1人参加围棋比赛，A中选1人参加象棋比赛，方法数为C·C＝8(种)；

第四类：C中选2人分别参加两项比赛，方法数为A＝12(种)；

由分类加法计数原理，选派方法数共有：6＋12＋8＋12＝38(种)．

答案　38

19．(12分)二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍．

求：(1)n；

(2)展开式中的所有的有理项．

解析　(1)二项展开式的通项Tr＋1＝C＝(－1)rCx－n＋r.

依题意，C＝4(－1)2C，解得n＝6.

(2)由(1)得Tr＋1＝(－1)r·Cx－(6－4r)，当r＝0，3，6时为有理项，故有理项有T1＝，T4＝－x2，T7＝.

答案　(1)6　(2)T1＝，T4＝－x2，T7＝

20．(12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4，5，6，7，8}．

(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？

(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？

解析　由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N*，所以x为3，4，5，6，7，即A＝{3，4，5，6，7}，所以A∪B＝{3，4，5，6，7，8}．

(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A＝120个三位数．

(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，有C·C·A＝180个满足题意的自然数；

若不从集合A中取元素3，则有CCA＝384个满足题意的自然数．

所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.

答案　(1)120　(2)564

21．(12分)已知(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.

(1)求a2；

(2)求a1＋a2＋…＋a10；

(3)求(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2.

解析　(1)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5.

(x－1)5展开式的通项为C·(－1)r·x5－r(0≤r≤5)，

(x－2)5展开式的通项为C·(－2)s·x5－s(0≤s≤5)，

所以(x2－3x＋2)5展开式的通项为C·C·(－1)r＋s·2s·x10－r－s，

令r＋s＝8，可得或或

所以展开式中含x2项的系数为C·C·25＋C·C·24＋C·C·23＝800，即a2＝800.

(2)令f(x)＝(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，当x＝0时，a0＝f(0)＝25＝32；

当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f(1)＝0.

所以a1＋a2＋…＋a10＝－32.

(3)(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝f(1)·f(－1)＝0.

答案　(1)800　(2)－32　(3)0

22．(12分)把4位男售票员和4位女售票员平均分成4组，到4辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况．

(1)有几种不同的分配方法？

(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？

(3)男售票员和女售票员分别分组，有几种不同的分配方法？

解析　(1)男女合在一起共有8人，每个车上2人，可以分四个步骤完成，先安排2人上第一辆车，共有C种，再安排第二辆车共有C种，再安排第三辆车共有C种，最后安排第四辆车共有C种，这样不同的分配方法有C·C·C·C＝2 520(种)．

(2)要求男女各1人，因此先把男售票员安排上车，共有A种不同方法，同理，女售票员也有A种方法，由分步乘法计数原理，男女各1人的不同分配方法为A·A＝576(种)．

(3)男女分别分组，4位男售票员平均分成两组共有＝3种不同分法，4位女售票员平均分成两组也有＝3种不同分法，这样分组方法就有3×3＝9(种)．

对于其中每一种分法又有A种上车方法，因而不同的分配方法有9·A＝216(种)．

答案　(1)2 520　(2)576　(3)216