【数学】广西天等县高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：共12题，每小题5分，共60分。在给出的四个选项中只有一个是符合题意的。
1.复数满足（为虚数单位），则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2.在极坐标系中，点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线，则曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.若复数（为虚数单位），其中是实数，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则（ ）
A. B. C. D.
6.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
8.在直角坐标系中，曲线的方程为：，直线的参数方程为（为参数），若直线与曲线相交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
9.极坐标方程表示的图形是（ ）
A.两个圆 B.一个圆和一条直线
C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
10.函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
11.设复数满足（为虚数单位），在复平面内对应的点为,则（ ）
A. B. C. D.
12.已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数（为虚数单位），则的共轭复数______________.
14.在极坐标系中，已知两点，，则_____________.
15.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.
16.如果圆柱轴截面的周长（单位：）为定值，则体积最大值为____________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明及证明过程。
17.（10分）设，复数（为虚数单位）是纯虚数.
（1）求的值；
（2）若是方程的一个根，求实数，的值.
18.（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为.
（1）求与的极坐标方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
19.（12分）在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数），曲线：过点.
（1）求曲线的方程；
（2）若和交于两点，求的值.
20.（12分）已知.
（1）求的极值；
（2）若直线是函数图象的一条切线，求的值.
21.（12分）已知曲线的参数方程为（是参数），点是曲线上的动点.
（1）求曲线的普通方程；
（2）已知点是直线上的动点，若之间的距离最小值为，求实数的值.
22.（12分）已知函数，；.
（1）求的最大值；
（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；
参考答案
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | C | B | D | A | C | D | C | B | A | D |
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．解：（1）由题意得......................................2分
解得，............................................... ........4分
所以................................................................5分
由（1）知，是方程的一个根，
所以...........................................6分
即..................................................8分
则，解得...............................................10分
18．解：（1）由消去，得....................1分
根据...........................................................2分
的极坐标方程为................................................4分
的极坐标方程为................................................6分
（2）射线与的交点的极径为...........................8分
射线与的交点的极径为........... ....................10分
所以.........................................................12分
19.解：（1）由曲线：过点，有，解得............2分
所以曲线的方程为................................................... ...3分
（2）曲线的参数方程可化为（为参数）............................5分
代入曲线方程得...........................................7分
设所对应的曲线的参数为，
所以，....................................................9分
则...................................................................10分
所以...............................12分
20.解：（1） ................................1分
令，解得或 .................................................2分
令，解得；令，解得......................4分
则的单调递增区间为 单调递减区间为 和..............5分
所以当时，取得极小值.....................................6分
当时，取得极大值. .............................................7分
（2）令，则，解得...............................8分
①当时，，则............................................10分
②当时，，则
所以当直线是函数图象的一条切线时，或................12分
21.解：（1）由得..........................................1分
又...............................................................2分
消去参数，得...................................................... ..4分
（2）点是曲线上的动点，设...................................5分
之间的距离最小值即为点到直线的距离最小值............................6分
根据点到直线的距离公式，点到直线的距离
................8分
因为，所以当时，取得最小值，即.................9分
又之间的距离最小值为，则..........................10分
解得 .故的值为..........................................12分
22．解：（1）......................................... ......1分
当时，；当时，..................................2分
所以函数在上单调递增，在上单调递减............................3分
所以，即的最大值为........................................4分
（2），总存在使得成立，等价于...............................................................5分
由（1）知
当时，在上单调递增，恒为正，符合题意..................6分
当时，，令解得，令解得，所以在上单调递减，在上单调递增............................7分
若，即时，，所以，即；........8分
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，而，在为正，在为负，所以；....10分
若，即时，在上单调递减，不符合题意；.....11分
综上，的取值范围是........................................................12分
