【数学】云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）
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高二下学期期中考试（理）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1．若集合，，则（ ）
2．复数等于（ ）
3. 已知,,,则向量与的夹角是（ ）
4. 已知函数,则函数在处的切线方程为（ ）
5.按图所示的程序框图运算,若输入,则输出的值是（ ）
6.设随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）
7.在的展开式中，的系数等于（ ）
8.的值为（ ）
9.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小
组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
种 种 种 种
10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数 的图象,以下关于函数的判断正确的是（ ）
点为函数图象的一个对称中心
为函数图象的一条对称轴
函数在区间上单调递减
函数在区间上单调递减
11.已知定义域为上的函数既是奇函数又是周期为3的周期函数，当时,则函数在区间上的零点个数是（ ）
12.已知双曲线的左、右焦点,是半焦距,是双曲线上异于实轴端点的点,满足=,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是 .
14.若一个底面是正方形的直四棱柱的正(主)视图和侧视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的体积是 .
15.角的顶点为坐标原点,始边与轴正半轴重合且终边过两直线与
的交点,则 .
16.某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.
18. (本小题满分12分)
在中，分别为内角的对边，且.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，，求.
19. (本小题满分12分)
已知矩形，面，分别是的中点，设，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的大小.
20. (本小题满分12分)
张先生家住小区,他在科技园区工作,从家开车到公司上班有,两条路线(如图), 路线上有,,三个路口,各路口遇到红灯的均为；上有,两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.
(1)若走路线,求最多遇到1次红灯的概率；
(2) 若走路线,求多遇到红灯的次数的数学期望.
21. (本小题满分12分)
已知椭圆的右顶点,离心率为,为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）已知(异于点)为椭圆上一个动点,过作线段的垂线交椭圆于点,求的取值范围.
22. (本小题满分12分)
已知函数
（Ⅰ）若,求函数的极值和单调区间；
（Ⅱ）若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1 A 2 B 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C
9 D 10 C 11 D 12 B
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．4 14. 15. 16.600
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.解:(1)设成等差数列的三个数分别为,,依题意得: ………（1分）
所以数列中的、、依次为,,,
由 , ……………………………………………（2分）
解得 或(舍), ……………………………………………（3分）
故数列 公比为 …………………………………………（4分）
由 得, ……………………………………………………（5分）
所以 . …………………………………（6分）
(2)由(1)知数列的前项和 ,
即 , …………………………………………………（7分）
所以 . ………………………………………………（8分）
因为 , ……………………………………（9分）
所以数列是以为首项,公比为的等比数列. ……………………（10分）
18.解：（1）因为, ………………………（1分）
所以 ,………………（2分）
即 ,……………………………（3分）
得 ，………………………………………（4分）
因为 ，所以 ,…………………………（5分）
所以 .…………………………………………（6分）
（2）由，所以，……………（8分）
所以， ………………（10分）
因为 ， ………………………………（11分）
所以 .………………………………（12分）
19.解法一:(1)如图连接,交于点,因为是矩形,所以是与的中点,再连,. …（2分）
因为分别是的中点，
所以 ,
所以. ………………………………………（3分）
又因为面,所以面,
. …………………………………………(4分）
又因为面,面,所以面,…………（5分）
而面,所以. ………………（6分）
(2) 因为面且是矩形,所以由三垂线定理知,
所以就是二面角的平面角, …………………………（9分）
因为且所以, ………………（11分）
故二面角的平面角为.…………（12分）
解法二:(1)证明:如图,以为原点,分别以为轴建立平面直角坐标系, （1分）
则,,,,
,, , ……（3分）
,，…………….（4分）
.…………（6分）
(2) 由(1)知,,，，……（7分）
可知平面的法向量为，…………………………………………………（8分）
设平面的法向量为,
则 ，解得.………………（10分）
设二面角的平面角为，
则，……………………………………………………（11分）
故二面角的平面角为.………………………………………………（12分）
20.解：（Ⅰ）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则
.……………………………………………(5分)
（Ⅱ）依题意，的可能取值为. ………………………………………………(6分)
，，
. ………………………………………………………………(9分)
随机变量的分布列为：
…………………………………(10分)
. …………………………………(12分)
21．解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以.
又 ，得 . 所以.
所以椭圆的方程为 .………………………………………………………（5分）
（Ⅱ）当直线的斜率为时，，为椭圆的短轴，则.
所以 . …………………………………………………………………………（6分）
当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，
则直线的方程为 .…………………………………………………(7分)
由 得 ，
即 ，
所以 ，所以 . ……………………………………（8分）
所以 ，
即 .同理可得.
所以 .………………………………………………（10分）
设 ，则，.
.
令 ，所以是一个增函数，
所以 .
综上，的取值范围是.………………………………………………（12分）
22.解：（1）因为 ， ……………………………………（2分）
当时，，令，得，…………………………… （3分）
又的定义域为，
，随的变化情况如下表:
1 | |||
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以时，取得极小值为.
的单调递增区间为，单调递减区间为.……………………………………（5分）（2）因为，………………………………………（6分）
且.令 ，得，
若在区间上存在一点，使得成立，
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. …………………………（7分） 当，即时，对成立，
所以，在区间上单调递减，
故在区间上的最小值为，
由，得，即.…………………………………………（9分）
当，即时，
若，则对成立，所以在区间上单调递减，
所以，在区间上的最小值为，
显然，在区间上的最小值小于不成立. ………………………………（10分）
若，即时，则有
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以在区间上的最小值为.
由，
得 ，解得，即.…………………………………………(11分)
综上，由可知符合题意.……………………………(12分)
