【数学】山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年

高二下学期期中考试（理）

时间：120分钟   满分：150分  

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）

1．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1,2,3,4,5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是(　　)

A．6            B．7          C．10          D．25

2．从6名男生和3名女生中选出4名代表，其中必须有女生，则不同的选法种数为(　　)

A．168          B．45         C．60          D．111

3．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为(　　)

A．0.12         B．0.88       C．0.28        D．0.42

4．设随机变量X的概率分布列如表所示，则P(|X－3|＝1)＝(　　)

A．          B．          C．         D．

5．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是(　　)

A.              B.             C.                D.

6．如果随机变量X～N(4,1)，则P(X≤2)等于(　　)(注：P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5)

A．0.210        B．0.022 8        C．0.045 6         D．0.021 5

7．已知函数在上单调递减，且在区间上既有最大值，又有最小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

8.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)

A．0.648         B．0.432            C．0.36            D．0.310

9．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为(　　)

A．150          B．180              C．200              D．280

10．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是的事件为(　　)

A．恰有1个是坏的   B．4个全是好的

C．恰有2个是好的   D．至多有2个是坏的

11．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，，的概率也为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　)

A．D(ξ1)＞D(ξ2)

B．D(ξ1)＝D(ξ2)

C．D(ξ1)＜D(ξ2)

D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

12．已知函数的两个极值点分别在与内，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知随机变量，随机变量，则____________.

14.随机变量X的分布列如下表：

其中x，y，z成等差数列，若E(X)＝，则D(X)的值是________．

15．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________.

16．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的均值E(X)＝________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．老师要从10篇课文中随机抽取3篇让学生背诵，规定至少要背出其中的2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：

(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列(可用算式表示)；

(2)他能及格的概率．

18．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数．

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

(3)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．

19．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．

(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；

(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．

20．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．

21．已知函数

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）证明：恒成立．

22．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表

乙公司送餐员送餐单数频数表

(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率．

(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：

①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；

②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

参考答案

一、1．C   2．D    3．D    4．B   5．D　  6．B　7．C   8. A    9．A　  10．C　11．A   12．A

二、13．      14.       15．0.9477      16.　

三．17．解　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，则X为随机变量，且X服从参数N＝10，n＝3，M＝6的超几何分布，它的可能取值为0,1,2,3，则可得其概率分布列为

(2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝＋＝＝.

18．解：(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CC＋CC种，后排有A种，

共(CC＋CC)·A＝5 400(种)．

(2)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360(种)．

(3)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其中3人全排有A种，共C·C·A＝360(种)．

19．解　记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件Bj(j＝3,4,5)．

(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则

A＝A3A4∪B3B4，由于各局比赛结果相互独立，故

P(A)＝P(A3A4∪B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)

＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)

＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.

(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

B＝A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5，

由于各局比赛结果相互独立，故

P(B)＝P(A3A4∪B3A4A5∪A3B4A5)

＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)

＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)·P(A5)

＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.

20．解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P1＝×＝，

两人都付40元的概率为P2＝×＝，

两人都付80元的概率为

P3＝×＝×＝，

故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：

P(ξ＝0)＝×＝，

P(ξ＝40)＝×＋×＝，

P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，

P(ξ＝120)＝×＋×＝，

P(ξ＝160)＝×＝.

ξ的分布列为：

E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.

D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.

21.解（1），

当时，恒成立，所以，在上单调递增；

当时，令，得到，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）证法一：由（1）可知，当时，，

特别地，取，有，即，所以（当且仅当时等号成立），

因此，要证恒成立，只要证明在上恒成立即可，

设 ，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增．

所以，当时，，即在上恒成立．

因此，有，又因为两个等号不能同时成立，所以有恒成立．

证法二：记函数，则，

可知在上单调递增，又由，知，在上有唯一实根，

且，则，即（*），

当时，，单调递减；当时，，单调递增，

所以，结合（*）式，知，

所以，

则，即，所以有恒成立．

22．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，

则P(M)＝＝.

(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a，

当a＝38时，X＝38×6＝228，

当a＝39时，X＝39×6＝234，

当a＝40时，X＝40×6＝240，

当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，

当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.

所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.

故X的分布列为：

所以E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8.

②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为

38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，

所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元．

由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．

因为238.8＜241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.