【数学】上海市松江区2019-2020学年高二下学期期末考试试题
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一．填空题
1．已知正方体的棱长为a，异面直线BD与的距离为________
2．若排列数 ，则m＝________．
3．若关于x的一元二次方程（其中）有一个根为1＋i （i是虚数单位），则q的值为________
4．正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为6，则此三棱柱的体积为________
5．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m＋n＝________
6．已知复数z满足，则（其中i是虚数单位）的最小值为________
7．已知，则向量与的夹角是________
8．二项式的展开式中，各项的系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________
9．从分别标有数字1， 2， …， 9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上数字的奇偶性不同的概率是________
10．设球O的表面积为16π，圆是球O的一小圆， ， A、B是圆上的两点，若A、B两点间的球面距离为，则________
11．如图，两个棱长为1的正方体排成一个四棱柱， AB是一条侧棱， 是正方体其余的10个顶点，则的不同值的个数为________个
12．已知棱长为1的正方体中，点E为侧面的中心，点F在棱AD上运动，正方体表面上的点P满足，则所有满足条件的点P构成图形的面积为________
二．选择题
13． “两条直线没有公共点”是"两条直线为异面直线”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
14．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体400名学生中抽25名学生做牙齿健康检查，现将400名学生从1到400进行编号，求得间隔数，即每16人抽取—个人，在1—16中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从33—48这16个数中应取的数是（ ）
A．40 B． 39 C．38 D． 37
15．设a、b是两条不同的直线， α、β是两个不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
16．已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则不同点的坐标个数为（ ）
A． 36 B．35 C．34 D． 33
三．解答题
17．已知复数 (其中i是虚数单位)．
（1）求z： （2）若，求a的取值范围
18．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为4， 是底面半径，且为线段AB的中点，如图所示．
（1）求圆锥的表面积；
（2）求异面直线PM与OB所成的角的大小．
19．为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办“2020五五购物节”活动，某商家提供1000台吸尘器参加此项活动，其中豪华型吸尘器400台，普通型吸尘器600台．
（1）豪华型吸尘器前6天的销量分别为： 9、12．x、y、10、10 （单位：台） ，
把这6个数据看作一个总体，其均值为10，方差为3，求的值；
（2）若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为25的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2台吸尘器，求至少有1台豪华型吸尘器的概率（用最简分数表示）．
20．如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，AB⊥AC， M是的中点， N是BC的中点，点P在直线上，且满足．
(1)证明： PN⊥AM；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取得最大值时的正切值；
（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．
21．我们称元有序实数组为n维向量， 为该向量的范数，已知n维向量，其中，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为．
(1)求和的值； (2)求值； (3)当n为奇数时，证明：．
