提分专练08　以圆为背景的综合计算与证明

这是一份提分专练08　以圆为背景的综合计算与证明，共14页。
提分专练(八)　以圆为背景的综合计算与证明|类型1|　圆与切线有关的问题1.如图T8-1,☉O的直径为AB,点C在圆周上(异于A,B),AD⊥CD.图T8-1(1)若BC=3,AB=5,求AC的值;(2)若AC是∠DAB的平分线,求证:直线CD是☉O的切线.      2.[2018·金华、丽水] 如图T8-2,在Rt△ABC中,点O在斜边AB上,以O为圆心,OB为半径作圆,分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知∠CAD=∠B.图T8-2(1)求证:AD是☉O的切线;(2)若BC=8,tanB=,求☉O的半径.     |类型2|　圆与平行四边形结合的问题3.如图T8-3,AB是☉O的直径,点C,D为半圆O的三等分点,过点C作CE⊥AD,交AD的延长线于点E.图T8-3(1)求证:CE为☉O的切线;(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.     4.[2018·河南] 如图T8-4,AB是☉O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.图T8-4(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交☉O于点G.填空:①当∠D的度数为　　　　时,四边形ECFG为菱形; ②当∠D的度数为　　　　时,四边形ECOG为正方形.      |类型3|　圆与三角函数结合的问题5.[2018·绵阳] 如图T8-5,AB是☉O的直径,点D在☉O上(点D不与A,B重合).直线AD交过点B的切线于点C,过点D作☉O的切线DE交BC于点E.图T8-5(1)求证:BE=CE;(2)若DE∥AB,求sin∠ACO的值.     6.[2018·成都] 如图T8-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.图T8-6(1)求证:BC是☉O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sinB=,求DG的长.      |类型4|　圆与相似三角形结合的问题7.[2018·日照] 如图T8-7所示,☉O的半径为4,点A是☉O上一点,直线l经过点A.P是☉O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交☉O于点E,直径PD延长线交直线l于点F,点A是的中点.图T8-7(1)求证:直线l是☉O的切线;(2)若PA=6,求PB的长.       8.[2018·内江] 如图T8-8,以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O交斜边AC于点D,过圆心O作OE∥AC,交BC于点E,连接DE.图T8-8(1)判断DE与☉O的位置关系并说明理由;(2)求证:2DE2=CD·OE;(3)若tanC=,DE=,求AD的长.  
参考答案1.解:(1)∵AB是☉O的直径,C在☉O上,∴∠ACB=90°,又∵BC=3,AB=5,∴由勾股定理得AC=4.(2)证明:如图,连接OC,∵AC是∠DAB的平分线,∴∠DAC=∠BAC.又∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°,∴∠DCA=∠CBA.又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵∠OAC+∠OBC=90°,∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°,∴DC是☉O的切线.2.解:(1)证明:连接OD.∵OB=OD,∴∠3=∠B.∵∠B=∠1,∴∠3=∠1.在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠4=180°-(∠2+∠3)=180°-90°=90°.∴OD⊥AD.∴AD是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r.在Rt△ABC中,AC=BC·tanB=8×=4,∴AB===4.∴OA=4-r.在Rt△ACD中,tan∠1=tanB=,∴CD=AC·tan∠1=4×=2,∴AD2=AC2+CD2=42+22=20.在Rt△ADO中,OA2=OD2+AD2,∴(4-r)2=r2+20.解得r= .故☉O的半径是 .3.解:(1)证明:如图,连接OD,∵点C,D为半圆O的三等分点,∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°.∵OA=OD,∴△AOD为等边三角形,∴∠DAO=60°,∴AE∥OC.∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE为☉O的切线.(2)四边形AOCD为菱形.理由:∵OD=OC,∠COD=60°,∴△OCD为等边三角形,∴CD=CO.同理:AD=AO.∵AO=CO,∴AD=AO=CO=DC,∴四边形AOCD为菱形.4.解:(1)证明:连接OC.∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°.∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠DCF=90°.∴∠DCE+∠ECF=90°,∠D+∠EFC=90°.由(1)得∠ECF=∠CFE,∴∠D=∠DCE.∴ED=EC.∴ED=EC=EF.即点E为线段DF中点.①四边形ECFG为菱形时,CF=CE.∵CE=EF,∴CE=CF=EF.∴△CEF为等边三角形.∴∠CFE=60°.∴∠D=30°.②四边形ECOG为正方形时,△ECO为等腰直角三角形.∴∠CEF=45°.∵∠CEF=∠D+∠DCE,∴∠D=∠DCE=22.5°.5.解:(1)证明:连接OD,如图,∵EB,ED为☉O的切线,∴EB=ED,OD⊥DE,AB⊥CB,∴∠ADO+∠CDE=90°,∠A+∠ACB=90°,∵OA=OD,∴∠A=∠ADO,∴∠CDE=∠ACB,∴EC=ED,∴BE=CE.(2)作OH⊥AD于H,如图,设☉O的半径为r,∵DE∥AB,∴∠DOB=∠ODE=90°,∴四边形OBED为矩形,而OB=OD,∴四边形OBED为正方形,∴DE=CE=r,易得△AOD和△CDE都为等腰直角三角形,∴OH=DH=r,CD=r,在Rt△OCB中,OC==r,在Rt△OCH中,sin∠OCH===,即sin∠ACO的值为.6.[解析] (1)连接OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠DAC=∠ODA,得OD∥AC,切线得证;(2)连接EF,DF,根据直径所对圆周角为直角,证明∠AFE=90°,可得EF∥BC,因此∠B=∠AEF,再利用同弧所对圆周角相等可得∠B=∠ADF,从而证明△ABD∽△ADF,可得AD与AB,AF的关系;(3)根据∠AEF=∠B,利用三角函数,分别在Rt△DOB和Rt△AFE中求出半径和AF,代入(2)的结论中,求出AD,再利用两角对应相等,证明△OGD∽△FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG的值,即可求得DG的长.解:(1)证明:连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠DAC,∴∠DAC=∠ODA,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C=90°,∴OD⊥BC.∵OD为☉O的半径,∴BC是☉O的切线.(2)连接EF,DF.∵AE为☉O直径,∴∠AFE=90°,∴∠AFE=∠C=90°,∴EF∥BC,∴∠B=∠AEF.∵∠ADF=∠AEF,∴∠B=∠ADF.又∵∠OAD=∠DAC,∴△ABD∽△ADF,∴=,∴AD2=AB·AF,∴AD=.(3)设☉O半径为r,在Rt△DOB中,sinB==,∴=,解得r=5,∴AE=10.在Rt△AFE中,sin∠AEF=sinB=,∴AF=10×=,∴AD==.∵∠ODA=∠DAC,∠DGO=∠AGF,∴△OGD∽△FGA,∴==,∴=,∴DG=.7.解:(1)证明:连接OA.∵OA=OP,∴∠OAP=∠OPA.∵点A是的中点,∴=,∴∠DPA=∠APB,∴∠OAP=∠APB.∵PB⊥l,∴∠ABP=90°,∴∠PAB+∠APB=90°,∴∠PAB+∠OAP=90°,即OA⊥l,∴直线l是☉O的切线.(2)连接AD,∵PD是直径,∴∠PAD=90°,∴∠PAD=∠PBA.∵∠DPA=∠APB,∴△PAD∽△PBA,∴=,即=,∴PB=.8.解:(1)DE与☉O的位置关系是相切.理由:连接OD.∵OE∥AC,∴∠BOE=∠A,∠DOE=∠ADO,∵OA=OD,∴∠ADO=∠A,∴∠BOE=∠DOE,∵OB=OD,OE=OE,∴△BOE≌△DOE,∴∠OBE=∠ODE=90°,∴OD⊥DE,∴DE是☉O的切线.(2)证明:连接BD交OE于F.∵OE∥AC,∴==.∵OA=OB,∴BF=DF,BE=CE,∴EF=CD.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OE∥AC,∴∠OFB=∠ADB=90°,∴∠OBE=∠BFE,∵∠BEO=∠BEF,∴△BEF∽△OEB,∴=,∴BE2=EF·OE=CD·OE.∵AB为直径,AB⊥BE,∴BE是☉O的切线,由(1)得DE也是☉O的切线,∴BE=DE,∴DE2=CD·OE,∴2DE2=CD·OE.(3)由(2)得∠BDC=90°,BE=CE,∴DE=BC,∵DE=,∴BC=5.在Rt△ABC中,tanC==,∴AB=,∴AC==.∵∠ABC=∠ADB=90°,∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC,∴=,∴AB2=AD·AC,∴AD=2÷=.