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数学九年级下册第二十七章 相似综合与测试课时练习
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这是一份数学九年级下册第二十七章 相似综合与测试课时练习，共31页。试卷主要包含了若a，若x，若两个相似多边形的面积之比为1，△ABC与△DEF的相似比为1等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3bB．3a=2bC．D．
2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5B．﹣C．D．5
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
6．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A．B．C．D．2
7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．=D．=
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A．B．1C．D．2
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）
二．填空题
13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
答案解析
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3bB．3a=2bC．D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；
C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；
D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．
故选B．
【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5B．﹣C．D．5
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
∵2y=3z，
∴z=2k，
∴==﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．
4．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．
【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB==5，
∵l2∥l3，
∴=
∴DG=CE=，
∴BD=BG﹣DG=7﹣=，
∴=．
故选A．
【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为=1：2．
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A．B．C．D．2
【考点】相似多边形的性质．
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴=，
=，
解得x1=，x2=（负值舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故选B．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】相似三角形的判定．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．=D．=
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D为AB中点，
∴DF=AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，即，
解得：DE=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A．B．1C．D．2
【考点】相似三角形的性质．
【专题】网格型．
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，
可得∠QMB=∠P，
∵PB′=2，PQ=2，B′Q=4，
∴PB′2+PB′2=B′Q2，
∴△QPB′是直角三角形，
∴tan∠QMB=tan∠P===2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）
【考点】平面直角坐标系中的位似变换．
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴=，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
二．填空题
13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．
14．（2016•济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴=，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD=∠ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴=，=，
解得x1=，x2=（不合题意舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故答案为．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
三．解答题（共52分）
17．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=．
∴AD2==，AC•CD=1×=．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案；
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
19．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；
（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∵BC•EF=BE•CE，
∴EF=2，CF==1，
∴E（2，2），或（3，）．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；
（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．
【解答】（1）证明：∵FG∥AB，
∴∠BAD=∠AGF．
∵∠BAD=∠GAF，
∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．
∵BE=AF，∴FG=BE，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）
（2）解：△ABG∽△AGF，
∴，
即，
∴AF=3.6，
∵BE=AF，
∴BE=3.6．
【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．
21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
【考点】利用标杆测量物体的高度．
【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则=，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴=，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．
22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
【考点】利用镜子测量物体的高度．
【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；
（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．
【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，
∴．
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，
∴，
解得：LD=7，
∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，
∴，
解得：LC=70，
∴相机的焦距应调整为70mm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3bB．3a=2bC．D．
2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5B．﹣C．D．5
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A．B．C．D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
6．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A．B．C．D．2
7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．=D．=
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A．B．1C．D．2
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）
二．填空题
13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= ．
14．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
三．解答题
17．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
答案解析
一．选择题
1．若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（ ）
A．2a=3bB．3a=2bC．D．
【考点】比例的性质．
【分析】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案．
【解答】解：A、2a=3b⇒a：b=3：2，故选项错误；
B、3a=2b⇒a：b=2：3，故选项正确；
C、=⇒b：a=2：3，故选项错误；
D、=⇒a：b=4：3，故选项错误．
故选B．
【点评】考查了比例的性质．在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积．
2．若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（ ）
A．﹣5B．﹣C．D．5
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据比例设x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
∵2y=3z，
∴z=2k，
∴==﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”分别表示出x、y、z可以使计算更加简便．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（ ）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．
4．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．
【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB==5，
∵l2∥l3，
∴=
∴DG=CE=，
∴BD=BG﹣DG=7﹣=，
∴=．
故选A．
【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
5．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4B．1：2C．2：1D．4：1
【考点】相似多边形的性质．
【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．
【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为=1：2．
故选：B．
【点评】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（ ）
A．B．C．D．2
【考点】相似多边形的性质．
【分析】可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，
∴四边形ABEF是正方形，
∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴=，
=，
解得x1=，x2=（负值舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故选B．
【点评】考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
7．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【考点】相似三角形的判定．
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABCC．=D．=
【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
9．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案．
【解答】解：∵AF⊥BF，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D为AB中点，
∴DF=AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴∠CBF=∠DFB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，即，
解得：DE=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
故选：B．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
10．△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：16
【考点】相似三角形的性质．
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟记相似三角形周长的比等于相似比是解决问题的关键．
11．如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（ ）
A．B．1C．D．2
【考点】相似三角形的性质．
【专题】网格型．
【分析】根据题意平移AB使A点与P点重合，进而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：平移AB使A点与P点重合，连接B′Q，
可得∠QMB=∠P，
∵PB′=2，PQ=2，B′Q=4，
∴PB′2+PB′2=B′Q2，
∴△QPB′是直角三角形，
∴tan∠QMB=tan∠P===2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确得出△QPB′是直角三角形是解题关键．
12．如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A．（2，1）B．（2，0）C．（3，3）D．（3，1）
【考点】平面直角坐标系中的位似变换．
【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．
【解答】解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，
∴=，又OB=6，AB=3，
∴OD=2，CD=1，
∴点C的坐标为：（2，1），
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．
二．填空题
13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k= 3 ．
【考点】比例的性质．
【分析】根据等比性质，可得答案．
【解答】解：由等比性质，得k===3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．
14．（2016•济宁）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】首先求出AD的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：∵AG=2，GD=1，
∴AD=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴=，
故答案为：．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式求解、计算．
15．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件 ∠ACD=∠ABC（答案不唯一） ，使△ABC∽△ACD．（只填一个即可）
【考点】相似三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】相似三角形的判定有三种方法：
①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
由此可得出可添加的条件．
【解答】解：由题意得，∠A=∠A（公共角），
则可添加：∠ACD=∠ABC，利用两角法可判定△ABC∽△ACD．
故答案可为：∠ACD=∠ABC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法，本题答案不唯一．
16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，将△ABE沿AE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD= ．
【考点】相似多边形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】可设AD=x，由四边形EFDC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解答】解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x﹣1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴=，=，
解得x1=，x2=（不合题意舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故答案为．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
三．解答题（共52分）
17．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=．
∴AD2==，AC•CD=1×=．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
【考点】相似三角形的判定．
【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案；
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
19．（2016•广州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）
（1）求直线AD的解析式；
（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（，），D（0，1）的坐标代入即可；
（2）由直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），得到OB=2，由点D的坐标为（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根据相似三角形的性质得到或，代入数据即可得到结论．
【解答】解：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，
将A（，），D（0，1）代入得：，
解得：．
故直线AD的解析式为：y=x+1；
（2）∵直线AD与x轴的交点为（﹣2，0），
∴OB=2，
∵点D的坐标为（0，1），
∴OD=1，
∵y=﹣x+3与x轴交于点C（3，0），
∴OC=3，
∴BC=5
∵△BOD与△BEC相似，
∴或，
∴==或，
∴BE=2，CE=，或CE=，
∵BC•EF=BE•CE，
∴EF=2，CF==1，
∴E（2，2），或（3，）．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的作出图形是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．
（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；
（2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求线段BE的长．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据FG∥AB，又AD平分∠BAC，可证得，∠AGF=∠GAF，从而得：AF=FG=BE，又因为FG∥AB，所以可知四边形BGFE是平行四边形；
（2）根据△ABG∽△AGF，可得，求出AF的长，再由（1）的结论：AF=FG=BE，即可得BE的长．
【解答】（1）证明：∵FG∥AB，
∴∠BAD=∠AGF．
∵∠BAD=∠GAF，
∴∠AGF=∠GAF，AF=GF．
∵BE=AF，∴FG=BE，
又∵FG∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形．（4分）
（2）解：△ABG∽△AGF，
∴，
即，
∴AF=3.6，
∵BE=AF，
∴BE=3.6．
【点评】解决此类题目，要掌握平行四边形的判定及相似三角形的性质．
21．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．
【考点】利用标杆测量物体的高度．
【分析】根据题意可得：△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则=，
∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m，
∴=，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△DEF∽△DCA是解题关键．
22．如图，是一个照相机成像的示意图．
（1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？
（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
【考点】利用镜子测量物体的高度．
【分析】（1）利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解；
（2）和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可．
【解答】解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，
∴．
（1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，
∴，
解得：LD=7，
∴拍摄点距离景物7米；
（2）拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，
∴，
解得：LC=70，
∴相机的焦距应调整为70mm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
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