长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题答案

这是一份长沙市长郡双语实验中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题答案，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【详解】A、最小旋转角度==120°；
B、最小旋转角度==90°；
C、最小旋转角度==180°；
D、最小旋转角度==72°；
综上可得：顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是A．
故选：A．
2.下列判断正确的是（ ）
A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D.“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选C．
3.已知函数的图象上有三点，，则函数值，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，先根据函数解析式得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，再由，即可得到．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，
∵，，都在反比例函数图象上，且，
∴，
故选：D．
4.已知二次函数的图像如图所示，那么、、的符号为（ ）

A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据开口方向可判断a，根据与y轴的交点可判断c，根据对称轴可判断b.
【详解】∵抛物线开口向下，
∴a0，
∵，
∴b2
【解析】
【分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定2-k的符号，即可解答．
【详解】∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，
∴2-k＜0，
∴k＞2．
故答案为k＞2．
14.如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3，AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_____．

【答案】
【解析】
【分析】根据中心对称图形的性质可得，再利用勾股定理即可得.
【详解】与关于点C成中心对称
故答案为：.
15.二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是________．
【答案】
【解析】
【分析】由当x=-3与x=-1时y值相等，利用二次函数图象的对称性即可求出二次函数图象的对称轴为直线x=-2，此题得解．
【详解】解：∵当x=-3与x=-1时，y值相等，
∴二次函数图象的对称轴为直线x==-2．
故答案为：．
16.如图，△ABC中，点D在边AC上，∠ABD=∠C，AD=9，DC=7，那么AB=____．

【答案】12
【解析】
【详解】∵在△ABC中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB2=AD⋅AC，
而AD=9，CD=7，
∴AC=16，
∴AB=12.
故答案为12.
三、解答题（共66分）
17.计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先运用零指数次幂、负整数指数次幂的法则，特殊角的三角函数值，绝对值运算，然后合并计算是解题的关键．
【详解】解：
．
18.先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，根据分式的混合运算法则计算化简，再代入计算即可作答．
【详解】
，
当时，原式．
19.如图所示，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了到达处，在处看到灯塔在正北方向上．

（1）求这时渔船与灯塔的距离．
（2）若渔船继续向正东方向行驶到达处，求的值．
【答案】（1）这时渔船与灯塔C的距离为
（2）的值是
【解析】
【分析】本题考查了与方位角有关解直角三角形的应用．
（1）在中，，利用正切函数即可求得的长；
（2）由勾股定理求得的长，再由正弦函数的定义即可求解．
【小问1详解】
解：∵A处看到灯塔C在北偏东，
∴，
∵渔船向正东方向航行了到达B处，
∴，
∵ ，
∴；
答：这时渔船与灯塔C的距离为；
【小问2详解】
解：∵，
在中， ，
∴；
答：的值是．
20.为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，某中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生数是______人，圆心角______度；
（2）已知该中学共有1500名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（3）若在这次竞赛中有A、B、C、D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加区级比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
【答案】（1），
（2）600人 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，列表法或树状图法求概率，用样本估计总体：
（1）用等级为“良好”的人数除以等级为“良好”所占的百分比即可求出学生人数，先求出等级为“优异”的学生所占百分比，即可求出圆心角β的度数；
（2）用学生总人数乘以样本中“优异”所占的百分比即可求解；
（3）画树状图得到所有可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再根据概率公式进行计算即可得．
【小问1详解】
解：由图可知：等级为“良好”的人数为：10人，等级为“良好”所占的百分比为：，
∴本次调查的学生数是：（人），
∴，
故答案为：，．
小问2详解】
解：（人），
答：此次竞赛该校获优异等级的学生人数为600人．
【小问3详解】
解：根据题意画出树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果数，恰好抽到A、C两人同时参赛的结果有2种，
∴恰好抽到A、C两人同时参赛的概率．
21.如图，正方形的边长为9，、分别是、边上的点，且.将绕点逆时针旋转，得到.
（1）求证：
（2）当时，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）7.5
【解析】
【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF=45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；
（2）由第一问的全等得到AE=CM=3，正方形的边长为9，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=12﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【详解】（1）∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°．
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
∵，
∴△DEF≌△DMF(SAS)，
∴EF=MF；
（2）设EF=x，则MF=x．
∵AE=CM=3，且BC=9，
∴BM=BC+CM=9+3=12，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=12﹣x．
∵EB=AB﹣AE=9﹣3=6，
在Rt△EBF中，由勾股定理得：EB2+BF2=EF2，
即62+(12﹣x)2=x2，
解得：x=7.5，
则EF=7.5．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解答本题的关键．
22.某小区购进A型和B型两种分类垃圾桶，购买A型垃圾桶花费了2500元，购买B型垃圾桶花费了2000元，且购买A型垃圾桶数量是购买B型垃圾桶数量的2倍，已知购买一个B型垃圾桶比购买一个A型垃圾桶多花30元．
（1）求购买一个A型垃圾桶需多少元？
（2）若小区一次性购买A型，B型垃圾桶共60个，要使总费用不超过4000元，最少要购买多少个A型垃圾桶？
【答案】（1）50元 （2）27个
【解析】
【分析】（1）设一个A型垃圾桶需x元，则一个B型垃圾桶需（x＋30）元，根据购买A型垃圾桶数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设小区一次性购买A型垃圾桶y个，则购买B型垃圾桶（60−y）个，根据“总费用不超过4000元”列出不等式并解答．
【小问1详解】
解：设购买一个A型垃圾桶需元．
根据题意得：
解得：．
经检验，是原分式方程的解．
答：购买一个A型垃圾桶需50元．
【小问2详解】
解：设购买个A型垃圾桶，
解得：，
答：最少要购买27个A型垃圾桶．
【点睛】此题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，找出题目蕴含的数量关系列出方程是解决问题的关键．
23.已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求直径的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）6
【解析】
【分析】（1）连接，证，得出，根据切线的判定推出即可；
（2）求出，根据相似三角形的判定推出，根据相似三角形的性质得出比例式，求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知切线的性质和判定定理是解题的关键．
24.在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可；
（2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标；
（3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值．
【详解】解：（1）依题意，设，
代入得：，解得：
∴；
（2）由， 设=x，则，
∵BE⊥OD，
∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：，
即，解得：（舍），
∴，，
过点E做平行于交y轴于T，
∴，
∴，
∴，
即，解得：，
∴，
∴ ，
∴直线的解析式为，
∵的延长线交抛物线于点D，
∴，解得：（舍），
当时，，
∴ ；
（3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H
作轴交于点T，过M点作于点D，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
设直线的解析式为，将B，C两点代入得
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴ ，
∴．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算．
25.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点D为弧AB的中点，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．
（1）如图1，求证：△ADC∽△DEC；
（2）若⊙O的半径为3，求CA·CE的最大值；
（3）如图2，连接AE，设tan∠ABC=x，tan∠AEC=y，
① 求y关于x的函数解析式；
② 若，求y的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）的最大值为36
（3）①；②或
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质及圆周角定理可得，，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可得，则可得出答案；
（3）①由得出，过点D作，不妨设EF=a，则，即可得出答案；②将代入得，，解得，，则可求出y的值．
【小问1详解】
证明：∵，
∴∠ABC=∠E，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC=∠E
又∵D为的中点，
∴，
∴∠ECD=∠ACD
∴；
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴，即，
又∵⊙O的半径为3，
∴，
即的最大值为36；
【小问3详解】
解：① 法一：不妨设AC=1，则，，
过A作AH⊥CD，如图所示：
∵∠ACD=45°，
∴
由∠ADC=∠ABC，所以
∴；
∵
∴
∴ ；
法二∵，，
∴
过点D作DF⊥CE，如图所示：
不妨设EF=a，
∵∠CED=∠CBA，∠DCE=45°，
∴CF=DF=ax，
∴，
∴ ；
②∵，
∴，∴，
即，∴
将代入得：，
∵，
解得，，，
当x=3时，，
当时，，
∴或．
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…