湖南省长沙市中雅培粹学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题

这是一份湖南省长沙市中雅培粹学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共10小题，满分30分）
1. 实数的相反数是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
【详解】相反数是5．
故选：A．
2. 下列图形中，是轴对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg．将数据500000用科学记您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高数法表示，结果是（ ）
A. 5×105B. 5×106C. 0.5×105D. 0.5×106
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：数据500000的5后面有5个0，故用科学记数法表示为5×105，
故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，同底数幂乘法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
5. 在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位后所得的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得结论．
【详解】解：将点向左平移4个单位长度得到的点坐标为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6. 据调查，某班40名学生所穿鞋子鞋号统计如下表：
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ）
A. 23，22B. 22，23C. 17，23D. 23，23
【答案】D
【解析】
【分析】数据按照大小排列后处在中间位置或中间位置两个数的平均数，就是中位数，出现次数最多的数据叫做众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可．
【详解】解：40名学生所穿鞋子鞋号从小到大排列后处在中间位置的两个鞋号都是23，
∴中位数为，
出现次数最多的鞋号是23，共出现19次，故众数为23，
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是23，23．
故选：D
【点睛】此题考查了中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键．
7. 如图所示的几何体是由 6 个完全相同的小立方块搭成，则这个几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】从左面看，注意“长对正，宽相等、高平齐”，根据所放置的小立方体的个数判断出左视图图形即可．
【详解】解：从左面看有2列，每列小方形数目为2， 1，即 ，
故选：B．
【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．
8. 若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（ ）
A. 9B. 12C. 9或12D. 15或6
【答案】B
【解析】
【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可．
【详解】解：根据题意，，
解得，
（1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形；
（2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
9. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降，两年前生产一吨药的成本是6000元，现在生产一吨药的成本是5000元．设生产成本的年平均下降率为x，下列所列的方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，通过设出生产成本的年平均下降率为x，从而得到第一次下降后的成本为元，第二次下降后的成本为元是解题的关键．
【详解】解：设生产成本的年平均下降率为x，
由题意得，，
故选C．
10. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11. 函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】且
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件．
【详解】要使在实数范围内有意义，
必须且．
故答案为x≥-1且x≠2
【点睛】本题考查了1．函数自变量的取值范围；2．二次根式和分式有意义的条件．
12. 分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 如图，正五边形内接于，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正多边形和圆，根据多边形的内角和可以求出，根据圆心角可以求出，代入计算即可求解，掌握圆的内接正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为___．
【答案】36°
【解析】
【分析】根据题意先判断图形的形状，再根据多边形的外角和定理和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由图可知：形成的最中间的图形为正五边形，
∴正五边形的外角和为360°，
∴∠ACB=360°÷5=72°，
∴∠BAC=180°-72°-72°=36°
故答案为：36°．
【点睛】本题主要考查多边形的外角和定理，三角形内角和定理，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
15. 已知中，，，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角函数值的定义以及勾股定理的定义解决此题．
【详解】解：如图．
∵，，
∴设，则．
∴．
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．
16. 年5月8日，商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口、到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点距地面__________米．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令求平移后的抛物线与轴的交点即可．
详解】解：由题意可知：
、、，
设抛物线解析式：，
将代入解析式，
解得：，
，
消防车同时后退米，即抛物线向左（右）平移米，
平移后的抛物线解析式为：，
令，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求得移动前后抛物线的解析式．
三、解答题（共9个小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂和特殊角三角函数值，再根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
18. 化简求值：，其中，为的小数部分．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，
，
为的小数部分，
，
原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，无理数整数部分的计算，熟知分式混合运算法则是解题的关键．
19. 如图，为了测量某山的高度，小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为，然后沿坡角为的斜坡走100米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为，求山的高度．（参考数据：）
【答案】山的高度为米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰俯角问题，勾股定理，含角的直角三角形特征，，易证是等腰直角三角形，直角中已知边和，则三角形的三边的长度可以得到，的长度，则和即可用含x的代数式表示出来，在直角中，利用三角函数即可得到一个关于x的方程，即可求得x的值．
【详解】解：过D作于E，作于F，设（米），
在中，（米），
（米），
（米），
在中，，
（米），
则（米），
（米） ，
在中，，，
，
解得：，
则山的高度为米．
20. 中雅培粹学校根据《南充市中小学生课后服务实施意见》，积极开展课后延时服务活动，提供了“合唱，舞蹈，科创，书法，美术，课本剧，棋类”等课程供学生自由选择．半学期后，该校为了解学生对课后延时服务的满意情况，随机对部分学生进行问卷调查，并将调查结果按照“A．满意；B．比较满意；C．基本满意；D．不满意”四个等级绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

（1）将条形统计图补充完整；
（2）表示等级D的扇形的圆心角是____________度；
（3）由于学校条件限制，“课本剧”课程仅剩下一个名额，而学生小华和小亮都想参加，他们决定采用抽纸牌的方法来确定，规则是：“将背面完全相同，正面分别标有数字1，2，3，4的四张牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，每人随机抽一次且一次只抽一张；一人抽后记下数字，将牌放回洗匀背面朝上放置在桌面上，再由另一人抽．若小华抽得的数字比小亮抽得的数字大，名额给小华，否则给小亮．”请用画树状图或列表的方法计算出小华和小亮获得该名额的概率，并说明这个规则对双方是否公平．
【答案】（1）见解析 （2）60
（3）不公平，见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
（1）由A等级人数及其所占百分比求出总人数，总人数减去A、C、D等级人数求出B等级人数，从而补全图形；
（2）用乘以等级C所占的百分比即可得出答案；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况数，然后根据概率公式求出名额给小华和小亮的概率，最后进行比较，即可得出答案．
【小问1详解】
根据题意，得（人），
B类人数为：（人），
补图如下：

．
【小问2详解】
根据题意，得，
故答案为：60．
【小问3详解】
根据题意，画树状图如下：

∴一共有16种等可能结果，其中小华抽得的数字比小亮抽得的数字大的情况有6种．
故，．
∵，
∴这个规则对双方不公平．
21. 如图，在Rt中，为的中点，为的中点．过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，菱形的面积为40，求的长．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得，再根据点是的中点，可得，进而可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
，，
点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
∴，
点是的中点，
∴，
∴，
，
，
，
的长为10．
22. 2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨，建筑垃圾处理费16元/吨标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元，从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨，若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元，
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理量减少到240吨，且建筑垃圾处理费不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
【答案】（1）2013年该企业处理的餐厨垃圾为80吨，建筑垃圾为200吨；
（2）2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元.
【解析】
【详解】试题分析：(1)设2013年该企业处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃圾为y吨，根据题意列出方程组，解此方程组即可得到答案.
（2）设2014年该企业处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃圾为y吨，需支付的这两种垃圾处理费是z元，再由x+y=240可得z=100x+30y=100x+30（240-x）="70x+7200" ，x≥60.再根据z的值随x的增大而增大，所以当x=60时，z最小，代入求值即可.
试题解析：(1)设2013年该企业处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃圾为y吨，根据题意得
，解得，即2013年该企业处理的餐厨垃圾为80吨，建筑垃圾为200吨.
（2）设2014年该企业处理的餐厨垃圾为x吨，建筑垃圾为y吨，需支付的这两种垃圾处理费是z元，根据题意得x+y=240且y≤3x，解得x≥60.
则有z=100x+30y=100x+30（240-x）=70x+7200.
由于z的值随x的增大而增大，所以当x=60时，z最小，最小值为70×60+7200=11400元，即2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元.
考点：二元一次方程组的应用；一次函数的应用.
23. 如图，是的外接圆，是的直径，，E为的延长线与的交点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于点，根据是的外接圆，得到，由平行线的性质，得到，即可得证．
（2）连接，等边对等角，求出的度数，圆周角定理求出度数，得到为等边三角形，求出半径和的度数，利用弧长公式进行计算即可．
【小问1详解】
证明：连接并延长交于点，
∵是的外接圆，
∴点是三边中垂线的交点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，求弧长，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线，设抛物线的对称轴为．
（1）当抛物线过点时，求的值；
（2）若，点，在抛物线上，若，求的取值范围；
（3）若点和在抛物线上，若，且，求的取值范围．
【答案】（1）的值为；
（2）
（3）当时，；当时，；
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴的求法以及二次函数图象上点的坐标特征．
（1）将点代入抛物线，得出和的数量关系，即可求解；
（2）根据题意得到抛物线必过，利用，抛物线开口向上，结合，推出对称轴在轴右侧，且离对称轴较近，离对称轴较远，即可解题．
（3）根据若，且，分以下两种情况讨论，①当时，②当时，根据以上两种情况，结合抛物线必过分析讨论，即可求解．
【小问1详解】
解：抛物线过点，
，
，
抛物线的对称轴为，
．
【小问2详解】
解：，
抛物线开口向上，
当时，，
抛物线必过，
点，在抛物线上，且，
对称轴在轴右侧，且离对称轴较近，离对称轴较远，
，，
；
【小问3详解】
解：当时，，
抛物线必过，
设函数与轴的另一个交点坐标为
①当时，
点和在抛物线上，若，且，
，
即点到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，解得，
函数经过，，且，
函数与轴的另一个交点横坐标，
，即，
当时，；
①当时，
点和在抛物线上，若，且，
，
即点到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，解得，
函数经过，，且，
函数与轴的另一个交点横坐标，
，即，
当时，；
综上所述，当时，；当时，；
25. 抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．

（1）直接写出三点的坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）的值为2或
（3）点在定直线上
【解析】
【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案；
（2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案；
（3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
【小问1详解】
∵抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：，，
当时，，
∴，，．
【小问2详解】
解：是直线与抛物线的交点，
，
①如图，若时，
，
∴
，
∴，
解得，（舍去）或．
②如图，若时．过作轴于点．
，
∴，
∴，
，
，
∴
，
∴，，
，
∴，
解得，（舍去）或．

综上，符合题意的的值为2或．
【小问3详解】
解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点，
∴，
∵直线的解析式为，
∴联立直线与解析式得：，
解得：（舍去），，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
设，直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
解得：．
∵直线与相交于点，
．
设点在直线上，则，①
整理得，，
比较系数得：，
解得：，
∴当时，无论为何值时，等式①恒成立．
∴点在定直线上．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．鞋号
20
21
22
23
24
频数
2
8
9
19
2