数学中考二次函数综合压轴专题训练参考地区：上海市第24题

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（2）直线x＝m（m＞0）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q；
①如果PQ小于3，求m的取值范围；
②记点P在原抛物线上的对应点为P′，如果四边形P′BPQ有一组对边平行，求点P的坐标．
【解析】解：（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为，
把和B（3，0）代入，
可得：，解得：，
∴新抛物线为；
（2）①如图，设，则，
∴，
∵PQ小于3，
∴，
∴x＜1，
∵x＝m（m＞0），
∴0＜m＜1；
②，
∴平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位，
由题意可得：P在B的右边，当BP′∥PQ时，
∴BP′⊥x轴，
∴xP′＝xB＝5，
∴，
由平移的性质可得：，即；
如图，当P′Q∥BP时，则∠P′QT＝∠BPT，过P′作P′S⊥QP于S，
∴∠P'SQ＝∠BTP＝90°，
∴△P'SQ∽△BTP，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：x＝1（不符合题意舍去）；
综上所述，．
在如图的平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，它的顶点坐标为点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）将该抛物线平移，使得平移后的新抛物线的顶点D在原抛物线的上升部分图像上．
①如果新抛物线经过点E(4，10)，求点D的坐标；
②记点A在新抛物线上的对应点为P，直线PD与x轴交于点N，如果原点O与点N关于新抛物线的对称轴对称，求新抛物线的对称轴．
【解析】（1）解：抛物线与轴交于点，它的顶点坐标为点．
当时，
∴，
，则顶点
（2）解：①依题意，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∴新抛物线解析式为则
∵新抛物线经过点
∴解得：
又∵顶点在原抛物线上，
∴即，
∴解得：或（舍去）
∴
∴；
②依题意，设抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∴新抛物线解析式为，则
∵，将向右平移个单位，向上平移个单位，得到，
设直线的解析式为
∴解得：
则直线的解析式为，
当时，当时，，
设直线与轴交于，
则，即是等腰直角三角形，则
又∵原点与点关于新抛物线的对称轴对称，
∴，则
∴在上
联立
解得：或（舍去）
∴新抛物线的对称轴为直线．
在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线经过点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求b，c的值；
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结CD，且CD∥x轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式．
【解析】（1）解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B，
当时，代入得：，故，
当时，代入得：，故，
（2）设，
则可设抛物线的解析式为：，
∵抛物线M经过点B，
将代入得：，
∵，
∴，
即，
∴将代入，
整理得：，
故，；
（3）如图：
∵轴，点P在x轴上，
∴设，，
∵点C，B分别平移至点P，D，
∴点，点向下平移的距离相同，
∴，
解得：，
由（2）知，
∴，
∴抛物线N的函数解析式为：，
将代入可得：，
∴抛物线N的函数解析式为：或．
已知经过点A(-2，-1)，B(0，-3)．
（1）求函数解析式；
（2）平移抛物线使得新顶点为P(m，n)（m＞0）．
①若S△OPB=3，且在x=k的右侧，两抛物线都上升，求k的取值范围；
②P在原抛物线上，新抛物线与y轴交于Q，∠BPQ=120°时，求P点坐标．
【解析】（1）解：把，代入，得
，解得：，
∴函数解析式为：；
（2）解：①∵，
∴顶点坐标为(0，-3)，即点B是原抛物线的顶点，
∵平移抛物线使得新顶点为（m＞0）．
∴抛物线向右平移了m个单位，
∴，
∴m=2，
∴平移抛物线对称轴为直线x=2，开口向上，
∵在的右侧，两抛物线都上升，
又∵原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，
∴k≥2，
②把P（m，n）代入，得n=，
∴P（m， ）
根据题意，得新抛物线解析式为：y=(x-m)2+n=x2-mx+m2-3，
∴Q(0，m2-3)，
∵B（0，-3），
∴BQ=m2，BP2=，
PQ2=，
∴BP=PQ，
如图，过点P作PC⊥y轴于C，则PC=|m|，
∵BP=PQ，PC⊥BQ，
∴BC=BQ=m2，∠BPC=∠BPQ=×120°=60°，
∴tan∠BPC= tan 60°=，
解得：m=±2（舍去负数），
∴n==3，
故P的坐标为（2，3）.
已知经过点，B(0，-3)．
（1）请直接写出y1函数解析式；
（2）平移抛物线使得新顶点为P(m，n)(m>0)仍在原抛物线上．新抛物线与y轴交于Q，S△BPQ=4．
①求新抛物线的解析式y2，并直接写出此时y1>y2时x的取值范围；
②若点C在y2上，线段CD∥x轴，CD=，线段CD与y2有两个交点，请直接写出点C横坐标的取值范围．
如图，在平面直角坐标系xOy中，第二象限的点M在抛物线y=ax2(a>0)上，点M到两坐标轴的距离都是2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线y=ax2(a>0)先向右平移个单位，再向下平移k(k>0)个单位后，所得新抛物线与x轴交于点A(m，0）和点B(n，0)，已知m0)个单位，使平移后的M´与△OAC的三条边有两个交点，请直接写出h的取值范围．
【解析】（1）解：把、分别代入，
得：，
解得：，
抛物线M的函数表达式为；
（2）证明，
点，
令，
解得：，，
点B的坐标为，
、，
，，
，
，
，
，
，，，
，
；
（3）解：设直线的解析式为，
把点、分别代入中，得：，
解得：，
直线的解析式为，
将向下平移个单位，
则平移后的解析式为，
如图，
，
当与没有交点时，
没有实数根，
即没有实数根，
，
解得：，
当与线段只有两个交点时，如图，
即方程有两个负实数根，
，
解得：，
h的取值范围为．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，6)，其对称轴为直线x=2．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．
①当CF=DF时，求CD的长；
②联结AC，如果△ACF的面积△CDE面积的3倍，求点F的坐标．
【解析】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
解得，
∴点，
设点，
设直线的解析式为，
由点、F的坐标得，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，
∴点，
①当时，则点F在的中垂线上，
则，即，
解得：(舍去)或5，
则；
②过点D作轴，作，过点F作轴，则，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的表达式为：，
联立上式和的表达式得：，
解得：，
由得，，
∵的面积是面积的3倍，
则
则∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：(舍去)或4，
当时，
∴点．
已知：抛物线y=x2+bx+c经过点A(3，0)、B(0，-3)，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
（2）平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线AB上，且点Q在y轴右侧．
①若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
②若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且△BDQ是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【解析】（1）由题意得：，
∴，抛物线的解析式为，
，顶点P的坐标是．
（2）①设直线的解析式是，
∴，
∴，
∴直线的解析式是，
设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，
∵点B平移后得到的点C在x轴上，
∴抛物线向上平移了3个单位，
∴，即，
∴此时抛物线的解析式是，即．
②抛物线，与y轴的交点是D（0，），
如果，即轴不合题意，
如果，
∵，，
∴，
∴，
∴，
作轴，则，
∴，
∵， ，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，
此时抛物线的解析式是，即．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点(1，3)，且交x轴于点A(-1，0)，B两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【解析】（1）把、代入得，，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）延长交轴于，
过点P作于点，过点作轴的平行线交直线于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时周长的最大
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴直线解析式为，
设，则
∴，
∴当时最大，此时
∵周长为，
∴周长的最大值为，此时，
即周长的最大值，此时点；
（3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线，
∴设，
∵，
∴，，，
当为对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时；
当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴与互相平分，且
∴，解得
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，
此时或；
同理，当为边长且和是对角线时，此时以点，，，为顶点的四边形是菱形
∴和互相平分，且
，此方程无解；
综上所述，以点，，，为顶点的四边形是菱形时或或；
已知抛物线C1：y=ax2+b与x轴相交于点A(-2，0)和点B，与y轴交于点C(0，2)．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）把抛物线C1沿射线CA方向平移得到抛物线C2，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线AC上，设点F在抛物线 C1上，如果△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN⊥EM，交直线BF于点N，求tan∠ENM的值．
【解析】（1）解：∵抛物线：经过点和，
∴ ，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，

∵、，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∵是以为底的等腰直角三角形，
∴，
由平移得，
∴，
设，则，
∴，
解得（舍）或，
∴；
（3）解：如图2，

∵抛物线的解析式为，令，则，
解得或，
∴，
∵点和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
作，交于G，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）点P为抛物线上一点，且在x轴下方，连接PA. 当∠PAB=∠ACO时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．
【解析】（1）∵抛物线与x轴交于点和点
∴解得：，
∴该抛物线的表达式为，
当时，，
∴；
（2）设，如图1，过点P作轴于点D，连接则
又
∵，
∴
∴，即
解得：（舍去），，
当时，
∴；
（3）如图2，连接过点P作交于点E，过点E作于点F，
由（2）知：
，
∴，，，
∵将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，
∴D、P、Q在同一条直线上，
平分
，
又，
是等腰直角三角形，
（AAS），
，，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∵，
∴抛物线向下平移了个单位．
已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A(-4，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，PG与直线AC交于点H．如果PH=AH，求点P的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，连接AP，试问点B关于直线CD对称的点E是否恰好落在直线AP上？请说明理由．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）如图，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
∵点P是直线上方抛物线上一点，
∴设点P的坐标为，则，
∴，
．
∵，
∴，
解得： ．
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：点E恰好落在直线上，理由如下：
如图，连接，与直线交于点F．
根据抛物线解析式可知其对称轴为直线，
∴，．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
设点E的坐标为，
∵点B关于直线对称的点为点E，
∴．
∵点F在直线上，
∴，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为．
∵对于，当时，，
∴点B关于直线对称的点E恰好落在直线上．
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-ax2+bx+3的对称轴为直线x=2，顶点为A，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），与y轴交于点D，其中点C的坐标为(3，0)．
（1）求抛物线的表达式；
（2）将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，联结DE．
①如果DE∥AC，求四边形ACDE的面积；
②如果点E在直线DC上，点Q在平移后抛物线的对称轴上，当∠DQE=∠CDQ时，求点Q的坐标．
【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于点B和点C（点B在点C的左边），点C的坐标为，
根据对称性可知点B坐标为，代入得，
，
解得，，
抛物线解析式为．
（2）①解：抛物线的对称轴为直线，
所以顶点A的坐标为，与y轴交于点D的坐标为，
设的解析式为，把A，C代入得，
，
解得，
的解析式为，
因为，点D的坐标为，
所以的解析式为，
将抛物线向左或向右平移，将平移后抛物线的顶点记为E，
所以点E的纵坐标为，代入，
解得，，点E的坐标为，
设与x轴交于点G，则点G的坐标为，同时G也是平移后抛物线与x轴的交点，
，
，
四边形的面积为；
②设的解析式为，把D，C代入得，
，
解得，
的解析式为，
点E的纵坐标为，代入，
解得，，点E的坐标为，
当时，，
因为点E的坐标为，点D的坐标为，
所以，
点Q在平移后抛物线的对称轴上，点Q的坐标为或．
在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+c(a≠0)经过点A(2，0)和点B(-1，3)．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P(m，n）．
①如果PO=PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；
②如果新抛物线经过原点，且∠POA=∠OBA，求点P的坐标.
【解析】（1）∵抛物线经过点和点，
∴，∴
∴抛物线的表达式
（2）①新抛物线的顶点为，
∵，
∴
∵、，
设直线的解析式为，
则
解得：
∴直线的解析式：
当时，，新抛物线的顶点在的内部，
∴
∴的取值范围是
②∵新抛物线的顶点为，
∴
∵新抛物线经过原点，
∴，即
可知点在第一象限，
作于点，则，，
∵，
∴，
∴
∴，，
∴．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-ax2+bx-4(a≠0)与x轴交于点A(-3，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为线段BC下方抛物线上的一动点，过点P作PE∥x轴交直线BC于点E，F为BC上一点，且∠FPE=∠CAB，当EF最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线y=-ax2+bx-4(a≠0)沿射线CB方向平移，得到新抛物线y´，新抛物线和原抛物线交于点B，与y轴交于点Q，点M是新抛物线对称轴上的一点，若△PQM是以MQ为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【解析】（1）解：把，代入得：
解得：
抛物线的函数表达式为；
（2）如图：

在中，令，得，
，
，，
，，，
设直线函数表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线函数表达式为，
设，
点在直线上，令，则，
得，
则，
，
轴，
，
，
，
，即，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
；
（3）直线函数表达式为，
将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于向右平移个单位，再向上平移个单位，
新抛物线函数表达式为
新抛物线和原抛物线交于点
解得（舍去）或，
新抛物线解析式为
新抛物线对称轴是直线
点M是新抛物线对称轴上的一点，
设
在中，令，得
，
，，
①若为腰，则
解得
②若为腰，则
解得或
或
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=--x2+bx+c与轴的两个交点分别为A、B(5，0)，点
C(4，6）在抛物线上．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，连接PA，PC求△PAC面积的最大值及点P的坐标；
（3）将原抛物线向右平移2个单位长度，得到新抛物线，M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：∵ 抛物线经过点，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）得，
当时，，
解得：，，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
，
如图，作交于，轴，交于，交轴于点，
，
则，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
当时，，此时最大，，此时也最大，为，
，
此时的面积也最大，为，
有最大值，最大值为27，此时；
（3）解：由（2）得，，
，
将原抛物线向右平移2个单位长度，得到新抛物线的解析式为：，
新抛物线的对称轴为直线，
为平移后抛物线上的动点，为平移后抛物线对称轴上的动点，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
当为对角线时，则，
解得：，
当时，，
；
当为边时，则，
当点平移到，点平移到时，则，
解得：，
当时，，
；
当点平移到，点平移到时，则，
解得：，
当时，，
；
综上所述：存在符合题意的点，点的坐标分别为、、．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-ax2+bx-1(a≠0)经过点A(-2，0)、B(1，0)和点D(2，n)，与y轴交于点E．

（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）将抛物线平移，点D平移到点D´．
①定义：如果有一个点既在平移前的抛物线上又在平移后的抛物线上，那么称这个点为“平衡点”．
如果平移所得新抛物线经过原点，且点D是“平衡点”，求DD´的长；
②如果平移所得新抛物线的顶点F在x轴正半轴上，与y轴交于点P，且△POD与△ABE相似，求点F的坐标.
【解析】（1）解：依题意，抛物线（）经过点、
∴，解得：，
∴抛物线表达式为，
∵点在抛物线上
∴
∴；
（2）解：①依题意，，顶点坐标为，
∵平移不改变开口方向，平移后的抛物线经过原点，
∴设平移后的解析式为
∵点是“平衡点”
∴解得：
∴平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为，
∴抛物线的平移方式是向上平移个单位，向右平移个单位；
即点
∴
②∵与轴交于点
当时，
∴
∵
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵、
∴
∵，
∴的解析式为：，，
∴
∴
∵与相似
∴有或

设点，且，则平移后的抛物线解析式为，
当时，
即
当时，
∴，
解得：；
∴，解得：（负值舍去）
当时，
∴
解得：；
∴，解得：（负值舍去）
综上所述，点的坐标为或．