数学中考二次函数综合压轴专题训练 参考地区：武汉市

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（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）如图（1），连接AC，BC，过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC，交y轴于点Q．若BC平分线段PQ，求点P的坐标；
（3）如图（2），点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E，F两点（点E在x轴下方），线段DE交抛物线于另一点G，连接FG．若∠EGF=90°，求直线DE的解析式．
【解析】解：(1)由，
当时，，则
当，
解得：
∵在的右边
∴，，
(2)设直线的解析式为
将，代入得，
解得：
∴直线的解析式为
∵
设直线的解析式为
∵在第三象限的抛物线上
设，
∴
∴
∴
设的中点为，则
由，，设直线的解析式为，
将代入得，
，
解得：
∴直线的解析式为，
∵平分线段，
∴在直线上，
∴
解得：（舍去）
当时，
∴；
(3)如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∴
∴
∴
∴
即
∵点与原点关于点对称，
∴,
设直线的解析式为，直线的解析式为
联立直线与抛物线解析式可得，，
即
联立直线与抛物线解析式可得，
即
设，，
∴，，，
∴
，
∵
∴，
将代入得：
∴，
∴，
∴直线解析式为．
如图1，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，若OC=OB=4OA．
（1）求抛物线的解折式；
（2）如图1，连接BC、D是BC上方抛物线上异于B、C的一点，连AD交y轴于点E，当∠ACB=∠AEO时，求点D的坐标；
（3）如图2，MN是抛物线上异于B，C的两个动点，直线BN与直线CM交于点T，若直线MN经过定点(1，3)，求证：点T的运动轨迹是一条定直线．
【解析】（1）解：对于抛物线，当时，，则，则，
∵
∴,，
∴
代入得，
，解得：，
∴；
（2）解：∵，，
∴，,，
过点作于点，
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴
设直线的解析式为，代入
解得：，
∴ ，
联立抛物线解析式
解得：或（舍去）
∴；
（3）解：设，
∵，，
设直线的解析式分别为
∴，
解得：，
∴
联立，
消去得：，
∴，即
由可得
依题意，直线的解析式为
即
联立
则
∴，，
∴
消去得：
解得：（与直线重合，故舍去）或
即点的运动轨迹是一条定直线．
如图（1），抛物线y=ax2+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点，与 y轴交于点C，且AB=2OC ，S△ABC=1．

(1)求抛物线的解析式；
(2)M为第一象限抛物线上一点，若S△MAC=S△MAB，求点M的坐标；
(3)如图（2），过点(0，1)的直线与抛物线交于P，Q两点，分别过点P，Q且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点T，求证：点 T 在一条定直线上．
【解析】（1）∵抛物线的对称轴为轴，
∴点关于轴对称，
∴，
∵，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴抛物线，点，
将点代入得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）设，且，
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
∴直线的表达式为，
当时，，即，
∴直线与轴交点为，
∵M为第一象限抛物线上一点，
∴
则
，
∵，
∴，
整理得，
解得或，
其中与点重合，故舍去，
则，
∴点坐标为．
（3）设直线的表达式为，
联立，整理得，
设
则，
设直线的表达式为，
联立，得，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴，
即，
则，
即，解得，
∴，
直线的表达式为，
同理可得，直线的表达式为，
联立，得，
整理得，
∵，
∴，，
∴点的坐标为，
∴点 T 在定直线上．
知抛物线y=a(x+2)2-1与x轴交于M、P两点，其中P(-1，0)．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点是抛物线上一点，N为抛物线第二象限一点，若∠PMC=∠MCN，求N点坐标；
（3）如图2，点E为直线x=-1上一点，过E的直线EA、EB与抛物线均只有唯一公共点，连AB交直线x=-1于点D，若D(-1，2)，求E点坐标．

【解析】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：当时，，即点，
当时，解得，则，
作轴，作交于，交于，则，
∵，
∴，
∴点、关于对称，
∴，，
∴，
设直线的表达式为，代入和得，
解得，
∴直线的表达式为，
联立得：，
解得：（舍去）或，
∴；
（3）解：设，，
∵交直线于点，
∴设直线的表达式为：，
联立得：
则，，
设直线的表达式为：，
联立得：，
由题意得：，
∴，
∴，
解得：，即，
则，
∴直线的表达式为：，
同理直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，则，
∴，，
∴，
即点．
如图1，抛物线交x轴于A(-4，0)，B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出直线BC和抛物线的解析式；
（2）设直线y=m与抛物线交于D，E两点（D在E左边），与射线CB交于点F，若DF=3EF，求m的值；
（3）如图2，点M在第四象限的抛物线上运动，点N与点M关于y轴对称，直线x=t(t≠4)分别交直线BM，BN，x轴于P，Q，G三点，若PG-OG=2，求t的值．
【解析】（1）解：∵抛物线交x轴于，
∴，
∴，
∴，
当时，；
当时，或，
∴，，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为．
（2）解：设直线与y轴交于点G，
则点F的坐标为．
当时，
∵，
∴，
∴由中点坐标得点E的坐标为．
∴，
整理得，
解得或（舍去）；
当时，
∵，
∴，
∴点E的坐标为．
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
综上所述，m的值为3或．
（3）解：设点M的坐标为，
则点N的坐标为，
而，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴．
与直线联立，
得点P的坐标为，
同理，可得直线的解析式为：，
点Q的坐标为．
当时，，
由，
解得；
当时，，
由，
解得．

综上所述，t的值为3或5．
如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx与x轴交于另一点A(4，0)，点B(-2，3)在此抛物线上，过点B作直线l交y轴于点C，且直线l与抛物线有且只有一个公共点B．
（1）①请直接写出：此抛物线的函数解析式为；
②求直线l的函数解析式；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于点D，交直线l于点E，若点P在A点右侧的抛物线上，且PB=PE，求点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线先向右平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线，动点Q在新抛物线上，求动点Q到直线l的最短距离．
【解析】（1）解：①将点，点代入可得：
，
解得：．
∴抛物线的解析式为．
②设直线的解析式为，代入点得，即，
∴直线的解析式为，
∵直线l与抛物线有且只有一个公共点B．
∴联立可得：，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线．
，
，
∴点是线段的中点．
又∵，
垂直平分．
∵，
点是抛物线与直线的交点，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴的解析式为，
联立，
解得：，（舍去）．
∴点的坐标为．
（3）解：根据题意可得新抛物线的解析式为，
如图，将直线向上平移d个单位：得，
当直线与新抛物线有1个公共点时，则，
即，
故，
解得：，
则，
解得：，
直线与新抛物线的交点为．
过作直线的垂线，垂足为，过作轴于，交直线于，
∴，
令，则，解得：，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴．
∴，
，
，
，即，
，
，
新抛物线上的动点Q到直线l的最短距离是．
已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且AB=8．
（1）请直接写出抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，已知点M在线段BC上，过点M作直线y=x+b与抛物线交于D、E两点，且DM=EM，求的值；
（3）如图2，动点P在第二象限内的抛物线上，作PH⊥x轴于点H，过点P作直线PN交y轴于点N，且直线PN与抛物线有唯一公共点P，过点P的另一直线PQ交抛物线于Q，若PN平分∠HPQ，求证：直线PQ必过一定点，并求这个定点的坐标．
【解析】（1）解：由抛物线（）得对称轴为直线，
∵抛物线与轴交于A、B两点，且，
∴，，
将代入得：，
解得，又，
∴，
∴，
则抛物线的解析式为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
联立方程组，整理得：，
设两个交点坐标为，，
∴，，
∵，
∴点M为的中点，
∴点M的坐标为，即，
∵点在线段上，
∴，
解得；
（3）证明：∵点为抛物线上在第二象限的一个动点，作轴于点H，
设，则，
∴，，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴，
联立，得：，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴，
即，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
直线的解析式为，
设直线与抛物线的对称轴交于点M，
∵当时，，
∴，
设直线交对称轴于点，对称轴与x轴交于L，过点作于点，过点作于点S，
∵轴，对称轴轴，，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵轴，对称轴轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴（设、分别为点R、M的纵坐标），
∵，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴直线必过一定点，这个定点的坐标为．
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．其中A(-3，0)，
D(-1，-4)．
（1）直接写出该抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BC，在第三象限内抛物线上找点E，使∠ABE=∠OCB，求点E的坐标；
（3）如图2，P为抛物线上任意一点，过P做直线l与抛物线有唯一交点（l不与y轴平行）交抛物线对称轴于G点，T为对称轴上一点，若始终满足TP=TG，求点T的坐标．
【解析】（1）解：∵抛物线顶点为，
∴设抛物线的解析式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
当时，
解得：，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
根据题意，在坐标系中取点，连接并延长交抛物线与点E，过点M作轴于点H，如图所示：

∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，将点代入得：
，解得，
∴直线的函数解析式为，
联立两个函数为：，
解得：或，
∴；
（3）解：设，直线l解析式为，
联立得，
∵直线l与抛物线只有一个交点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线l解析式为，
在中，
当时，，
∴，
设，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，抛物线与x轴交于A和B两点，与y轴交于C．连接AC、BC．
（1）直接写出点A、B、C三点的坐标分别为___________、___________、___________；
（2）如下图，点G为线段AC下方抛物线上一点，过点G作直线CB的平行线，分别交线段AC、y轴于点T、R，若点T恰好是线段GR的中点，求点G坐标；
（3）点E(-3，n))在抛物线上．若直线交抛物线于M、N(xN