2024年上海市16区中考二模数学分类汇编 专题13 解答题24题（二次函数综合，压轴题）（详解版）(1)

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一、解答题
1．（2024·上海奉贤·二模）如图，在直角坐标平面中，抛物线与轴交于点、，与轴正半轴交于点，顶点为，点坐标为．
(1)写出这条抛物线的开口方向，并求顶点的坐标（用的代数式表示）；
(2)将抛物线向下平移后经过点，顶点平移至．如果锐角的正切值为，求的值；
(3)设抛物线对称轴与轴交于点，射线与轴交于点，如果，求此抛物线的表达式．
【答案】(1)抛物线开口向下，
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，角度问题，正切的定义，相似三角形的性质与判定；
（1）将点代入解析式可得，根据抛物线与轴正半轴交于点，得出，即抛物线开口向下，然后化为顶点式求得顶点坐标，即可求解；
（2）过点作于点，设向下平移个单位，平移后的抛物线为，根据题意得出，得出，点代入，得出，联立解方程组，即可求解；
（3）根据题意可得则，根据题意得出直线的解析式为，进而得出，由抛物线对称轴与轴交于点，得出，则，勾股定理可得，进而代入比例式，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点
∴
∴
∵抛物线与轴正半轴交于点，
∴
∴
∴抛物线开口向下，
∴抛物线解析式为
∴
（2）解：如图所示，过点作于点，

设向下平移个单位，平移后的抛物线为
∵，锐角的正切值为，
∴，则，
∴①
将点代入
②
联立①②得
（3）解：如图所示
∵
当时，
∴
∵，
设直线的解析式为
∴
∴
∴直线的解析式为，
当时，
∴
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴
∴，
勾股定理可得，
∵，
∴
∴
∴
解得：（正值舍去）
∴抛物线解析式为．
2．（2024·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式及点的坐标；
(2)已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．
① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；
② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．
【答案】(1)；点
(2)①；②的值为或
【分析】（1）把点A的坐标代入表达式求出a的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B的坐标；
（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m的取值分三种情况分别进行解答即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得；
∴抛物线的表达式为；
∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，
∴点．
（2）①由题意，得，，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴；
又点在轴上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，；
在中，，
∴；
∴；
过点作，垂足为．
在中，，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴；
∴．
②当时，根据不同取值分三种情况讨论：
当时，即点与点重合时，符合题意；
当时，如图情况符合题意，取的中点P，以为直径作圆P，则在圆上，
此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，
则，
∵，
由①知， ，则，
则，
∵，,
∴，解得；
当时，可得，所以符合题意的不存在；
综合、、，符合题意的的值为或．
【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．
3．（2024·上海普陀·二模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且．
(1)当点P的坐标为时，求这个抛物线的表达式；
(2)抛物线表达式中有三个待定系数，求待定系数a与n之间的数量关系；
(3)以点P为圆心，为半径作，与直线相交于点M、N．当点P在直线上时，用含a的代数式表示的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）是等腰直角三角形，当点P的坐标为时，则抛物线的对称轴为直线，得出，，然后待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得，待定系数法求解析式，进而得出；
（3）根据在上得出，根据（2）的结论得出，即，与直线相交于点M、N．设直线交轴于点，交轴于点，得出，则，求得，在中勾股定理求得，进而求得，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，是等腰直角三角形，
当点P的坐标为时，则抛物线的对称轴为直线，
如图所示，过点作轴于点，
∴
∴，
将代入
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线与轴交于点、，抛物线的顶点在第一象限，且，
∴是等腰直角三角形，抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴
代入
∴
即，
∵抛物线的顶点在第一象限，则
∴；
（3）∵在上
∴，即，
由（2）可得，即，
∴抛物线解析式为
∵与直线相交于点M、N．设直线交轴于点，交轴于点，
当时，，则，当时，，则，
∴，则是等腰直角三角形，，
∵是等腰直角三角形，则，
∴，
延长交于点，则，连接，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，，
∴ ，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧．
若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【答案】(1)，顶点P的坐标是
(2)；
【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可；
抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）由题意得：，
∴，抛物线的解析式为，
，顶点P的坐标是．
（2）①设直线的解析式是，
∴，
∴，
∴直线的解析式是，
设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，
∵点B平移后得到的点C在x轴上，
∴抛物线向上平移了3个单位，
∴，即，
∴此时抛物线的解析式是，即．
②抛物线，与y轴的交点是D（0，），
如果，即轴不合题意，
如果，
∵，，
∴，
∴，
∴，
作轴，则，
∴，
∵， ，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，
此时抛物线的解析式是，即．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键．
5．（2024·上海黄浦·二模）问题：已知抛物线L：，抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式．
(1)解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是 ① ；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是 ② ；然后求出抛物线L的顶点是 ③ ；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为 ④ ；最后写出抛物线W的表达式是 ⑤ ．
(2)用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式．
(3)如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）根据题目所给方法，给定顶点坐标为计算即可解题；
（2）仿照（1）中的方法，给定坐标为计算即可解题；
（3）抛物线W的顶点坐标为，把抛物线L的顶点是代入求出a的值，然后再根据抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等得到抛物线M过，代入得，求出m值，即可得到解析式．
【详解】（1）先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是；然后求出抛物线L的顶点是；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为；最后写出抛物线W的表达式是．
（2）解：，
∴抛物线L的顶点是，
取抛物线W的顶点坐标为，
设抛物线W的解析式为，把代入得：，
∴抛物线W的解析式为；
（3）解：令，则，解得：，，
∴抛物线L在x轴上所截得的线段长为，
设抛物线W的顶点坐标为，
设解析式为，把代入得：，
整理得，即，
∴，
又∵抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，
∴抛物线M在x轴上所截得的线段长为，
∴抛物线M过，代入得，
解得：或，
∴抛物线的解析式为或．
6．（2024·上海青浦·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图像与x轴交于点和点．与y轴交于点是线段上一点．
(1)求这条抛物线的表达式和点C的坐标；
(2)如图，过点D作轴，交该抛物线于点G，当时，求的面积；
(3)点P为该抛物线上第三象限内一点，当，且时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将、代入得，，可求，则，当时，，进而可求；
（2）如图1，作于，记与的交点为，设，则，，则，，，，由，可得，计算求出满足要求的解为，则，待定系数法求直线的解析式为，进而可得，则，根据，计算求解即可；
（3）如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，由，可知点即为所求，由勾股定理得，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，设，由，可求，（舍去），则，待定系数法求直线的解析式为，联立得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：将、代入得，，
解得，，
∴，
当时，，即；
（2）解：如图1，作于，记与的交点为，

设，则，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合要求；
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，即，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：如图2，作于，在上取，连接交抛物线于点，
∵，，
∴，
∴点即为所求，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
解得，，（舍去），
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立得，，
解得，舍去或，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．
7．（2024·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系（如图）中，已知抛物线经过点、两点，与轴的交点为点，对称轴为直线．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知以点为圆心，半径为的圆记作圆，以点A为圆心的圆记作圆A，如果圆A与圆外切，试判断对称轴直线与圆A的位置关系，请说明理由；
(3)已知点在轴的正半轴上，且在点的上方，如果，请求出点的坐标．
【答案】(1)此抛物线的表达式是
(2)对称轴直线与圆A的位置是相离，理由见详解
(3)点的坐标为
【分析】（1）直接用待定系数法求解即可；
（2）设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以，得到，即，即可判断；
（3）过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G，利用等角的正切值相等解决问题，，所以，，所以，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点、两点
∴，解得
∴此抛物线的表达式是；
（2）答：对称轴直线与圆A的位置是相离
根据（1）得，抛物线的对称轴是直线，
抛物线与y轴的交点点坐标为，
所以，
所以圆的半径是，
设圆A的半径为r，又圆A与圆外切，所以，
又，
所以，
对称轴与x轴垂直，设垂足为M，那么的长就是圆A到对称轴的距离，
又对称轴是直线，
所以点的坐标为，
所以，
因为，即，
所以对称轴直线与圆A的位置是相离．
（3）解：过点作，垂足为，过点作轴，垂足为G，
易得 ，，
又点坐标为， 点坐标为，
所以轴，
所以，，由勾股定理得 ，
所以，在中，，
在中，，
因为，
所以，
所以，
所以点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数与几何综合题，考查了待定系数法求解析式，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，二次函数与角度的存在性问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2024·上海长宁·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点，其对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与y轴、线段交于点D、E．
①当时，求的长；
②联结，如果的面积是面积的3倍，求点F的坐标．
【答案】(1)
(2)①5；②
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①当时，则点F在的中垂线上，则，即可求解；
②证明，得到，则，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
解得，
∴点，
设点，
设直线的解析式为，
由点、F的坐标得，
解得，
∴直线的表达式为：，
当时，，
∴点，
①当时，则点F在的中垂线上，
则，即，
解得：(舍去)或5，
则；
②过点D作轴，作，过点F作轴，则，，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的表达式为：，
联立上式和的表达式得：，
解得：，
由得，，
∵的面积是面积的3倍，
则
则∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：(舍去)或4，
当时，
∴点．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，运用数形结合思想解题是关键．
9．（23-24九年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中（如图），已知开口向下的抛物线经过点，顶点为A．
(1)求直线的表达式；
(2)如果将绕点O逆时针旋转，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；
(3)将（2）中得到的抛物线沿射线平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C，如果，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把抛物线解析式转化为顶点式，然后设直线的表达式为，把A、P坐标代入求解即可；
（2）先判断顶点A在第二象限，设旋转后A的对应点为Q，证明，可求出Q的坐标，然后把Q的坐标代入求解即可；
（3）设平移后抛物线表达式为，求出，，利用两点间距离公式求出，，，结合，求出m的值，根据平移可得，从而求出，，过C作于D，求出，，然后在中，根据正切定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：由抛物线开口向下，且过，
∴A在第二象限，
设绕点O逆时针旋转，A的对应点Q，如图所示，过点A、Q分别作轴，轴，垂足为M、N，

∵旋转，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
代入，得，
整理得，
解得，（舍去）
经检验，是原方程的解，
∴a的值为；
（3）解：由（2）知：，，
设平移后抛物线表达式为，
则，
当时，，∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴或，
解得，，，，
∵抛物线沿射线平移，
∴B在A左上方，
∴，
∴，
∴，，
∴，
过C作于D，

在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数，旋转的性质，勾股定理，正切的定义等知识，明确题意，正确添加辅助线、运用数形结合思想是解题的关键．
10．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D．
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标；
(3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)；
【分析】（1）根据抛物线经过点B和点，解方程组即可求得解析式，利用公式法即可求顶点坐标．
（2）求出抛物线与x轴的另一个交点，设，利用勾股定理即可求得点坐标．
（3）由于经过平移后顶点D落在x轴上，因此可以将抛物线可以看作是先将平移到顶点在原点的抛物线：，然后由抛物线再进行左右平移得到的一条抛物线，设由抛物线平移后抛物线解析式为：，利用经过将沿直线AB翻折，得到，连接，可得到为等边三角形，根据等边三角形性质，求出坐标，利用在抛物线上，即可解得．
【详解】（1）解： 直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
，，
抛物线经过点B和点，
，解得，
抛物线的表达式为：，
顶点坐标，即．
（2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为，
则，即，
，
点P在y轴上，设，
，，，
根据勾股定理得，，
，，，
，
解得，
．
（3）解：，顶点为，由于抛物线的顶点由平移到了点，在轴上，
抛物线可以看作是先将平移到顶点在原点的抛物线，然后由抛物线再进行左右平移得到的一条抛物线，
抛物线：顶点为，解析式为，
设，则由抛物线平移后抛物线解析式为：，
设经过将沿直线翻折，得到后，图形如图所示，
连接，过点作轴于，
若落在原点右侧，则
，，
，
，
沿直线翻折，得到，
，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
设点坐标为
，，
若落在原点左侧，如图所示，
，
，，
无论落在原点哪一侧，点坐标表示都一样，
点在抛物线：上，
，
解得，（舍去，不与重合）
，
平移后的抛物线的表达式为：．
【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数的性质和图象、勾股定理、图象的翻折特征、二次函数图象的平移、解直角三角形等知识，熟悉其性质和图象，待定系数法求解析式，图象平移后解析式的表示，解直角三角形，分类讨论是解决问题的关键．
11．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，
（1）将点代入表达式，求出m的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；
（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E、F坐标，并求出P、Q坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m值，进而解决问题；
（3）先求，结合求出的点P、E、F坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m的方程，解方程即可解决．
【详解】（1）解：抛物线：与轴交于点坐标为，
当，代入，得，
，
抛物线表达式为，
抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；
（2）解：抛物线：，
当时，，即与y轴交点为，
抛物线：的“轮换抛物线”为，
抛物线表达式为，
同理抛物线与y轴交点为，
抛物线对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
当时，，
抛物线的对称轴与直线交点，
点在点的上方，
，
解得：，
，
四边形为平行四边形，
，即，
解得：，
；
（3）解：点在抛物线上，
当时，，即，
点坐标为，，，，
，，
，
，
，
，
解得：．
12．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)联结、、，求的值；
(3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标．
【答案】(1)该抛物线的表达式为；
(2)
(3)点的坐标为．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案；
（3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线关于直线对称，
设抛物线的解析式为，把、代入，
得：，
解得：，
，
该抛物线的表达式为；
（2）解：在中，令，得，
，
、，
，
是等腰直角三角形，
，，
如图，过点作轴于，则，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
；
（3）证明：如图，连接，
由（2）知是等腰直角三角形，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
点在对称轴右方的抛物线上，
，且，
解得：，
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．
13．（2024·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．
(1)求、的值；
(2)将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点．
①如果，求 的面积；
②如果，求的值．
【答案】(1)，
(2)①
②
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后，点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键．
（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可．
（2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
②根据，可知在的垂直平分线上，再过点做与轴平行的直线，与相交于点，由垂直平分线的性质可得，，，再由线段与平行，推出，，即， ，得出即垂直平分，，与点关于对称，即可得出点的坐标，由平移的性质可得平移后抛物线的表达式，最后根据在平移后的抛物线上，求出的值即可．
【详解】（1）∵抛物线过点 ，
，，
∵ ，，
∴
将，两点分别代入到所在的一次函数中，
得，
连列可得解答，
故直线的解析式为：，
又因为顶点在线段上，
∴，
得 (舍去) 或，
，
，．
（2）①，
∴对称轴为直线，顶点为，
当时，，
顶点，
当时，，
，
过点，，作轴垂线 垂足分别为，，
，
②由平移的性质可知， ，
，
在的垂直平分线上，
如图，过点做与轴平行的直线，与相交于点，
由垂直平分线的性质可得，，
故，
由图可得线段与平行，
故，，
，
即垂直平分，，与点关于对称，
顶点为，
的坐标为，
由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为：，
将代入平移后的抛物线得：，
解得：或（，舍去），
∴．
14．（2024·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，抛物线经过点A、B两点，顶点为点C．

(1)求b、c的值；
(2)如果点D在抛物线的对称轴上，射线平分，求点D的坐标；
(3)将抛物线平移，使得新抛物线的顶点E在射线上，抛物线与y轴交于点F，如果是等腰三角形，求抛物线的表达式．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）证明为等腰直角三角形，则点在上，点D′代入的解析式，即可求解；
（3）分情况讨论：当时，列出方程，即可求解；当或时，同理可解．
【详解】（1）解：把代入得，
∴点B坐标是，
把代入，得，
∴点A坐标是，
将点A、B坐标代入，得，
解得．
∴抛物线的表达式是．
（2）由（1）知，抛物线的表达式为，则其对称轴为直线，
∴，
作点D关于直线的对称点，交于点T，

∵平分，
∴由轴对称的性质可得：，
过点D作x轴的平行线交于点H，连接，
∵，，
∴， 则，
则为等腰直角三角形，
由轴对称的性质可得：为等腰直角三角形，
∴为等腰直角三角形，则点在上，
设点，
当，则，
∴，
∴，
∴点，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线的表达，
将点代入上式得：，
解得：， 则点；
（3）设点，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
即点，而，
∴，，
，
当时， 则，
解得：（舍去）或，
则抛物线的表达式为：；
当或时， 则或，
解得：（不合题意的值已舍去），
即抛物线的表达式为：，
综上，抛物线的表达式为：或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到点的对称性、等腰三角形的性质，一元二次方程的解法等，分类求解是解题的关键．
15．（2024·上海闵行·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴相交于、B两点，且与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如果点D是x正半轴上一点，，且四边形是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）；
(3)由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”：否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形（线段与线段不相交），求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，勾股定理逆定理求出，根据，得到为的中点，再根据菱形的性质，求出点坐标即可；
（3）求出直线的解析式，分别求出两条直线与对称轴的交点坐标，结合凹四边形的定义，讨论求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：
，解得：，
∴；
（2）∵，
当时，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∵，
∴，
连接，则：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴，
∵是菱形，
∴，
把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴把点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，
∴；
（3）∵，
∴对称轴为直线，
∴对称轴与轴的交点坐标为，
∵，，，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
∴，当时，，
∴直线与对称轴的交点坐标为，
同法可得：直线的解析式为：，直线与对称轴的交点坐标为，
∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形是凹四边形，
∴当点在之间，满足题意，
∴．

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定和性质，菱形的性质等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解．