2024-2025学年河北省保定市高二上学期期末调研数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年河北省保定市高二上学期期末调研数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线与直线夹角为，则的倾斜角为（ ）
A．或B．或C．或D．或
3．如图，是抛物线上一点，是抛物线焦点，以为始边、为终边的角，则（ ）

A．1B．2C．4D．8
4．已知数列满足，的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图，这就是数学史上著名的“冰霓猜想”（又称“角谷猜想”等）．已知数列满足：，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在公比不为1的等比数列中，，的前项积为，则中不同的数值有（ ）
A．15个B．14个C．13个D．12个
8．已知为双曲线的左，右焦点，为坐标原点，为双曲线上一点，且，则到轴的距离为（ ）
A．2B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知等比数列的首项为，公比为，则下列能判断为递增数列的有（ ）
A．B．
C．D．
10．平面直角坐标系中，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点轨迹为椭圆
B．若，则点轨迹为双曲线
C．若，则点轨迹关于轴、轴都是对称的
D．若，则点轨迹为圆
11．正方体中，P， Q， R分别是棱的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．P，Q，R，C四点共面B．平面PQR
C．平面D．和平面PQR所成角的正弦值为
12．已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（ ）
A．0B．－1C．D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．等差数列中，，则 ．
14．若数列为等比数列，则以为焦点的抛物线标准方程为 ．
15．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程可写为．已知直线的方向向量为，平面的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
16．过直线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别是A，B，过点向直线引垂线，垂足为，则线段为坐标原点）的最大值为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．如图，在空间四边形ABCD中，为BC的中点，在CD上，且．
(1)以为基底，表示；
(2)，，求．
18．已知数列的首项是3，且满足．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的前项和．
19．已知点在圆上运动，，点为线段MN中点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知，求的最大值．
20．如图，正四棱锥中，，正四棱锥的高为分别为PB，PD的中点．

(1)求证：
(2)连结BF，DE相交于点，求平面与平面夹角的正弦值．
21．已知等差数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求数列的前项和．
（说明：）
22．椭圆的离心率为分别为椭圆的右顶点和上顶点，为坐标原点，已知面积为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作直线交椭圆于P，Q两点，过点向轴引垂线交MN于点B，点C为点P关于点B的对称点，求证：C，Q，M三点共线．
答案
1．【正确答案】A
【分析】根据空间直角坐标系中点的对称性质结合题意求解即可.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为，
故选：A
2．【正确答案】C
【分析】先求直线斜率及倾斜角，再根据夹角为求出的倾斜角即可.
【详解】直线斜率则倾斜角为，
直线与直线夹角为，则的倾斜角为或.
故选：C.
3．【正确答案】B
【分析】求出直线的方程与抛物线方程联立求出可得答案.
【详解】由题可知，则直线的方程为，
与抛物线方程联立，得，
解得，或，因为点在第一象限，所以，
所以.
故选：B.
4．【正确答案】B
【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果.
【详解】，数列是以为公差的等差数列，
，
数列是以为公差的等差数列，.
故选：B.
5．【正确答案】B
【分析】根据“冰霓猜想”结合递推关系式，可发现从开始进入循环，利用规律求解判断.
【详解】由题意可得，，，，，，，，，…，按照此规律下去，
可得，，，，
令，解得，.
故选：B.
6．【正确答案】A
【分析】由于‖，所以为异面直线AB与所成角，然后根据题意可判断为等边三角形，从而可求出，进而可求得结果.
【详解】设顶点在底面上的射影为，连接，
因为，所以为异面直线AB与所成角，
因为为等边三角形，为的中心，
所以，
因为顶点在底面ABC上的射影为，
所以平面，
因为平面，所以，,
所以，所以，
因为，所以，
所以为等边三角形，所以，
所以，
所以异面直线AB与所成角的余弦值为，
故选：A
7．【正确答案】B
【分析】先设出数列的公比，将用来表示，接着探究在中有多少对值相同，通过列举法即得.
【详解】不妨设数列的公比为，则由可得：，则，
于是，，
对于，由可得：，
即，整理得：，故得：，
又，故有：，
即在中，共有6对值分别相同，即其中不同的数值有14个.
故选：B.
8．【正确答案】C
【分析】设，由双曲线的定义及余弦定理，求得的值，再利用三角形的面积相等法求得的值，进而求得，得到答案.
【详解】由双曲线，可得，则，
设，由双曲线的定义，可得，
根据余弦定理，可得，解得，
再设点的坐标为，
则，
因为，可得，解得，
由，可得，即点到轴的距离为.
故选：C.
9．【正确答案】BD
【分析】根据题意，结合等比数列的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由等比数列的首项为，公比为，
对于A中，若，可得，所以为递减数列，所以A错误；
对于B中，若，可得，所以为递增数列，所以B正确；
对于C中，若，可得，所以为递减数列，所以C错误；
对于D中，若，可得，所以为递增数列，所以D正确.
故选：BD.
10．【正确答案】ACD
【分析】根据题意，结合椭圆、双曲线，以及轨迹方程的求法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，因为，
由椭圆的定义可知，点的轨迹为椭圆，所以A正确；
对于B中，由双曲线的定义可得时，点的轨迹为双曲线，
所以B不正确；
对于C中，设，由，可得，
整理得，可得曲线关于轴对称，所以C正确；
对于D中，因为，可得，
整理得，即，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以D正确.
故选：ACD.
11．【正确答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，结合向量的坐标运算说明不共线，可判断A；求出平面的一个法向量，利用空间位置关系的向量证明方法，可判断B，C；根据空间角的向量求法，可判断D.
【详解】以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
则，则两向量没有倍数关系，
即不共线，即不平行，
又平面，平面, 且平面平面，
故不相交，则异面，即P，Q，R，C四点不共面，A错误；
，设平面的一个法向量为，
则，令，则，
又，则，
又平面，故平面，B正确；
由于，则，则，故平面，
即平面，C正确；
由于，平面的一个法向量为，
设和平面所成角为，
则，故D错误；
故选：BC
12．【正确答案】AB
【分析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合双曲线的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系，逐项判定，即可求解.
【详解】由点，且点满足，
根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且，
所以双曲线的方程为，
又由直线，可得，
联立方程组，解得，所以直线过定点，
由双曲线的渐近线方程为，
当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确；
当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确；
当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确；
当时，直线的方程为，联立方程组，其中，
可得，此时，且易知方程有两个正根，
所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确.
故选：AB.
13．【正确答案】0
【分析】根据等差数列的性质若，则求解即可。
【详解】因为数列为等差数列，
所以若，则，
又，
所以，
又，
所以，
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】根据数列为等比数列，利用等比中项求得a即可.
【详解】解：因为数列为等比数列，
所以，，
则，，
所以以为焦点的抛物线标准方程为：，
故
15．【正确答案】/
【分析】根据平面方程可得法向量，进而根据线面角的向量法求解即可.
【详解】平面的方程为，所以可得平面法向量可以为，
又直线的方向向量为
所以直线与平面所成角的正弦值为,
故
16．【正确答案】
【分析】求出直线、的方程，即可求出直线恒过定点，讨论直线的斜率存在和不存在，求解即可.
【详解】设，
设切线的方程为，
联立得；
∵与椭圆相切，
∴，整理得：，
所以代入，得，
所以，
从而切线的方程为，
再将代入整理可得，直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
直线，的方程过点，所以，，
即，，
则为方程的解，故直线的方程为，
令，则，这直线恒过定点，
①当直线的斜率不存在时，则直线为，
过点向直线引垂线，垂足为，则，
②当直线的斜率存在时，则直线为，
过点向直线引垂线，垂足为，过点作向直线引垂线，垂足为，
连接，点到直线的距离为，
过点作交于点，可知四边形时矩形，
所以，而在中，，
又，所以，所以，
在中，，
而在中，，
则，
故可知.
故答案为.
方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点；若直线方程为 (为定值)，则直线过定点
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件，结合图形利用空间向量线性运算法则求解即可；
（2）由（1）结合向量的数量积的性质及定义求解.
【详解】（1）
，
（2）由（1）得
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用已知，只要证明为非0常数即可；
（2）由（1）可得，利用分组求和以及公式法即可得到结果.
【详解】（1）证明：由，得，．
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列．
（2）由（1）得数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
，，
19．【正确答案】(1)
(2)89
【分析】（1）设点，用表示出的坐标，代入圆的方程即可；
（2）利用两点距离公式表示，结合的关系及范围可求结论.
【详解】（1）设点，因为为中点，
，于是有，
因为点在圆上运动，
所以，
代入得，
化简得，
所以点的轨迹方程为；
（2）
因为，所以
所以的最大值为89．
20．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于点，连接，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可；
（2）分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：在正四棱锥中，连接交于点，连接．
因为四棱锥为正四棱锥，
所以平面，四边形为正方形，
所以，，
因为平面，所以，
所以两两垂直，
所以以为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
因为，，
所以在中，由，
得，得，
所以，
则，
因为为分别为PB，PD的中点，
所以，
所以，
所以．
所以．
（2）解：在分别为的中点，点为的交点，
所以为的重心，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面与平面夹角为，
则，
所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为．

21．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）采用分组求和和裂项相消法可求得，由取整运算定义可得，分类讨论可求得.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
则当时，；当时，；
当时，；
综上所述.
22．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1） 根据离心率结合面积公式列方程计算即可;
（2）先联立方程组得出韦达定理,再根据对称点求出点,再根据斜率相等及有公共点得出三点共线.
【详解】（1）由题意得，即
解得，所以椭圆.
（2）
由题意可得直线的斜率存在，设斜率为
则直线，联立，
消去得，化简得
，
，则，
因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，所以
则直线为，又因为过点向轴引垂线交于点，
所以点满足解得，
点为点关于点的对称点，所以，
所以
，
所以三点共线．
关键点点睛：本题的关键是采用设线法联立椭圆方程得到韦达定理式，再求出点，，最后计算并证明即可.