2025届浙江省金丽衢高三上12月联考仿真数学试卷（解析版）

这是一份2025届浙江省金丽衢高三上12月联考仿真数学试卷（解析版），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2，3}
【答案】A
【解析】由不等式x2﹣2x﹣3＜0，可得﹣1＜x＜3，即集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，
又集合B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，所以A∩B＝{0，1，2}．故选：A．
2．复数i1-i+(1-i)2的虚部为（ ）
A．32B．32iC．-32D．-32i
【答案】C
【解析】i1-i=i(1+i)(1-i)(1+i)=i-12=-12+12i，(1-i)2=-2i，
所以复数i1-i+(1-i)2=-12+12i-2i=-12-32i．故选：C．
3．设向量a→，b→满足(a→-b→)⊥(a→+2b→)，且2|a→|=3|b→|≠0，则cs〈a→，b→〉=（ ）
A．-16B．-38C．16D．38
【答案】A
【解析】因为(a→-b→)⊥(a→+2b→)，所以(a→-b→)⋅(a→+2b→)=0，
即a→2+a→⋅b→-2b→2=0，又2|a→|=3|b→|≠0，
所以a→⋅b→=2b→2-94b→2=-14b→2，故cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=-14b→232b→2=-16．故选：A．
4．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣1＝0，则当圆心C到直线l：y＝kx+3的距离最大时，实数k的值是（ ）
A．-13B．13C．﹣3D．3
【答案】B
【解析】因为圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣1＝0，化为标准方程得（x﹣1）2+y2＝2，
所以圆心为C（1，0），半径r=2，直线l：y＝kx+3恒过定点P（0，3），
当直线l与PC垂直时，圆心C到直线l的距离最大，
由斜率公式得直线PC的斜率为3-00-1=-3，
由垂直关系的斜率公式得k•（﹣3）＝﹣1，解得k=13．故选：B．
5．若（2﹣x）3+（2﹣x）4+（2﹣x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a1+a2+a3+a4＝（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】由题意，令x＝1，1+1+1＝3＝a0+a1+a2+a3+a4+a5，
又x5项只在（2﹣x）5中，系数为a5=C5520（﹣1）＝﹣1，
所以a0+a1+a2+a3+a4＝3﹣（﹣1）＝4．故选：A．
6．在流行病学中，基本传染数R0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数R0＝3，平均感染周期为4天，那么感染人数超过1000人大约需要（初始感染者传染R0个人为第一轮传染，这R0个人每人再传染R0个人为第二轮传染⋯）（ ）
A．20天B．24天C．28天D．32天
【答案】B
【解析】设第n轮感染的人数为an，
则由题意知数列{an}是首项a1＝R0＝3，公比为q＝3的等比数列，
由1+Sn=3×(1-3n)1-3+1=1000，可得3n+1＝2001，3n＝667，
两边取对数得：nlg3＝lg667，n=lg667lg3=lg2001-lg3lg3≈3+lg2lg3-1≈3+≈6，
∵平均感染周期为4天，∴感染人数超过1000人大约需要6×4＝24天．故选：B．
7．已知a=27，b＝ln1.4，c＝e0.2﹣1，则（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【答案】C
【解析】令f（x）＝ln（x+1）-xx+1，且x∈（﹣1，+∞），则f'（x）=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2，
由f'（x）＝0得x＝0，由f'（x）＞0得x＞0，由f'（x）＜0得﹣1＜x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
∴f（25）＞f（0）＝0，即ln1.4-27＞0，∵a=27，b＝ln1.4，∴a＜b，
又f（14）＞f（0）＝0，即ln54-15＞0，∴ln54＞15，
∵y＝ex在（0，+∞）上单调递增，则eln54＞e0.2，∴54＞e0.2，即14＞e0.2﹣1
又27＞14，c＝e0.2﹣1，∴a＞c，∴c＜a＜b，故选：C．
8．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I，G分别为△PF1F2的内心和重心，当IG⊥x轴时，椭圆的离心率为（ ）
A．13B．12C．32D．63
【答案】A
【解析】如图所示，设P（x0，y0），不妨设y0＞0．
F1（﹣c，0），F2（c， 0）．则G（x03，y03），∵IG⊥x轴，∴xI=x03．
设三角形内切圆的半径为r．
由三角形内切圆的性质可得：12r（2a+2c）=12•2c•y0．解得r=cy0a+c，∴yI=cy0a+c．
设PF1，PF2分别与内切圆相切于点D，E．则PD＝PE=12（2a﹣2c）＝a﹣c．
在Rt△PDI中，由勾股定理可得：PD2+ID2＝PI2．
∴（a﹣c）2+(cy0a+c)2=(x0-x03)2+(y0-cy0a+c)2，化为：x0294(a-c)2+y02b2=1．
与椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)比较可得：a2=94(a-c)2，∴a=32（a﹣c），可得ca=13．
∴e=13．故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，10）组成的一个样本，得到经验回归方程为ŷ＝2x﹣0.4，且x=2，去除两个样本点（﹣2，1）和（2，﹣1）后，得到新的经验回归方程为ŷ＝3x+b̂．在余下的8个样本数据和新的经验回归方程中（ ）
A．相关变量x，y具有正相关关系
B．新的经验回归方程为ŷ＝3x﹣3
C．随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变小
D．样本（4，8.9）的残差为﹣0.1
【答案】ABD
【解析】对于A：∵新的经验回归方程为ŷ＝3x+b̂，即斜率为3，
∴3＞0，即相关变量x，y具有正相关关系，故A正确；
对于B：将x=2代入ŷ＝2x﹣0.4得y=3.6，
∴去除两个样本点（﹣2，1）和（2，﹣1）后，得到新的平均数为X=208=52，Y=368=92，
将X=52，Y=92代入ŷ＝3x+b̂得92=3×52+b̂，解得b̂=-3，故B正确；
对于C：∵3＞2，
∴去除两点后，随着自变量x值增加，因变量y值增加速度变大，故C错误；
对于D：当x＝4时，ŷ＝9，
则样本数据（4，8.9）的残差为8.9﹣9＝﹣0.1，故D正确，故选：ABD．
（多选）10．经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2），|AB|的最小值是4，则下列说法正确的是（ ）
A．OA→⋅OB→=3
B．|AF|+|BF|＝|AF||BF|
C．若点M(32，1)是线段AB的中点，则直线l的方程为2x﹣y﹣2＝0
D．若AB→=4FB→，则直线l的倾斜角为60°
【答案】BCD
【解析】当直线l与x轴垂直时，AB取得最小值，所以2p＝4，所以p＝2，抛物线C的方程为y2＝4x，
由题意可知直线l的斜率不为0，可设直线的程为x＝my+1，
联立y2=4xx=my+1，得y2﹣4my﹣4＝0，Δ＝16（m2+1）＞0，y1y2＝﹣4，y1+y2＝4m，
故x1+x2＝m（y1+y2）+2＝4m2+2，x1x2=(y12y22)16=1，所以OA→⋅OB→=x1x2+y1y2＝﹣3，A错误；
|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，所以|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝4m2+4，|AF||BF|＝（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝4m2+4，所以，|AF|+|BF|＝|AF||BF|，B正确；
因为点M(32，1)是线段AB的中点，所以y1+y2＝4m＝2，即m=12，
此时直线l的方程为2x﹣y﹣2＝0，C正确；
因为AB→=4FB→，所以|AF|＝3|FB|，所以x1+1＝3（1+x2），即x1﹣3x2﹣2＝0，
又因为x1x2＝1，即x1-3x1-2＝0，整理得x12-2x1-3＝0，解得x1＝3（舍负），
由题意得，y1＞0＞y2，所以A（3，23），直线AB的斜率为23-03-1=3，
所以直线l的倾斜角为60°，D正确．故选：BCD．
（多选）11．已知函数f（x）＝|x﹣3|ex+a﹣1，则下列选项正确的是（ ）
A．y＝f（x）在（2，3）上单调递增
B．y＝f（x）恰有一个极大值
C．当a＞1时，f（x）＝0无实数解
D．当a＝1时，f（f（x））＝0有三个实数解
【答案】BCD
【解析】对于A，当x＜3时，f（x）＝（3﹣x）ex+a﹣1，f′（x）＝（2﹣x）ex，当x＜2时，f′（x）＞0，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，3）上单调递减．当x＞3时，f（x）＝（x﹣3）ex+a﹣1，f′（x）＝（x﹣2）ex＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增，A错误；
对于B，由以上讨论知x＝2是f（x）的极大值点，B正确；
对于C，当a＞1时，a﹣1＞0，f（2）＝e2+a﹣1＞0，f（3）＝a﹣1＞0，当x＜2时，f（x）＝|x﹣3|ex+a﹣1＞a﹣1＞0，所以当a＞1时，f（x）＝0无实数解，C正确；
对于D，当a＝1时，f（x）＝|x﹣3|ex，由以上讨论知当f（t）＝0时，t＝3．而f（2）＝e2＞3，f（3）＝0＜3，作出f（x）的大致图象如图所示．如图可知，f（x）＝3有三个实数解，所以f（f（x））＝0有三个实数解，D正确．故选：BCD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣2x2﹣3x，若实数m满足f（lg2m）≤5，则m的取值范围是 ．
【答案】[12，+∞)．
【解析】根据题意，当x∈[0，+∞）时，f'（x）＝﹣4x﹣3＜0，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，
又由f（x）为奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，
且f（﹣1）＝﹣f（1）＝5，故f（x）在R上为减函数，
由f（lg2m）≤5，得f（lg2m）≤f（﹣1），即lg2m≥﹣1，解得m≥12，
即实数m的取值范围为[12，+∞)．故答案为：[12，+∞)．
13．若0＜α＜π2，0＜β＜π2，cs(α+β)=35，sin(β-π4)=513，则csα﹣sinα＝ ．
【答案】56652．
【解析】因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以0＜α+β＜π，-π4＜β-π4＜π4，
因为cs(α+β)=35，sin(β-π4)=513，
所以sin(α+β)=1-(35)=45，cs(β-π4)=1-(513)2=1213，
所以csα-sinα=2(csπ4csα-sinπ4sinα)=2cs(π4+α)
=2cs[(α+β)-(β-π4)]=2[cs(α+β)cs(β-π4)+sin(α+β)sin(β-π4)]
=2(35×1213+45×513)=56652．故答案为：56652．
14．平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，﹣1），P（a，b）是平面内任一点，直线PA，PB分别交x轴于点C，D，直线OT与过C，D的圆O1相切于点T，若OT＝2，则a21-b2= ．
【答案】4
【解析】由A（0，1），B（0，﹣1），P（a，b），
直线PA：y﹣1=b-1ax，令y＝0，得xC=-ab-1；
直线PB：y+1=b+1ax，令y＝0，得xD=ab+1；
则过点C、D的圆的圆心G为（12（ab+1-ab-1），h），
则r2＝[12（ab+1-ab-1）-ab+1]2+h2=14（ab+1+ab-1）2+h2，
OG2=14（ab+1-ab-1）2+h2，
OT2＝OG2﹣r2=14（ab+1-ab-1）2+h2﹣[14（ab+1+ab-1）2+h2]=a21-b2，
又因为OT＝2，所以a21-b2=4．故答案为4．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA-sinB3a-c=sinCa+b．
（1）求B的值；
（2）若b＝2，求△ABC面积的取值范围．
解：（1）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA-sinB3a-c=sinCa+b，
由正弦定理得a-b3a-c=ca+b，即a2+c2-b2=3ac，
由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，因为B∈（0，π），所以B=π6；
（2）在锐角△ABC中，b=2，B=π6，记△ABC的面积为S，
由正弦定理得asinA=2sinπ6=csinC，即a＝4sinA，c＝4sinC，
所以S=12acsinB=4sinAsinC=2[cs(A-C)-cs(A+C)]=2cs(2A-5π6)+3，
因为在锐角△ABC中，B=π6，所以A∈(0，π2)，C=π-π6-A∈(0，π2)，
解得A∈(π3，π2)，2A-5π6∈(-π6，π6)，则cs(2A-5π6)∈(32，1]，故S∈(23，2+3]．
16．在平面图形SABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，SA＝SD，将△SAD沿直线AD折起，使得平面SAD垂直于平面ABCD，G是△SAD的重心，Q是DC的中点，直线GQ与平面ABCD所成角的正切值为66．
（1）求棱锥S﹣ABCD的体积；
（2）求平面SAB与平面SCD所成的角．
解：（1）延长SG与AD相交于点O，则O一定是AD的中点．易得SO⊥AD，GO⊥AD．
因为平面SAD垂直于平面ABCD，两个平面的交线是AD，
所以得到SO⊥平面ABCD，GQ在平面ABCD的射影是OQ，
所以直线GQ与平面ABCD所成的角是∠GQO在直角三角形GQO中，
OQ=12AC=2，tan∠GQO=OGOQ=66，解得OG=33，SO=3OG=3，SA＝2，
VS-ABCD=13SO⋅SABCD=13×3×2×2=433．
（2）法一：取BC的中点M，连接OM，以点O为原点，以OM→，OD→，OS→的正方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（2，1，0），D（0，1，0），S(0，0，3)，AB→=DC→=(2，0，0)，SA→=(0，-1，-3)，SD→=(0，1，-3)，
设平面SAB与平面SCD的法向量分别是m→=(x，y，z)，n→=(x'，y'，z')，则2x=0-y-3z=0，x=0y=-3z，令z＝1，m→=(0，-3，1)，2x'=0y'-3z'=0，x'=0y'=3z'
令z'＝1，n→=(0，3，1)．
设平面SAB与平面SCD所成的角为α，易知α是锐角，所以csα=|cs〈m→，n→〉|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=12，所以α=π3，即平面SAB与平面SCD所成的角为π3．
（2）法二：过点S作SM∥DC，SM＝DC，将原几何体补成三棱柱SAD﹣MBC，SM∥DC∥AB，
因为平面SAD垂直于平面ABCD，两个平面的交线是AD，AB⊥AD，
所以AB⊥平面SAD，SM∥AB，所以SM⊥平面SAD．
因SA，SD⊂平面SAD，所以SA⊥SM，SD⊥SM，SA⊂平面SAB，SD⊂平面SAB，
所以∠ASD即为平面SAB与平面SCD所成的角，大小为π3．
17．已知双曲线C：x2﹣y2＝8，圆A：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝r2，其中r＞0．圆A与双曲线C有且仅有两个交点D，E，线段DE的中点为G．
（1）记直线AG的斜率为k1，直线OG的斜率为k2，求k1k2．
（2）当直线DE的斜率为3时，求G点坐标．
解：（1）由题意如图所示：
因为|EG|＝|DG|，|AD|＝|AE|，线段DE的中点为G，所以AG⊥DE，
又设D（x1，y1），E（x2，y2），因为x12-y12=x22-y22=8，
所以（x1﹣x2）（x1+x2）＝（y1﹣y2）（y1+y2），而圆心A（2，2）不在坐标轴上，从而x1≠x2，x1+x2≠0，
所以y1-y2x1-x2⋅y1+y2x1+x2=1，所以kOG•kDE＝1，又kAG•kDE＝﹣1，
所以k1k2=kAGkOG=kAG⋅kDEkOG⋅kDE=-11=-1；
（2）设直线DE：y＝3x+m，与x2﹣y2＝8联立，化简并整理得：8x2+6mx+m2+8＝0，
其中Δ＝36m2﹣32（m2+8）＝4（m2﹣64）＞0，
设D（x1，y1），E（x2，y2），所以x1+x2=-3m4，y1+y2=3(x1+x2)+2m=-m4，
即G点坐标为(-3m8，-m8)，因为kAG•kDE＝﹣1，kDE＝3，所以kAG=-13，
而A（2，2），即m8+23m8+2=-13，解得m=-323．所以G(4，43)．
18．已知函数f（x）＝alnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）若经过点（0，0）的直线与函数f（x）的图像相切于点（3，f（3）），求实数a的值；
（2）设g(x)=f(x)+32x2-1，若函数g（x）在区间[32，4]为减函数时，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g(x)=f(x)+32x2-1，若函数g（x）有两个极值点为x1、x2（x1≠x2），且不等式g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）因为f（x）＝alnx﹣ax+1（a∈R），其中x＞0，则f'(x)=a(1x-1)，
所以f（3）＝aln3﹣3a+1，f'(3)=-23a，
所以函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线方程为y-(aln3-3a+1)=-23a(x-3)，
将原点的坐标代入切线方程可得3a﹣aln3﹣1＝2a，解得a=11-ln3．
（2）g(x)=f(x)+32x2-1=32x2-ax+alnx，则g'(x)=3x-a+ax，
因为函数g（x）在区间[32，4]上为减函数，
故对任意的x∈[32，4]，g'(x)=3x-a+ax≤0恒成立，可得a≥3x2x-1，
令p(x)=3x2x-1，其中x∈[32，4]，则p'(x)=3x(x-2)(x-1)2，
当32≤x＜2时，p′（x）＜0，此时函数p（x）单调递减，
当2＜x≤4时，p′（x）＞0，此时函数p（x）单调递增，
因为p(32)=3×(32)212=272，p(4)=3×423=16，则p（x）max＝16，故a≥16．
故实数a的取值范围是[16，+∞）．
（3）因为g'(x)=3x-a+ax=3x2-ax+ax，
由题意可知，方程g′（x）＝0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
即方程3x2﹣ax+a＝0在（0，+∞）上有两个不等的实根，
则Δ=a2-12a＞0x1+x2=a3＞0x1x2=a3＞0，可得a＞12，
由g（x1）+g（x2）＜λ（x1+x2）可得λ＞g(x1)+g(x2)x1+x2=g(x1)+g(x2)a，
又因为g(x1)+g(x2)=32(x12+x22)-a(x1+x2)+aln(x1x2)
=32[(x1+x2)2-2x1x2]-a23+alna3=32(a29-2a3)-a23+alna3=-16a2-a+alna3，
所以λ＞g(x1)+g(x2)a=lna3-a6-1，
令t=a3＞4，令k(t)=lnt-12t-1，其中t＞4，k'(t)=1t-12=2-t2t＜0，
所以函数k（t）在（4，+∞）上为减函数，
故当t＞4时，k（t）＞k（4）＝ln4﹣3＝2ln2﹣3，所以λ≥2ln2﹣3，
因此，实数λ的取值范围是[2ln2﹣3，+∞）．
19．已知无穷数列{an}(an≠0，n∈N*)，构造新数列{an(1)}满足an(1)=an+1-an，{an(2)}满足an(2)=an+1(1)-an(1)，⋯，{an(k)}满足an(k)=an+1(k-1)-an(k-1)(k≥2，k∈N*)，若{an(k)}为常数数列，则称{an}为k阶等差数列；同理令bn(1)=an+1an，bn(2)=bn+1(1)b(1)，⋯，bn(k)=bn+1(k-1)bn(k-1)(k≥2，k∈N*)，若{bn(k)}为常数数列，则称{an}为k阶等比数列．
（1）已知{an}为二阶等差数列，且a1=1，a2=4，an(2)=2，求{an}的通项公式；
（2）若{an}为阶等差数列，{bn}为一阶等比数列，证明：{bnan}为阶等比数列；
（3）已知dn=-3n2+8n-14n，令{dn}的前n项和为Sn，Tn=m=1n Sm-1，证明：Tn＜2．
（1）解：由题意知a1(1)=3，{an(1)}的公差为2，所以an(1)=3+2（n﹣1）＝2n+1，即an+1﹣an＝2n+1⇒an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+...+（a2﹣a1）+a1＝n2；
（2）证明：因为{an}为k阶等差数列，所以{an(k)}为常数，
故an(k-1)为最高项次数k≤1的多项式，
以此类推，可得an为最高项次数≤k的多项式，又{bn}为一阶等比数列，
所以bnan的指数为最高项次数≤k+1的多项式，故{bnan}为k+1阶等比数列；
（3）证明：dn=-3n2+8n-14n=n2-14n-(n-1)2-14n-1⇒Sn=n2-14n+1⇒Sm-1=m2-14m＜m24m=m2m⇒Tn＜m=1n m2m，而m2m=m+12m-1-m+22m⇒m=1n m2m=2-n+22n⇒Tn＜2．