浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

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选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
4. 已知直线和平面，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 展开式中含项的系数为（ ）
A 30B. C. 10D.
6. 已知函数，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点是函数的一个对称点，则和的值可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：．，点到的长度为1，点到的长度为2，点到的长度为3，点到的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（ ）
A. 4752B. 4753C. 4850D. 4851
8. 已知分别是双曲线的左，右顶点，是双曲线上的一动点，直线，与交于两点，的外接圆面积分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若（为虚数单位），则下列说法正确的为（ ）
A. B.
C. D.
10. 为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（ ）
A.
B. 回归直线必过点
C. 加工60个零件的时间大约为
D. 若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
11. 设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）
A.
B. 若，则点坐标为
C. 的最小值为
D. 满足面积为的点有2个
12. 对于集合中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件：
①“”的充要条件为“”；
②；
③，都有．
则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 为
C. 若，则为
D. 若为，则也为（为自然对数的底数）
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知圆台的上下底面半径分别是1，4，且侧面积为，则该圆台的母线长为__________．
14. 若函数是上的偶函数，则__________．
15. 已知是第二象限角，，现将角终边逆时针旋转后得到角，若，则__________．
16. 已知曲线，直线，若对任意，直线始终在曲线下方，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角所对的边分别是，已知．
（1）求角；
（2）设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
18. 在三棱柱中，四边形是菱形，是等边三角形，点是线段的中点，．

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19. 袋中有2个黑球和1个白球，现随机从中有放回地取球，每次取1个，约定：连续两次取到黑球或者取满5次，则取球结束．在取球过程中，计分规则如下：若取到1次黑球，得2分；取到1次白球，得1分．小明按照如上约定和规则进行取球，最终累计积分为．
（1）求小明取球次数不超过4次的概率；
（2）求的分布列和期望．
20. 已知数列满足，记数列的前项和为．
（1）求；
（2）已知且，若数列是等比数列，记的前项和为，求使得成立的的取值范围．
21. 已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上异于顶点的一动点，的角平分线分别交轴、轴于点．
（1）若，求；
（2）求证：为定值；
（3）当面积取到最大值时，求点的横坐标．
22. 已知函数有两个不同的零点．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．