2025届浙江省强基联盟高三上10月联考数学试卷（解析版）

这是一份2025届浙江省强基联盟高三上10月联考数学试卷（解析版），共14页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以．
故选：C．
2. 已知，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】因为．
故选：A．
3. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为，为非零向量，
若，则，则，
所以，所以，故充分性成立；
若，则，所以，
所以，则，故必要性成立；
所以“”是“向量”的充要条件.
故选：C．
4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点到圆心的距离为，圆的半径为，
所以，于是．
故选：A．
5. 二项式的展开式中的常数项为（ ）
A. 480B. 240C. 120D. 15
【答案】B
【解析】因为得到常数项，
则．.
故选:B．
6. 已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】作出轴截面，如图所示，
由题意可得：，可知分别为的中点，
则分别为的中点，则，
可得；，所以比值为．
故选：C．
7. 函数在区间上的所有零点之和为（ ）
A. πB. C. D. 4
【答案】B
【解析】由得，即，
函数的零点即方程的根，
作出函数和的图象，如图，
由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点，
故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为．
故选：B．
8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都属于时，下列选项恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，，，
所以，，故排除B、C；
当，时，，，，
所以，故排除A．
下面证明D的正确性：
当，之一为无理数或者0或者1时，不等式右边为0，显然成立．
当，都是真分数时，不妨设，，
则不等式右边为，显然有左边大于或等于．
所以不等式成立．
故选：D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】对A，因为，根据对称性，知道，故A正确；
对B，因为，故B正确；
对C，因为，故C正确；
对D，因为，，故D错误.
故选：ABC．
10. 在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），则（ ）
A. 过点有且仅有一条直线与直线，都垂直
B. 过点有且仅有一条直线与直线，都相交
C. 有且仅有一个点满足和的面积相等
D. 有且仅有一个点满足平面平面
【答案】AB
【解析】由图可知直线和直线异面，
则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直，故A正确；
直线和直线异面，且直线与平面相交，直线与平面相交，
所以过点有且仅有一条直线与直线，都相交，故B正确；
连接交于，易知，所以，
可知到的距离大于，且，
又到的距离小于，结合所以三角形面积不可能相等，故C错误；
由正四棱柱易得：平面，又平面，
所以对任意恒有平面平面，故D错误.
故选：AB.
11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）
A. 曲线的图象关于原点对称
B. 对任意，直线与曲线有唯一交点
C. 对任意，恒有
D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于
【答案】ACD
【解析】A．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A正确；
B．取，可以求得，，均可，故B错误；
C．由，，函数，故，
令，解得：，在，时，，函数单调递减，
在时，，函数单调递增，所以，
又因为是增函数，，所以有，故C正确；
D．当时，，又，
，所以．
曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，
则曲线与轴围成图形的面积小于，故D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则线段__________．
【答案】
【解析】因为椭圆，则，所以，，
因为,
所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即．
故答案为：
13. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为______．
【答案】2
【解析】由得，又切点为，故，切线为，
设与曲线的切点为，，所以，解得切点为，
所以，解得．
故答案为：2.
14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意构造，，
则有，，，．
因为，恒成立，
又的概率为0.5，
所以必有或者解得．
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 在中，角的对边分别为，，，已知，．
（1）求角和角．
（2）若边上的高为，求的面积．
解：（1）由余弦定理知，故．
因为，所以，
又，所以，故．
（2）因为边上的高，解得，，
又，
所以的面积．
16. 已知双曲线与过点，的直线有且只有一个公共点，且双曲线的离心率．
（1）求直线和双曲线的方程；
（2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：．
（1）解：因为双曲线的离心率，
所以，解得，
设双曲线方程.
直线过点，，
所以直线方程为，即，
代入双曲线方程，得，
由题意，，解得
所以双曲线的方程：．
（2）证明：因为，于是即，
所以，代入得，
则，又，所以，
因为为线段的中点，所以，
所以．
又，所以，故．

17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三角形，是棱的中点．
（1）证明：；
（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：分别取与中点，．连接，，，，
则运用中位线性质知且,
则，
则四边形是平行四边形．
侧面是正三角形，易知，.
底面是菱形，，则底面是正三角形，则.
平面， 平面，
平面，.
由于四边形是平行四边形．，．
（2）解：由（1）知为二面角的平面角，即，前面知道，
则过O做AD的垂线Oz，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图，
设，则，，，，，，，，，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，进而求得一个法向量为．
设直线与平面所成角为，
则．
18. 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间和最值；
（2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数的解析式并证明：恒成立．
（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的取值范围．
解：（1）因为，所以，定义域为，求导得，
故当时，f'x