高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第6章 三角计算6.3 正弦型函数的图像和性质优秀教案设计

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）第6章 三角计算6.3 正弦型函数的图像和性质优秀教案设计，共6页。
6.3 正弦型函数的图像和性质
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
2 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课以生活中摩天轮的实例作为引例，抽象出正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)模型，将其与学生已有的物理知识联系起来，引入函数 y=Asin(ωx+φ)的图像，然后并说明参数 A，ω，φ 的实际意义，引出周期、频率、初相概念，既结合了实际，又体现了学以致用的思想；教学中通过简单到复杂，从特殊到一般,从具体到抽象的探究过程，研究函数 y=Asin(ωx+φ)的图像与正弦曲线之间的关系，教给学生用“五点法”画正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)在一个周期上的简图，从而会求函数 y=Asin(ωx+φ)的最大值、最小值、周期和单调区间等，在解决问题中培养学
生整体代换的思想.
教学目标
理解函数 y=Asin(ωx+φ)中 A，ω，φ 对图像的影响，知道 y=Asin(ωx+φ)与 y=sinx之间的关系，会用“五点法”画正弦型函数在一个周期上的简图；通过具体实例，初步掌握在一个周期上画正弦型函数简图的“五点法”，了解正弦型函数与正弦函数之间的关系，培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等，体会从特殊到一般的归纳推理方法；通过学习，逐步提升直观想象和逻辑推理等核心
素养．
教学
重点
正弦函数 y=sinx 图像到正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)图像的变换过程．
教学
难点
用“五点法”画正弦型函数在一个周期上的简图；正弦型函数的图像和性
质及其应用．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引言
在物理学、电工和工程技术中，经常会遇到形如 y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ 都是常数)的函数，它与和角公式、二倍角公式以及正弦函数 y=sinx 等三角知识有着密
切的联系.下面来研究这类函数的作图方法和性质.
讲述启发
体会思考
引出课题
情境导入
匀速转动的摩天轮的半径为 R，转动的角速度为 ω.以摩天轮的中心为坐标原点建立坐标系，如图 所示．若点 P0表示座椅的初始位置，∠MOP0=φ，问点 P 的纵坐标 y 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
提出问题引发思考
观察思考讨论交流
以生活中实例作为引例体现数学应用
新知探索
由正弦函数数的定义，得点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系为
y=Rsin(ωt+φ) .
形如 y=Asin(ωx+φ) (其中 A，ω，φ 都是常数)的函数称
启发引导
思考交流
已有的物理知
识联
为正弦型函数.在物理学中，正弦型函数被用来表示简谐振动、正弦式电流等．习惯上，A 称为振幅，ωx+φ 称为相
位，φ 称为初相， T= 2 称为周期，f= 1 =  称为频率.
T2
当 A=1，ω=1，φ=0 时，函数 y=Asin(ωx+φ)就是 y=sinx .因此，正弦函数是正弦型函数的特殊情况．类比作正弦函数 y=sinx 图像的方法，可作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图
像，从而研究它的性质.
系起
来体
讲解
领会
现学
描述
要点
以致
用
例 1用“五点法”作出下列各函数在一个周期内的简图．
(1) y=sinx；(2) y=sin2x；
(3) y= sin  2x  π  ；(4) y=2 sin  2x  π  ．
4 4 

解 (1) 列表
描点作图，得到函数 y=sinx，x∈[0,2π]的简图.
(2)因为 T= 2 = 2 =π，所以函数 y=sin2x 的周期为 π.
2
我们作函数 y=sin2x 在[0,π]上的简图.
令 2x=0,  ，π，  ，2π，并列表.
22
描点作图，得到函数 y=sin2x，x∈[0,π]的简图.
提问
思考
通过
引导
分析
简单
到复
杂，
从特
殊到
—
讲解
解决
般 ,
从具
强调
交流
体到
抽象
的探
究过
程，
指导
主动
来研
学习
求解
究正
弦型
典型
函数
例题
的图
像与
正弦
提问
思考
曲线
引导
分析
之间
的关
系
引导
学生
观
讲解
解决
察、
强调
交流
比较
和归
纳，
让学
生理
解函
数这
因为 T= 2 = 2 =π，所以函数 y  sin  2x  π  的周

24 

期是 π.我们作函数 y= sin  2x  π  在  , 7 上的简图.
4  8 8 

令2x  π =0 ，  ，π，  ，2π，并列表.
422
描点作图，得到函数 y= sin  2x  π  ，x∈   , 7 的

4  8 8 

简图.
因为 T= 2 = 2 =π，所以函数 y=2 sin  2x  π  的
24 

周期是 π.我们作函数 y=2 sin  2x  π  在  , 7 上的简

4  8 8 

图.
令2x  π =0 ，  ，π，  ，2π，并列表.
422
提问引导
讲解强调
指导学习
提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
主动求解
思考分析
解决交流
组函数的关 系，帮助学生理解 A ， ω，φ的意义以及它们对函数图像的影响．归纳得到出由正弦函数图像得到正弦型函数图像的步 骤．这一过程体现了由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，实现
描点作图，得到函数 y=2 sin  2x  π  ，x∈   , 7

4  8 8 

的简图.
将例 1 中作出的四条曲线画在同一个平面直角坐标系中，如图所示.可以看出，把函数 y=sinx 图像上所有点的横
坐标变为原来的 1 (纵坐标不变)，就得到函数 y=sin2x 的图
2
像；把函数 y=sin2x 的图像沿 x 轴向左平移 π 个单位，就
8
得到函数y= sin  2x  π  的图像；把函数y= sin  2x  π  图
4 4 

像上所有点的纵坐标变为原来的 2 倍(横坐标不变) ，就得
到函数 y=2 sin  2x  π  的图像.
4 

感性到理性的升华
综合比 较，体验函数与图像与参数的关系
新知探索
一般地，将函数 y=sinx 图像上所有点的横坐标变为原
来的 1 必(纵坐标不变)，就得到函数 y=sinωx 的图像；将

两数 y=sinωx 的图像沿 x 轴向左(φ>0)或者向右(φ0, ω>0.因此，正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图像可用五点法作
出，也可由函数 y=sinx 的图像经过平移、伸缩得到. 利用正弦函数的性质及正弦型函数的图像，可以得到关于正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)(其中 A>0, ω>0)的一些结论.
定义域：实数集 R .
值域：[-A,A].
周期：T= 2 .

探究与发现
如何从函数 y= sin  x  π  的图像得到函数
4 

y=2 sin  2x  π  的图像?
4 

启发引导
讲解描述
思考交流
领会要点
根据实例适时总 结，从图像体现的现象抽象出数学本质
提示学生换一种方式看待这个问
题
典型例题
例 2 求函数 y= 3 sin 2x  cs 2x 的周期、最大值和最小值，并指出当 x 取何值时，函数取得最大值和最小值.
解 因为 y= 3 sin 2x  cs 2x =2  3 sin 2x  1 cs 2x 
 22

=2 sin 2x cs π  cs 2x sin π 
66 

=2sin  2x  π  .
6 

所以函数的周期为 T= 2 =π.

当2x  π =2kπ+ π ，即 x=kπ+ π (k∈Z)时，函数
626
y=2sin  2x  π  取得最大值，最大值为 2；
6 

当2x  π =2kπ  π ，即 x=kπ- π (k∈Z)时，函数
623
y=2sin  2x  π  取得最小值，最大值为-2.
6 

提问引导
讲解强调
思考分析
解决交流
求正弦型函数的最大 值、最小值、周期和单调区间是本节的又一教学要求
新知探索
拓展延伸
启发引导
讲解描述
思考交流
领会要点
介绍辅助角公式，该公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数
一般地，函数 y=asinx+bcsx(其中 a、b 不全为零)可以化成 y=Asin(x+θ)的形式.
如图所示，点 P 的坐标为(a,b)，以 OP 为终边的角为
θ.
由三角函数的定义，可知
cs a，sin b.

a2  b2a2  b2
于是，y=asinx+bcsx
 a2  b2 (asin x bcs x)

a2  b2a2  b2
a2  b2 (cs sin x  sin  cs x)
a2  b2 sin(x   ) .
因此，函数 y=asinx+bcsx 的最大值是 a2  b2 ，最小值是 a2  b2 ，周期是 2π.
巩固练习
练习 6.3
用“五点法”作出下列函数在一个周期的简图．
说明怎样由函数 y=sinx 的图像得到下列函数的图
像.
(1) y  1 sin x ；(2) y= sin  x    ；
33 

(3) y  2 sin 1 x ；(4) y  1 sin  2x    .
224 

3.求下列函数的周期、最大值和最小值以及取得最值时 x 的集合.
(1) y  2 sin 2x ；(2) y  2 sin  x+   ；
33 

(3) y  3sin  2x    ；(4) y=sinx+csx.
6 

提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
说明
记录
继续探究延伸
学习