高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）6.2 二倍角公式优质教案设计

这是一份高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）6.2 二倍角公式优质教案设计，共3页。
6.2 二倍角公式
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
2 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课在两角和正弦公式S＋、C＋、T＋的基础上，将二倍角公式看作两角和的三角函数公式的特殊情况，令 α=β 得到二倍角的正弦、余弦和正切公式；然后练习让学生理解“二倍角”概念的相对性.
教学目标
理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导过程及在求值、化简与证明等方面的应用；通过让公式的推导公式，了解它们的内在联系，从而培养逻辑思维能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力；通过
学习，逐步提升逻辑推理和数学运算的核心素养．
教学
重点
二倍角公式．
教学
难点
二倍角公式的应用.
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引言
二倍角公式是三角计算中常用的一组公式.用角 α 的
三角函数值表示其二倍角 2α 的三角函数值，在化简、求值、证明及工程中有着广泛的运用.
讲述启发
体会思考
引出课题
情境
导入
在两角和的余弦、正弦和正切公式中，当 α=β 时，
我们能得到什么结果呢？
引发
思考
体会
认识
阐明
联系
探索新知
在公式 S＋中，当 α=β 时，
sin(α+β)=sin(α+α)
=sinαcsα+csαsinα
=2sinαcsα，
因此sin2α=2sinαcsα.
同理cs2α=cs(α+α)
=csαcsα-sinαsinα
=cs²α-sin²α； tan2α=tan(α+α)
= tan  + tan  1  tan  tan 
= 2 tan  .
1  tan2 
因为
sin²α+cs²α=1， 所以 cs2α 又可以表示为
cs2α=2cs²α-1 或 cs2α= 1-2sin²α.
于是，得到二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2α=2sinαcsαS2α cs2α=cs²α-sin²α
=2cs²α-1
=1-2sin²αC2α
提出问题引发思考
观察思考讨论交流
借助和角公式推导二倍角公式，引导学生体验二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况
2 tan 
tan2α=
1  tan2 
上面三个公式统称二倍角公式.探究与发现
证明.
1  cs 
sin= ；
22
1+ cs 
cs= .
22
T2α
理解
“二
倍
角”
概念
的相
对性
例 1已知 sinα= 4 ，α 是第二象限角，求 sin2α、cs2α 和
5
tan2α 的值．
解 因为 α 是第二象限角，所以
 4 23 cs   1  sin2    1     ，
 5 5
于是，有
sin2α=2sinαcsα= 2  4    3  =  24 ，
5  5 25

 4 27
cs2α=1-2sin²α=1  2   5  =  25 .
 
又因为
4
tan = sin = 5 =  4 ，
cs 33
5
2    4 
2 tan  3 24
所以tan2α== =.
1  tan2  4 27
1   3 

例 2已知cs  =  1 ，且 θ∈(π,2π)，求 sinθ 和 csθ 的
23
值．
解 由 θ∈(π,2π)，可知  π , π ，故
2 2

2  1 22 2 sin 2  1  cs 2  1    3   3 .

因此，
sinθ= 2sin  cs  =2  2 2    1 =  4 2 ，
223 3 9

 1 27
csθ=2cs² 2 -1= 2    3  1   9 .

提问
思考
直接
引导
分析
应用
已知
条
件，
能有
效避
讲解强调
解决交流
免使用错
误的
间接
条件
导致
结果
指导
主动
错误
学习
求解
典型
例题
提问
思考
二倍
引导
分析
角公
式的
讲解
解决
逆向
强调
交流
运用
例 3 化简： sin 2 +sin .
2 cs 2 +2sin2  +cs
解 原式= 2sin cs +sin
2cs2   sin2  +2sin2  +cs
sin 2 cs +1
=
cs 2 cs +1
=tanα.
例 4 证明： tan  1  cs 2 .
sin 2
1  cs 21  1  2sin2  2sin2 
证明 右边===
sin 22sin cs2sin cs
= sin =tanθ=右边，
cs
所以原等式成立.
提问
思考
二倍
引导
分析
角公
式的
讲解
解决
综合
强调
交流
运用
练习 6.2
1.求下列各式的值.
(1) 2sin15°cs15°；(2) 2 cs2   1 ；
12

2 2 tan 8
(3) 1  2sin 12 ；(4) .
1  tan2
8
已知cs = 4 ，α 是第四象限角，求 sin2α、cs2α 和
5
tan2α 的值．
已知sin  = 4 ，θ∈(0,π)，求 sinθ 和 csθ 的值．
25
化简.
(1) sin  cs  ；(2) cs4   sin4 ；
22
(3) cs  sin 2 ；(4)11.
1  tan 1+ tan 
提问
思考
及时
掌握
学生
巡视
动手
情况
求解
查漏
补缺
巩固
练习
指导
交流
归纳总结
引导提问
回忆反思
培养学生总结学习过程能力
布置
作业
书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;
说明
记录
继续
探究
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.
延伸
学习