中职数学高教版（2021·十四五）拓展模块一（下册）9.1 离散型随机变量及其分布优质教学设计

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9.1 离散型随机变量及其分布
选用教材
高等教育出版社《数学》
（拓展模块一下册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课
教学提示
本课通过学习离散型随机变量的概念、数字特征，研究离散型随机变量的二项分布，不仅进一步理解了离散型随机变量在描述随机现象中的作用，对随机思想在解决实际问题中进行更加深入的理解. 通过研究取有限个值的离散型随机变量及其分布列，借助实例引导学生发现离散型随机变量的分布列，然后直接给出均值与方差的定义引出离散型随机变量的数字特征，最后通过北京奥运会射击的奖牌数设置情境，引出 n 重伯努利试验的概念，借助问题与情境对学生进行
思政教育．
教学目标
通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，了解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)，了解伯努利试验，了解二项分布及其数字特征，能解决简单的实际问题；通过学习，逐步提升数学运算、数据分析、逻辑推理和数学
建模等核心素养．
教学
重点
离散型随机变量的概念及其数字特征；二项分布的计算．
教学
难点
二项分布在实际问题中的应用.
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
引入
很多随机试验的结果都能够用数量来表示.如足球比赛时某队的 进球数、数学测试时某分数段的人数等.当把随机试验的结果看作是随机变量时，这些数量就是随机变量的取值,概率就成为随机变量的函数，这样就可以
利用数学工具更全面地研究随机现象的规律性.
提出问题
思考
分析
引出课题
引发思考
回答
9.1.1 离散型随机变量
在第 45 届世界技能大赛上，我国选手共获
提出问题
观察思考
结合技能
得 16 枚金牌，位列金牌榜、奖牌榜、团体总分第
引发
思考
讨论
交流
大赛
激发
一名. 为备战世界技能大赛数控车项目比赛，
学生
学习
情境
某选手需要按尺寸要求
兴
导入
进行钢件加工训练.从前
期的训练结果可知，钢件的加工误差(单 位：mm)有
-0.02, -0.01,0,0.01,0.02,
产生这些误差的概率分别为
趣，创设具体
的随
0.06, 0.1, 0.6, 0.2, 0.04.
通过分析这些数据,该选手可以改进编程参数和操作
机试
验情
技巧，提高成绩.试问,误差与 应的概率之间是否具有西
境
数关系？这些误差具有怎样的特点？
根据函数的定义可知，这里的概率是误差的函数，误
差是自变量而概率是函数值.值得注意的是，在加工钢件时
讲解
理解
对关
键概
新知探索
每一个误差的出现是不确定的. 也就是说，误差这一变量的取值具有不确定性，加工钢件可以看作是一个随机试验.类似地，“掷一颗骰子”是一个随机试验，试验中骰子朝上一面的点数是一个取值具有不确定性的变量，其取值为 1，2，3，4，5，6.事实上，以前学习过的许多随机试验都和这两个例子一样，每次实验的结果都对应于一个实数，并且试验结果具有随机性：于是， 这些随机试验可能出现的结果可以用一个变量来表示.
随机试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，这个变量的取值就是随机的，我们把这个变量称为随机变量.一般地，随机变量用大写字母 X，Y，⋯表示，有时也
用希腊字母 ξ，η，…表示.
例如，若 10 件产品中含有 2 件次品，从中任取 3 件，用 X 表示取得次品的件数，则 X 是一个随机变量，它的取值范围是{0，1，2}；用 ξ 表示骰子朝上一面的点数，则 ξ是一个随机变量，它的取值范围是{1，2，3，4，5，6}.再如，用 η 表示从 1，2，3，4 中任取两个数相加所得的值，则 η 是一个随机变量，它的取值范围是{3，4，5，6，7 }.
温馨提示
有些随机试验的结果虽然不是实数,但仍可以将它们数量化.如拋掷一枚硬币时，可以用“1”表示“正面向上”，用“0”表示“反面向上”，这个随机试验的结果就可以用一个随机变量来表示了.
在上述随机实验中，随机变量所有可能的取值都能一一列举出来.一般地，所有可能的取值都能一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.本章我们主要学习离散型
随机变量及其分布.
提示说明
举例说明
领会要点
理解体会
念进行讲解，为后续学习做好准备
加深对概念的理解
巩固练习
练习 9.1.1
1. 下列随机变量中，哪些是离散型随机变量？写出离散型随机变量的取值范围.
从某同学的家到学校有 5 个红绿灯路口，路上遇到绿灯的次数 ξ;
某同学可能出生的月份 ξ;
投神两颗骰子，朝上的点数之和 ξ; (4)某品牌电灯的寿命 ξ(以小时为单位).
2.甲、乙两队进行足球比赛，胜方得 3 分，负方得 0
分，平局各得 1 分，试写出比赛结束后甲队可能的胜负结果及对应的分值 ξ.
提问
巡视
指导
思考
动手求解
交流
及时掌握学生情况查漏补缺
情境导入
9.1.2 离散型随机变量的分布列及其数字特征
在 9.1.1 的“情境与问题”中，概率是误差的函数. 如何表示这个函数呢？
引发思考
讨论交流
保持思维
一致
新知探索
容易看出,这个函数可以用列表法表示.误差是一个随机变量,记为 ξ；与误差 ξ 相对应的概率是函数值,记为 P,见下表.
若一个离散型随机变量 ξ 所有可能的取值为 x1，x2，…， xn，与各个取值相对应的概率分别为 p1，p2，…，pn,则可列表表示 ξ 的各个取值与其概率的关系.
离散型随机变量的取值及其相对应的概率的全体称为离散型随机变量的概率分布，通常把上表称为离散型随机变量的分布列.
观察第一个表可以发现，与误差 ξ 相对应的概率都是非负的，并且各个概率的和等于 1.对更多随机试验的研究表明，离散型随机变量的分布列具有以下性质：
(1) pi≥0，i=1，2，3，…，n；
(2)p1+ p2+…+ pn=1.
显然，离散型随机变量的分布列从概率角度全面反映了随机变量的取值规律. 但是，在很多实际问题中，人们还关心离散型随机变量的平均取值和取值的离散程度等.
一般地，若离散型随机变量 ξ 所有可能的取值为 x1， x2，…，xn,
且各个取值所对应的概率分别为 p1，p2，…，pn，则称 E(ξ)= x1p1+x2p2+…+ xnpn
为离散型随机变量的均值(或期望值)，称
为离散型随机变量的方差.
若随机变量概率分布的某种整体特征(平均取值、取值的集中程度等)可以用一个数值来表示，则称该数值为随机变量的数字特征.在离散型随机变量的数字特征中，最重要的是均值和方差.离散型随机变量的均值刻画了这个随机变量的平均取值水平；离散型随机变量的方差刻画了这个
随机变量的取值相对于均值的平均波动大小.
讲解
展示表格
提示说明
说明强调
讲解说明
理解
观察特征
交流讨论
领会要点
理解体会
通过实例引导学生发现离散型随机变量的分布列；教材直接给出均值与方差的定义引出离散型随机变量的数字特 征，学生利用定义直接解决简单问题即可
典型例题
例 1 学校举办一项活动，某班需要从 4 名男生、3 名女生中随机选出 3 人参加. 若选出的同学中女生人数为 ξ，求：
ξ 的分布列；
选出的同学中至少有 2 名女生的概率；
选出的同学中至多有 2 名女生的概率.解 (1) 根据题意，ξ 的取值为 0，1，2，3.
提问引导
思考分析
例 1直接应用知识解决问题

所以， ξ 的分布列表为：
例 2 根据历次设计训练的记录，甲、乙、丙三人命中环数的分布列分别为下表.
求 m 的值；
试比较甲、乙两人射击水平的高低；
乙、丙两人睡的射击水平比较稳定？
解 (1)由离散型随机变量分布列的性质可知，0.4+0.5+m=1,
解得 m=0.1；
E(ξ1)=8×0.4+9×0.5+10×0.1=8.7，
E(ξ2)=8×0.2+9×0.6+10×0.2=9，
这说明，乙射击命中环数的均值比甲射击命中环数的均值高，因此可以认为乙的射击水平比甲高.
E(ξ3)=8×0.4+9×0.2+10×0.4=9，
D(ξ2)=(8-9)²×0.2+(9-9)²×0.6+(10-9)²×0.2=0.4，
D(ξ3)=(8-9)²×0.4+(9-9)²×0.2+(10-9)²×0.4=0.8，
由 E(ξ2)=E(ξ3)，D(ξ2)