新高考数学一轮复习考点分类讲与练第12讲 指数与指数函数（2份，原卷版+解析版）

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一、指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数．
(2)指数函数的图象与性质
[常用结论]
二、指数函数图象的画法
1.画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．
3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．
1、【2020年新课标2卷理科】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
2、【2020年新课标3卷理科】Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【解析】，所以，则，
所以，，解得.
故选：C.
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天B．1.8天
C．2.5天D．3.5天
【答案】B
【解析】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
4、【2018年新课标1卷文科】设函数，则满足的x的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
5、【2022年全国甲卷】函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
1、已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．c1，
解得t< eq \f(1－\r(5),2)或t> eq \f(1＋\r(5),2).
又因为t>0，所以t> eq \f(1＋\r(5),2)，
即3x> eq \f(1＋\r(5),2)，所以x>lg3 eq \f(1＋\r(5),2)，
所以f(x)>1的解集为(lg3 eq \f(1＋\r(5),2)，＋∞).
(2) 若f(x)≤6对x∈[0，2]恒成立，
则λ≤6×3x－(3x)2在区间[0，2]上恒成立．
令3x＝m∈[1，9]，
则g(m)＝－m2＋6m，图象的对称轴为直线 m＝3，
所以g(m)在区间[1，3]上单调递增，在区间[3，9]上单调递减，
所以g(m)min＝g(9)＝－81＋54＝－27，
所以λ的取值范围是(－∞，－27].
变式1、关于函数f (x)＝eq \f(1,4x＋2)的性质，下列说法中正确的是( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，＋∞)
C．方程f (x)＝x有且只有一个实根
D．函数f (x)的图象是中心对称图形
【答案】 ACD
【解析】 函数f (x)＝eq \f(1,4x＋2)的定义域为R，所以A正确；
因为y＝4x在定义域内单调递增，所以函数f (x)＝eq \f(1,4x＋2)在定义域内单调递减，所以函数的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，所以方程f (x)＝x只有一个实根，所以B不正确，C正确；
因为f (x＋1)＋f (－x)＝eq \f(1,4x＋1＋2)＋eq \f(1,4－x＋2)
＝eq \f(1,4·4x＋2)＋eq \f(4x,2·4x＋1)＝eq \f(1,2)，
∴f (x)关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4)))对称，所以D正确．
变式2、(2022·江苏南通市区期中)设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[1，2]时，eq f(x)＝a·2\s\up6(x)＋b，若f(0)＋f(1)＝－4，则eq f(\f(7,2))＝ ．
【答案】4－4EQ \R(,2)
【解析】由题意，因为f(x＋1)是奇函数，f(x)是偶函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，则f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，则x＝0时，f(1)＝－f(1)，则f(1)＝0，由f(0)＋f(1)＝－4，可得f(0)＝－4，即f(2)＝－f(0)＝4，则eq \B\lc\{(\a\al(f(1)＝2a＋b＝0,f(2)＝4a＋b＝4))，解得a＝2，b＝－4，所以eq f(\f(7,2))＝f(\f(7,2)－4)＝f(－eq \f(1,2))＝－f(－eq \f(1,2)＋2)＝－f(eq \f(3,2))＝－(2×2EQ \S\UP8(\F(3,2))－4)＝4－eq 4\r(,2)．
变式3、已知函数，则（ ）．
A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称
C．在上单调递增D．在上单调递减
【答案】A
【解析】的定义域为，
A：因为，
所以函数的图象关于对称，因此本选项正确；
B：由A知，所以的图象不关于点对称，因此本选项不正确；
C：
函数在时，单调递增，
在时，单调递减，因此函数在时单调递增，在时单调递减，故本选项不正确；
D：由C的分析可知本选项不正确，
故选：A
1、已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，再将的图象向右平移个单位长度，得到函数，
又因为，所以，，整理可得，
因为且，解得.
故选：D.
2、(2022·江苏省第一次大联考)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基(K．E．Tsilkvsky)于1903年给出火箭最大速度的计算公式v＝V0ln(1＋EQ \F(M,m\S\DO(0)))．其中，V0是燃料相对于火箭的喷射速度，M是燃料的质量，m0是火箭(除去燃料)的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知V0＝2km/s，则当火箭的最大速度v可达到10km/s时，火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的( )倍
A．e5 B．e5－1 C．e6 D．e6－1
【答案】A
【解析】由题意可知，2ln(1＋EQ \F(M,m\S\DO(0)))＝10，则1＋EQ \F(M,m\S\DO(0))＝EQ \F(M＋m\S\DO(0),m\S\DO(0))＝e5，即火箭的总质量(含燃料)至少是火箭(除去燃料)的质量的e5，故答案选A．
3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)(多选题)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是( )
A．当x∈[－2，0]时，eq f(x)＝2\s\up6(－x)－1 B．f(2019)＝1
C．y＝f(x)的图像关于点(2，0)对称 D．函数g(x)＝f(x)－lg2x有3个零点
【答案】ABD
【解析】由题意，已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，即该函数周期为4，又因为x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(x)＝f(－x)＝eq 2\s\up6(－x)－1，所以选项A正确；f(2019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，所以选项B正确；y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)＋f(1)＝0，但是f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＋f(1)≠0与f(3)＋f(1)＝0矛盾，所以选项C错误；可作出函数eq y＝f(x)，y＝lg\s\d(2)x的图象即可得到，函数eq g(x)＝f(x)－lg\s\d(2)x有3个零点，所以选项D正确；综上，答案选ABD．
4、（2022·广东汕头·二模）（多选题）设a，b，c都是正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】
设，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．
【详解】
解：设，则，，，
所以
，
即，所以，所以，故D正确；
由，所以，故A正确，B错误；
因为，，
又，所以，即，故C正确；
故选：ACDa＞1
0＜a＜1
图象
定义域
(1)R
值域
(2)(0，＋∞)
性质
(3)过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(4)当x＞0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1
(5)当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数