2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2020-2021学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷（含答案），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
等边三角形B．平行四边形C．正六边形D．正五角星2．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A．13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次
概率很小的事情不可能发生
从 1、2、3、4、5 中任取一个数是偶数的可能性比较大
3．（3 分）用配方法解关于 x 的方程 x2﹣6x+5＝0 时，此方程可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x+3）2+4＝0C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2+4＝0
4．（3 分）若点 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在反比例函数 y＝的图象上，则 y1、 y2、y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
5．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若四边形 AOCD 是菱形，则∠B 的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
6．（3 分）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛 21
场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21D．x（x﹣1）＝21
7．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，现以 AC 为轴旋转一周得到一个圆锥．则该圆锥的侧面积为（ ）
A．48πB．60πC．80πD．65π
8．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax+b 和反比例函数 y＝
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3 分）如图，从一块直径是 4m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是（ ）
A．3mB． mC． mD． m
10．（3 分）如图，在等腰△ABC 和等腰△ABE 中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，D为 AE 的中点，则线段 CD 的最小值为（ ）
A．2B． ﹣1C．2 ﹣1D． ﹣1 二、填空题（木大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，）
11．（3 分）若点（a，1）与（﹣3，b）关于原点对称，则 ab＝ ．
12．（3 分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共 50 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在 20%和 30%，则箱子里蓝色球的个数很可能是 ．
13．（3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠COB＝60°，AB＝BC＝3，则弦 AC
＝．
14．（3 分）若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根，则 6m2﹣9m+2021 的值为 ．
15．（3 分）如图，点 A 是 x 轴负半轴上任意一点，过点 A 作 y 轴的平行线，分别与反比例
函数 y＝﹣和 y＝的图象交于点 B 和 C 点，若 D 为 y 轴上任意一点，连接 DC、DB， 则△BCD 的面积为．
16．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b
＝0；②2c＝3b；③当 a＜0 时，无论 m 取何值都有 a﹣b≥am2+bm；④若 a＜0 时，抛物线交 y 轴于点 C，且△ABC 是等腰三角形，c＝或； ⑤抛物线交 y 轴于正半轴，
抛物线上的两点 E（x1，y1）、F（x2，y2）且 x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则 y1＞y2；则其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4 分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
18．（4 分）已知关于 x 的反比例函数 y＝的图象经过点 A（2，3）．
求这个反比例函数的解析式；
当 1≤x＜4 时，求 y 的取值范围．
19．（6 分）如图，已知△ABO，点 A、B 坐标分别为（2，4）、（2，1）．
把△ABO 绕着原点 O 顺时针旋转 90°得△A1B1O，画出旋转后的△A1B1O；
在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 经过的路径的长．（结果保留 π）
20．（6 分）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物
资出口工作．2020 年 10 月，国内某企业口罩出口订单额为 1000 万元，2020 年 12 月该
企业口罩出口订单额为 1210 万元．
求该企业 2020 年 10 月到 12 月口罩出口订单额的月平均增长率；
按照（1）的月平均增长率，预计该企业 2021 年 1 月口罩出口订单额为多少万元？
21．（8 分）在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字 1、2、2、
3．
若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字 2 的小球的概率；
小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为 x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，点 Q 坐标记作（x，y）．规定：若点 Q（x，y）在反比例函数 y＝ 图象上则小明胜；若点 Q 在反比例函数 y＝ 图象上，则小红胜．请
你通过计算，判断这个游戏是否公平？
22．（10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，PA 是⊙O 的切线，CD 是⊙O 的直径，点 P 在 CD
延长线上，且 AP＝AC．
求∠B 的度数；
若点 E 在线段 AP 上，且 PE＝2AE，连接 DE，求证：DE 是⊙O 的切线．
23．（10 分）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象与直线 y＝x+3 相交于点 A 和点 B，点 A 在
x 轴上，点 B 在 y 轴上．抛物线的顶点为 P．
求这个二次函数的解析式；
现将抛物线向右平移 m 个单位，当抛物线与△ABP 有且只有一个公共点时，求 m
的值；
在直线 AB 下方的抛物线上是否存在点 Q，使得 S△ABQ＝2S△ABP，若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
24．（12 分）已知：抛物线 y＝kx2﹣（2k+1）x+（k≠0）．
证明：该抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；
若该抛物线经过一个定点 D（异于抛物线与 y 轴的交点），且定点 D 到抛物线的对称轴的距离为 3，求 k 的值；
若 k＝1，点 E 为抛物线的对称轴上一点，且其纵坐标为﹣．已知点 F（1，0），
此时抛物线上是否存在一点 K，使得 KF+KE 的值最小，若存在，求出 K 的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（12 分）如图，BC 是⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上且 AB＝AC．
如图 1，点 D 为直径 BC 上一点（不与点 B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到线段 AE，连接 DE、BE，试探索线段 BD，CD，DE 之间满足的等量关系， 并证明你的结论；
如图 2，若点 D 为⊙O 外一点且∠ADB＝45°，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
若点 D 为⊙O 上一点且∠ADB＝45°，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
2020-2021 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。）
1．（3 分）下列图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
等边三角形B．平行四边形C．正六边形D．正五角星
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意； C、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； D、正五角星是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
2．（3 分）下列说法正确的是（ ）
A．13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件
投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数一定是 500 次
概率很小的事情不可能发生
从 1、2、3、4、5 中任取一个数是偶数的可能性比较大
【分析】利用概率的意义和随机事件的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：A、13 名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确；
B、投掷一枚质地均匀的硬币 1000 次，正面朝上的次数不一定是 500 次，故本选项错误；
C、概率很小的事也可能发生，故本选项错误；
D、从 1、2、3、4、5 中任取一个数是偶奇数的可能性比较大，故本选项错误． 故选：A．
【点评】此题考查了随机事件和概率的意义，正确掌握随机事件的定义和概率的意义是解题关键．
3．（3 分）用配方法解关于 x 的方程 x2﹣6x+5＝0 时，此方程可变形为（ ）
A．（x+3）2＝4B．（x+3）2+4＝0C．（x﹣3）2＝4D．（x﹣3）2+4＝0
【分析】把常数项 5 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣6 的一半的平方．
【解答】解：把方程 x2﹣4x+2＝0 的常数项移到等号的右边，得到 x2﹣6x＝﹣5， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x2﹣6x+9＝﹣5+9，
配方得（x﹣3）2＝4． 故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为 1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2
的倍数．
4．（3 分）若点 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在反比例函数 y＝的图象上，则 y1、 y2、y3 的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出
y1、y3、y2 的值，然后比较大小即可．
【解答】解：∵点 A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）在反比例函数 y＝的图象上，
∴y1＝﹣4，y2＝4，y3＝1，
∴y1＜y3＜y2． 故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y＝（k 为常数，k
≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k．
5．（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若四边形 AOCD 是菱形，则∠B 的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据菱形的性质，圆周角定理列式计算即可．
【解答】解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵四边形 OACD 是菱形，
∴∠AOC＝∠D，
由圆周角定理得，∠B＝ ∠AOC，
∴∠B+2∠B＝180°， 解得，∠B＝60°， 故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（3 分）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛 21
场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝21B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21D．x（x﹣1）＝21
【分析】根据“每两支球队之间都要进行一场比赛，且共比赛 21 场”，即可得出关于 x
的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝21． 故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7．（3 分）在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，现以 AC 为轴旋转一周得到一个圆锥．则
该圆锥的侧面积为（ ）
A．48πB．60πC．80πD．65π
【分析】根据勾股定理求出 AB，根据圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝＝10，
∴该圆锥的侧面积＝ ×2×π×6×10＝60π， 故选：B．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
8．（3 分）二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y＝ax+b 和反比例函数 y＝
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象开口向上，得出 a＞0，与 y 轴交点在 y 轴的
负半轴，得出 c＜0，利用对称轴 x＝﹣＜0，得出 b＞0，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：因为二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象开口向上，得出 a＞0，与 y 轴交点在 y
轴的负半轴，得出 c＜0，利用对称轴 x＝﹣＜0，得出 b＞0，
所以一次函数 y＝ax+b 经过一、二、三象限，反比例函数 y＝经过二、四象限， 故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出 a＞0、b＞0、c＜0 是解题的关键．
9．（3 分）如图，从一块直径是 4m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 60°的扇形，如果剪出来的扇形围成一个圆锥，那么围成的圆锥的高是（ ）
A．3mB． mC． mD． m
【分析】连接 OA，OC，BC，过点 O 作 OH⊥AC 于 H．想办法求出圆锥的母线，底面圆半径即可解决问题．
【解答】解：连接 OA，OC，BC，过点 O 作 OH⊥AC 于 H．
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∵O 是△ABC 的外心，
∴∠OAH＝ ∠ABC＝30°，
∵OH⊥AC，
∴∠OHA＝90°，AH＝CH＝OA•cs30°＝（m），
∴AB＝AC＝2AH＝2（m），
∴圆锥底面圆的周长＝＝π（m），
∴圆锥底面圆的半径为（m），
∴圆锥的高＝＝（m）．故选：C．
【点评】本题考查圆锥的计算，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3 分）如图，在等腰△ABC 和等腰△ABE 中，∠ABC＝120°，AB＝BC＝BE＝2，D为 AE 的中点，则线段 CD 的最小值为（ ）
A．2B． ﹣1C．2 ﹣1D． ﹣1
【分析】取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，过 C 作 CH⊥AB 于点 H，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可．
【解答】解：取 AB 的中点 G，连接 DG，CG，过 C 作 CH⊥AB 于点 H，
∵D 是 AE 的中点，G 是 AB 的中点，
∴DG 是△ABE 的中位线，
∴DG＝ BE，
∵AB＝BC＝BE＝2，
∴DG＝1，BG＝1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBH＝180°﹣120°＝60°，
∵CH⊥BH，
∴∠CHB＝90°，∠BCH＝90°﹣60°＝30°，
∴BH＝ BC＝1，
∴CH＝ ，
∴HG＝BG+BH＝1+1＝2，
在 Rt△CHG 中，CG＝，
∵CG﹣DG≤CD≤DG+CG，
∴，
当且仅当 D，G，C 三点共线时，CD 最短为﹣1， 故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答． 二、填空题（木大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，）
11．（3 分）若点（a，1）与（﹣3，b）关于原点对称，则 ab＝ ﹣3 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出 a，b 的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点 A（a，1）与点 B（﹣3，b）关于原点对称，
∴a＝3，b＝﹣1， 故 ab＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
12．（3 分）在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共 50 个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球试验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在 20%和 30%，则箱子里蓝色球的个数很可能是 25 ．
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为 20%和 30%，则摸到蓝球的概率为 50%，然后根据概率公式可计算出箱子中蓝色球的个数．
【解答】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为 20%和 30%， 所以摸到蓝球的概率为 50%，
因为 50×50%＝25（个），
所以可估计箱子中蓝色球的个数为 25 个． 故答案为 25．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
13．（3 分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠COB＝60°，AB＝BC＝3，则弦 AC＝ 3 ．
【分析】根据等边三角形的性质求出 OC，根据垂径定理得到 OD⊥AC，CD＝AD，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：设 OB 与 AC 交于点 D，
∵∠COB＝60°，AB＝BC，
∴△COB 为等边三角形，
∴OC＝BC＝3，
∵AB＝BC，
∴＝，
∴OD⊥AC，CD＝AD，
在 Rt△COD 中，sin∠COD＝，
∴CD＝OC•sin∠COD＝ ，
∴AC＝3 ，
故答案为：3 ．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、等边三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形的有关知识是解题的关键．
14．（3 分）若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根，则 6m2﹣9m+2021 的值为 2024 ．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2021＝2024． 故答案为：2024．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义， 本题属于基础题型．
15．（3 分）如图，点 A 是 x 轴负半轴上任意一点，过点 A 作 y 轴的平行线，分别与反比例
函数 y＝﹣和 y＝的图象交于点 B 和 C 点，若 D 为 y 轴上任意一点，连接 DC、DB， 则△BCD 的面积为 3.5 ．
【分析】设 A（m，0）（m＜0），由直线 BC∥y 轴，则 B，C 两点的横坐标都为 m，而点 B 在反比例函数 y＝﹣的图象上，点 C 在反比例函数 y＝的图象上，可得到 B 点坐标
为（m，﹣），C 点坐标为（m，），从而求出 BC 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：设 A（m，0）（m＜0），
∵直线 BC∥y 轴，
∴B，C 两点的横坐标都为 m，而点 B 在反比例函数 y＝﹣的图象上，点 C 在反比例函数 y＝的图象上，
∴B 点坐标为（m，﹣），C 点坐标为（m，），
∴BC＝﹣ ﹣＝﹣ ，
∴S△BCD＝•BC•OA＝•（﹣）•（﹣m）＝3.5．故答案为 3.5．
【点评】本题考查反比例函数系数 k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
16．（3 分）抛物线 y＝ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（﹣3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a﹣b
＝0；②2c＝3b；③当 a＜0 时，无论 m 取何值都有 a﹣b≥am2+bm；④若 a＜0 时，抛物线交 y 轴于点 C，且△ABC 是等腰三角形，c＝或； ⑤抛物线交 y 轴于正半轴， 抛物线上的两点 E（x1，y1）、F（x2，y2）且 x1＜x2，x1+x2＞﹣2，则 y1＞y2；则其中正确的是 ①③④⑤ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与 x 轴交于点 A（﹣3，0）、B（1，
0），可知二次函数的对称轴为直线 x＝﹣1，即﹣＝﹣1，可得 2a 与 b 的关系，可判断
①；根据对称轴公式，将 B 点代入可得 c、b 的关系，即可判断②；函数开口向下，x＝1 时取得最大值，可判断③；由图象知 BC＝AB＝4 时，当 AC＝AB＝4 时，两种情况利用勾股定理即可求得 c 的值，可以判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征即可判断⑤．
【解答】解：①∵二次函数与 x 轴交于点 A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴二次函数的对称轴为 x＝＝﹣1，即﹣ ＝﹣1，
∴2a﹣b＝0． 故①正确；
②∵二次函数 y＝ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣3，0）、B（1，0）．
∴9a﹣3b+c＝0，a+b+c＝0， 又∵b＝2a．
∴b+c＝0，
∴2c＝﹣3b． 故②错误；
③∵a＜0，
∴抛物线开口向下．
∴x＝1 时，二次函数有最大值．
∴a+b+c≥am2+bm+c． 即 a+b≥am2+bm．
故③正确；
④由图象可得，AC≠BC．
当 BC＝AB＝4 时，则 12+c2＝42，解得 c＝， 当 AC＝AB＝4 时，则 32+c2＝42，解得 c＝
故△ABC 是等腰三角形时，c＝或， 故④正确；
⑤由题意可知，点 E（x1，y1）到对称轴的距离小于点 F（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2， 故⑤正确；
故答案为①③④⑤．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息， 来判断问题中结论是否正确．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．（4 分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．
【分析】通过观察方程形式，本题可用因式分解法进行解答．
【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0 x﹣3＝0，x+1＝0
∴x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．
18．（4 分）已知关于 x 的反比例函数 y＝的图象经过点 A（2，3）．
求这个反比例函数的解析式；
当 1≤x＜4 时，求 y 的取值范围．
【分析】（1）把点 A（2，3）代入反比例函数 y＝中，求出 1+m 的值，即可得出这个函数的解析式；
（2）分别求出当 x＝﹣1 时，当 x＝﹣3 时 y 的值，从而得出 y 的取值范围．
【解答】解：（1）∵关于 x 的反比例函数 y＝的图象经过点 A（2，3）．
∴3＝，
∴1+m＝6，
∴这个函数的解析式为：y＝；
（2）∵当 x＝1 时，y＝6，
当 x＝4 时，y＝，
∴当 1≤x＜4 时，y 的取值范围是＜y≤6．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握凡是反比例函数图象经过的点，必能满足解析式．
19．（6 分）如图，已知△ABO，点 A、B 坐标分别为（2，4）、（2，1）．
把△ABO 绕着原点 O 顺时针旋转 90°得△A1B1O，画出旋转后的△A1B1O；
在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 经过的路径的长．（结果保留 π）
【分析】（1）分别作出 A，B 的对应点 A1，B1 即可．
（2）利用弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1O 即为所求作．
（2）点 B 旋转到点 B1 经过的路径的长＝＝π．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型．
20．（6 分）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物
资出口工作．2020 年 10 月，国内某企业口罩出口订单额为 1000 万元，2020 年 12 月该
企业口罩出口订单额为 1210 万元．
求该企业 2020 年 10 月到 12 月口罩出口订单额的月平均增长率；
按照（1）的月平均增长率，预计该企业 2021 年 1 月口罩出口订单额为多少万元？
【分析】（1）设该企业 2020 年 10 月到 12 月口罩出口订单额的月平均增长率为 x，根据
2020 年 10 月及 12 月该企业口罩出口订单额，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取
其正值即可得出结论；
（2）根据该企业 2021 年 1 月口罩出口订单额＝该企业 2020 年 12 月口罩出口订单额×
（1+增长率），即可求出结论．
【解答】解：（1）设该企业 2020 年 10 月到 12 月口罩出口订单额的月平均增长率为 x，依题意得：1000（1+x）2＝1210，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
答：该企业 2020 年 10 月到 12 月口罩出口订单额的月平均增长率为 10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万元）．
答：预计该企业 2021 年 1 月口罩出口订单额为 1331 万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21．（8 分）在一个不透明的布袋里装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字 1、2、2、
3．
若小明随机抽出一个小球，求抽到标有数字 2 的小球的概率；
小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为 x．小红再从剩下的三个小球中随机取出一个小球，记下数字为 y，点 Q 坐标记作（x，y）．规定：若点 Q（x，y）
在反比例函数 y＝图象上则小明胜；若点 Q 在反比例函数 y＝图象上，则小红胜．请你通过计算，判断这个游戏是否公平？
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，求出小明胜的概率＝小红胜的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）若小明随机抽出一个小球，则抽到标有数字 2 的小球的概率为＝；
（2）画树状图如图：
共有 12 个等可能的结果，点 Q（x，y）在反比例函数 y＝图象上的结果有 4 个，点 Q
（x，y）在反比例函数 y＝ 图象上的结果有 4 个，
∴小明胜的概率为＝ ，小红胜的概率为＝ ，
∴小明胜的概率＝小红胜的概率，
∴这个游戏公平．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（10 分）如图，△ABC 内接于⊙O，PA 是⊙O 的切线，CD 是⊙O 的直径，点 P 在 CD
延长线上，且 AP＝AC．
求∠B 的度数；
若点 E 在线段 AP 上，且 PE＝2AE，连接 DE，求证：DE 是⊙O 的切线．
【分析】（1）连接 OA，AD，根据切线的性质和已知条件即可求出∠B 的度数；
（2）连接 OA，OE，证明△PDE∽△PAO，即可得结论．
【解答】（1）解：连接 OA，AD，
∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP，
∵AO＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO，
设∠ACO＝x，则∠AOP＝∠ACO+∠CAO＝2x，
∵PA 是⊙O 的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∴∠AOP+∠P＝90°，
∴2x+x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠ACO＝30°，
∵CD 是⊙O 的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠B＝60°；
（2）证明：连接 OA，OE，
设 OC＝OD＝OA＝r，
∵∠P＝∠ACP＝30°，
∴OP＝2r，
∴DP＝r，
∴AP＝ ＝＝r，
∵PE＝2AE，
∴PE＝r，
∴＝＝， ＝＝，
∴＝，
∵∠P＝∠P，
∴△PDE∽△PAO，
∴∠PDE＝∠PAO＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴DE 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定及圆周角定理，解答本题的关键是掌握切线的判定定理、圆周角定理及含 30°直角三角形的性质．
23．（10 分）已知二次函数 y＝﹣x2+bx+c 的图象与直线 y＝x+3 相交于点 A 和点 B，点 A 在
x 轴上，点 B 在 y 轴上．抛物线的顶点为 P．
求这个二次函数的解析式；
现将抛物线向右平移 m 个单位，当抛物线与△ABP 有且只有一个公共点时，求 m
的值；
在直线 AB 下方的抛物线上是否存在点 Q，使得 S△ABQ＝2S△ABP，若存在，请求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直线 y＝x+3 中，分别令 x＝0 和 y＝0 可得点 A 和 B 的坐标，将点 A 和 B
的坐标分别代入抛物线的解析式中列方程组，解出即可；
由图象可知，当抛物线经过点 B 或点 A 时，抛物线与△PBA 有且只有一个公共点， 求得平移后的解析式，代入 A、B 的坐标，即可求得 m 的值；
先计算△ABP 的面积，根据 S△ABQ＝2S△ABP，可得△ABQ 的面积，分两种情况：点
Q 在对称轴的左侧和右侧，根据面积公式列方程可得结论．
【解答】解：（1）当 x＝0 时，y＝3，
∴B（0，3），
当 y＝0 时，x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把 A（﹣3，0）和 B（0，3）代入二次函数 y＝﹣x2+bx+c 中得：
，解得：，
∴这个二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴P（﹣1，4），
将抛物线向右平移 m 个单位，P 对应点为（﹣1+m，4），
∴平移后的抛物线解析式为 y＝﹣（x+1﹣m）2+4， 把 B（0，3）代入得，3＝﹣（1﹣m）2+4，
解得 m1＝2，m2＝0（舍去），
把 A（﹣3，0）代入得 0＝﹣（﹣2﹣m）2+4， 解得 m3＝﹣4，m4＝0（舍去），
故 m 的值为 2 或﹣4；
（3）∵S△ABP＝S△APD+S 梯形 PDOB﹣S△AOB＝ + ×（3+4）×1﹣
＝3，
∴S△ABQ＝2S△ABP＝6，
设点 Q 的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3），分两种情况：
①如图 1，当 Q 在对称轴的左侧，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，过点 Q 作 QE∥y 轴交直线 AB 于 E，
∴S△ABQ＝（a+3+a2+2a﹣3）（﹣a+3+a）＝6，解得：a1＝﹣4，a2＝1（舍），
∴Q（﹣4，﹣5）；
②如图 2，当 Q 在对称的右侧，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，过点 Q 作 QE∥y 轴交直线
AB 于 E，
同理可得 a＝1，
∴Q（1，0），
综上，点 Q 的坐标为（﹣4，﹣5）或（1，0）．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象与几何变换，第二问明确当抛物线只经过点 B 或点 A 时，抛物线与△PBA 有且只有一个公共点是解题的关键．
24．（12 分）已知：抛物线 y＝kx2﹣（2k+1）x+（k≠0）．
证明：该抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；
若该抛物线经过一个定点 D（异于抛物线与 y 轴的交点），且定点 D 到抛物线的对称轴的距离为 3，求 k 的值；
若 k＝1，点 E 为抛物线的对称轴上一点，且其纵坐标为﹣．已知点 F（1，0），
此时抛物线上是否存在一点 K，使得 KF+KE 的值最小，若存在，求出 K 的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令 y＝0，再求出判别式，判断即可得出结论；
先将抛物线的解析式进行变形为：y＝kx2﹣（2k+1）x+ ＝k（x2﹣2x）﹣x+ ，令
x2﹣2x＝0，解方程可知：D 的横坐标为 2，根据定点 D 到抛物线的对称轴的距离为 3， 分两种情况：在对称轴左侧和右侧列方程可得结论；
先将 k＝1 代入得抛物线的解析式，从而知点 E 的坐标，根据图象可得 KF+KE 的值最小时 K 的位置，从而计算其坐标．
【解答】（1）证明：当 y＝0 时，kx2﹣（2k+1）x+＝0，
△＝[﹣（2k+1）]2﹣4k× ＝3k2+（k﹣1）2＞0，
∴该抛物线与 x 轴必有两个不同的交点；
（2）解：y＝kx2﹣（2k+1）x+
＝kx2﹣2kx﹣x+
＝k（x2﹣2x）﹣x+ ， 令 x2﹣2x＝0，
解得：x＝0 或 2，
∵抛物线经过一个定点 D（异于抛物线与 y 轴的交点），
∴D 的横坐标为 2，
∵定点 D 到抛物线的对称轴的距离为 3，
∴抛物线的对称轴是 5 或﹣1，
∴﹣ ＝5 或﹣＝﹣1， 解得：k＝ 或﹣ ；
（3）解：当 k＝1 时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x+＝（x﹣ ）2﹣ ，
∴抛物线的对称轴是：直线 x＝，
∴E（ ，﹣ ），
当 x＝1 时，y＝﹣，
∴当 FK⊥x 轴时，此时 KE⊥y 轴，KF+KE 的值最小为 + ＝1，
此时 K（1，﹣）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，含字母系数的二次函数的定点问题，二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是本题的关键，并注意分类讨论思想的运用．
25．（12 分）如图，BC 是⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上且 AB＝AC．
如图 1，点 D 为直径 BC 上一点（不与点 B，C 重合），将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到线段 AE，连接 DE、BE，试探索线段 BD，CD，DE 之间满足的等量关系， 并证明你的结论；
如图 2，若点 D 为⊙O 外一点且∠ADB＝45°，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
若点 D 为⊙O 上一点且∠ADB＝45°，试探索线段 AD，BD，CD 之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）如图 1，证明△EAB≌△DAC（SAS），得 BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°，证明∠EBD＝90°，最后根据勾股定理可得结论；
如图 2，延长 DB 交⊙O 于 E，连接 AE，CE，证明△DAB≌△EAC（SAS），得 BD
＝CE，最后根据勾股定理可得结论；
当点 D 在时，如图 3，过点 A 作 AE⊥AD 交 DB 的延长线于点 E，连接 CD，证明△EAB≌△DAC（SAS），最后根据勾股定理可得结论．同理当 D 在上时，同理可得结论．
【解答】证明：（1）如图 1，BD2+CD2＝DE2，理由是：
由旋转得：AE＝AD，∠EAD＝90°，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠C＝45°，
∴∠EBD＝∠EBA+∠ABD＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2＝CD2+BD2；
CD2＝2AD2+BD2，理由是：
如图 3，延长 DB 交⊙O 于 E，连接 AE，CE，
∵∠ACB＝∠AEB＝45°，∠ADB＝45°，
∴∠DAE＝90°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BEC＝90°，
∴CD2＝DE2+CE2，
∵△ADE 是等腰直角三角形，
∴DE2＝2AD2，
∴CD2＝2AD2+BD2；
分两种情况：
①如图 3，BD+CD＝AD，理由如下：
如图 3，过点 A 作 AE⊥AD，交 DB 的延长线于点 E，连接 CD，
∵∠ADB＝45°，
∴△AED 是等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，AE＝AD，
∵∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴EB＝CD，
∵△AED 是等腰直角三角形，
∴DE2＝2AD2，
∴DE＝ AD，
∴BE+BD＝ AD，
∴CD+BD＝ AD；
②如图 4，BD﹣CD＝AD，理由如下：
过点 A 作 AE⊥AD，交 DB 于点 E，
∵∠ADB＝45°，
∴△AED 是等腰直角三角形，
∴∠AED＝45°，AE＝AD，
∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠EAB＝∠DAC，∠AEB＝90°+45°＝135°，∠ADC＝90°+45°＝135°
∵AB＝AC，
∴△EAB≌△DAC（AAS），
∴EB＝CD，
∵△AED 是等腰直角三角形，
∴DE2＝2AD2，
∴DE＝ AD，
∴BD﹣BE＝ AD，
∴BD﹣CD＝ AD．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解本题的关键．