10_江苏省南京市2023-2024学年高一上学期期末学情调研测试数学试卷（解析版）

这是一份10_江苏省南京市2023-2024学年高一上学期期末学情调研测试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了01，本试卷包括单项选择题四部分， 已知，则下列结论正确的是， 已知定义在上的函数，则的值是， 若，则， 已知关于的不等式的解集是，则等内容，欢迎下载使用。
2024.01
注意事项：
1.本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）､多项选择题（第9题~第12题）､填空题（第13题~第16题）､解答题（第17题~第22题）四部分.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，考生务必将自已的姓名､学校､班级填在答题卡上指定的位置.
3.作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上，
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集定义求解即可.
【详解】根据并集的定义得，
故选：C.
2. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
【详解】的否定为.
故选:A
3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的对称轴及函数的单调性列出不等式求解.
【详解】因为函数在区间上单调递减，
所以，解得.
故选：D
4. 已知角的终边经过点，且，则的值是（）
A. B. C. 12D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据任意角正切函数定义计算.
详解】根据任意角三角函数定义，
，所以.
故选：B.
5. 已知，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性比较大小可得答案.
【详解】因为，
，
所以.
故选：D.
6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量､火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合对数式和指数式的互化，即可求得答案.
【详解】由题意知火箭的最大速度达到，
故，即，
故选：B
7. 已知定义在上的函数，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由分段函数周期性化简之后再代入，最终求出余弦值即可.
【详解】由题意可知，
所以，
故选：C
8. 在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意中函数定义可得，由得，结合不等式的性质和对数的运算性质解不等式即可.
【详解】由题意知，，则，得，即.
由，得，
即或，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：D
二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.
9. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用作差法判断D.
【详解】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确；
对于B，因为，两边同乘以负数，可得，故B错误；
对于C，因为，所以，故，即，故C错误；
对于D，因为，，，，
所以，即，故D正确.
故选：AD
10. 已知关于的不等式的解集是，则（）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
11. 古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表示为，其中，则下列关于余切函数的说法正确的是（）
A. 定义域为
B. 在区间上单调递增
C. 与正切函数有相同的对称中心
D. 将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正切函数的定义域判断A，根据正切函数的单调性及复合函数的单调性判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据图象的平移判断D.
【详解】由正切函数的定义域可知，即，
所以余切函数定义域为，故A正确；
当时，，
因为为减函数，为增函数，
由复合函数单调性知在区间上单调递减，故B错误；
因为的对称中心为，
令，解得，
由，可知，即的对称中心为，
故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；
的图象向右平移个单位可得，
故D正确.
故选：ACD
12. 已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（）
A. 该扇形面积的最小值为8
B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2
C. 的最小值为9
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意，知，则，对于选项ABC利用基本不等式可判断，对于选项D利用二次函数可解.
【详解】由题意，知，则，
所以扇形面积
，
当且仅当，即时，等号成立，选项A错误；
扇形周长为
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，圆心角为，选项B正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，选项C正确；
,
当时，上式取得最小值为，选项D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知幂函数的图象经过点，则的值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据幂函数的图象过的点求出，可得函数解析式，代入求值，即得答案.
【详解】由题意知幂函数的图象经过点,
故，即，
故，
故答案为：
14. 已知，则的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式得到，再由同角基本关系式可解.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
15. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增.若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用偶函数的性质把变量转移到函数的单调区间上，再由单调性求解即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，
所以在上是单调递减函数，
又，
所以，
所以，
故答案为：.
16. 已知函数的零点为.若，则的值是__________；若函数的零点为，则的值是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用函数零点存在性定理可得；由已知可得为两函数图象的交点的横坐标，为两函数图象的交点的横坐标，根据函数与的图象关于对称，求出交点的横坐标可得答案.
【详解】因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，，
且，所以；
由可得，
令可得，
所以即为两函数图象的交点的横坐标，
令可得，
所以即为两函数图象的交点的横坐标，
因为函数与的图象关于对称，且互相垂直，
且由解得，即、的中点为，
所以.
故答案为：1；2.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键点将零点问题转化成函数图象交点问题.
四､解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，求的值；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）4
【解析】
【分析】（1）将平方，结合指数幂的运算，即可得答案；
（2）根据对数的运算法则，即可求得答案.
【详解】（1）由于，则，
故，
因为，
所以.
（2）
.
18. 设全集，已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出集合A，由集合运算列式可得结果，
（2）由充分条件得，根据子集关系列式可得结果.
【小问1详解】
由，解得，所以.
因为，且，所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
【小问2详解】
因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的单调减区间.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据图象求振幅、周期，由公式求出，代入点求出即可得出函数解析式；
（2）由正弦型函数求出函数的单调递减区间，取适当得出在上的单减区间.
【小问1详解】
由图可知，
所以.
因为的图象经过点，
所以，即.
因为，所以，
故.
【小问2详解】
令，
得，
所以的减区间为，
仅当时，单调递减区间，
所以在上的减区间为.
20. 已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
（3）若函数有两个不同的零点，求的取值范围.
【答案】（1）1（2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案；
（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；
（3）换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为R，且为奇函数，
由，得，
此时.
因为，所以为奇函数，
故.
【小问2详解】
当时，.
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
【小问3详解】
有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解.
令，则在有两个不同的实数解，
令，其中，
所以，解得.
所以的取值范围为.
21. 如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设.
（1）若，求荷花种植面积（单位：）的最大值；
（2）若，且荷花的种植面积为，求.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）表达出，表达出，结合，由基本不等式求出最值，得到答案；
（2）求出，根据荷花的种植面积求出，结合同角三角函数关系得到，所以和为一元二次方程的两个实数根，求出答案.
【小问1详解】
.
当时，，
所以.
又因为，
所以，当且仅当时取等号.
所以荷花种植区域面积的最大值为.
【小问2详解】
因为，所以，
故，
从而，
所以.
又因，
所以.
又因为，所以，
所以和为一元二次方程的两个实数根，
解得或，
故为或.
22. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.
（1）若函数是型函数，求的值；
（2）若函数是型函数，求和值；
（3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，结合指数运算计算即得.
（2）利用给定的定义，建立恒成立的等式，借助恒等式求解即得.
（3）利用新定义建立关系，再分段讨论并借助函数不等式恒成立求解即得.
【小问1详解】
由是型函数，得，即，
所以.
【小问2详解】
由是型函数，得，
则，因此对定义域内任意恒成立，
于是，解得，
所以.
【小问3详解】
由是型函数，得，
①当时，，而，则，满足；
②当时，恒成立，
令，则当时，恒成立，于是恒成立，
而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此；
③当时，，则，
由，得，
令，则当时，，
由②知，则只需时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，
①若，总有成立，则；
②若，总有成立，则；
③若，使得成立，则；
④若，使得成立，则.