江苏省南京市2023-2024学年高一(上)期末学情调研测试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省南京市2023-2024学年高一(上)期末学情调研测试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上，
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据并集的定义得.
故选：C.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】的否定为.
故选：A.
3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数在区间上单调递减，
所以，解得.
故选：D.
4. 已知角的终边经过点，且，则的值是（ ）
A. B. C. 12D. 13
【答案】B
【解析】根据任意角三角函数定义，
，所以.
故选：B.
5. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，，
所以.
故选：D.
6. 北京时间2023年5月10日21时22分，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟六号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量､火箭（除燃料外）的质量的函数关系的表达式为.若火箭的最大速度达到，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知火箭的最大速度达到，
故，即.
故选：B.
7. 已知定义在上的函数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，
所以
.
故选：C.
8. 在等式中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另两个数之间的“函数关系”.如果为常数10，将视为自变量且，则为的函数，记为，那么，现将关于的函数记为.若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，，则，得，即.
由，得，
即或，解得，
所以原不等式的解集为.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分.
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】对于A，因为，由不等式性质可得，故A正确；
对于B，因为，两边同乘以负数，可得，故B错误；
对于C，因为，所以，故，即，故C错误；
对于D，因为，，，，
所以，即，故D正确.
故选：AD.
10. 已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A.
B.
C.
D. 不等式的解集是或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，
故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，
解集为或，故D正确.
故选：ABD.
11. 古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表示为，其中，则下列关于余切函数的说法正确的是（ ）
A. 定义域为
B. 在区间上单调递增
C. 与正切函数有相同的对称中心
D. 将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象
【答案】ACD
【解析】由正切函数的定义域可知，即，
所以余切函数定义域为，故A正确；
当时，，
因为为减函数，为增函数，
由复合函数单调性知在区间上单调递减，故B错误；
因为的对称中心为，
令，解得，
由，可知，即的对称中心为，
故余切函数与正切函数有相同的对称中心，故C正确；
的图象向右平移个单位可得，
故D正确.
故选：ACD.
12. 已知扇形的半径为，弧长为.若其周长的数值为面积的数值的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A. 该扇形面积的最小值为8
B. 当扇形周长最小时，其圆心角为2
C. 的最小值为9
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】由题意，知，则，
所以扇形面积
，
当且仅当，即时，等号成立，选项A错误；
扇形周长为
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，圆心角为，选项B正确；
，
当且仅当，即时，等号成立，选项C正确；
，
当时，上式取得最小值为，选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 已知幂函数的图象经过点，则的值是__________.
【答案】
【解析】由题意知幂函数的图象经过点，
故，即，故.
14. 已知，则的值是__________.
【答案】
【解析】由于，
所以.
15. 已知定义在上的偶函数在区间上单调递增.若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，
所以在上是单调递减函数，
又，所以，所以.
16. 已知函数的零点为.若，则的值是__________；若函数的零点为，则的值是__________.
【答案】
【解析】因为在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，，
且，所以；
由可得，
令可得，
所以即为两函数图象的交点的横坐标，
令可得，
所以即为两函数图象的交点的横坐标，
因为函数与的图象关于对称，且互相垂直，
且由解得，即、的中点为，
所以.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）已知，求的值；
（2）求值：.
解：（1）由于，则，故，
因为，
所以.
（2）
.
18. 设全集，已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由，解得，所以.
因为，且，所以或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
（2）因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
19. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的单调减区间.
解：（1）由图可知，
所以.
因为的图象经过点，
所以，即.
因为，所以，故.
（2）令，得，
所以的减区间为，
仅当时，单调递减区间，
所以在上的减区间为.
20. 已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
（3）若函数有两个不同的零点，求的取值范围.
解：（1）的定义域为R，且为奇函数，
由，得，此时.
因为，所以为奇函数，故.
（2）当时，.
任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）有两个不同的零点，
等价于有两个不同的实数解.
令，则在有两个不同的实数解，
令，其中，
所以，解得.
所以的取值范围为.
21. 如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中）种植荷花用于观赏，两点分别在两岸上，，顶点到河两岸的距离，设.
（1）若，求荷花种植面积（单位：）的最大值；
（2）若，且荷花的种植面积为，求.
解：（1）.
当时，，
所以.
又因为，
所以，当且仅当时取等号.
所以荷花种植区域面积的最大值为.
（2）因为，所以，
故，
从而，所以.
又因，所以.
又因为，所以，
所以和为一元二次方程的两个实数根，
解得或，
故为或.
22. 若存在实数对，使等式对定义域中每一个实数都成立，则称函数为型函数.
（1）若函数是型函数，求的值；
（2）若函数是型函数，求和值；
（3）已知函数定义在上，恒大于0，且为型函数，当时，.若在恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由是型函数，得，
即，所以.
（2）由是型函数，得，
则，因此对定义域内任意恒成立，
于是，解得，所以.
（3）由是型函数，得，
①当时，，而，则，满足；
②当时，恒成立，
令，则当时，恒成立，于是恒成立，
而函数在单调递增，则，当且仅当时取等号，因此；
③当时，，则，
由，得，
令，则当时，，
由②知，则只需时，恒成立，
即恒成立，
又，当且仅当时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.