8_重庆市渝中区巴蜀中学校2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．
3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试时间120分钟
一、单选题：本题共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合诱导公式计算即可求解.
【详解】由题意知，.
故选：B
2. 若，，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举例说明即可判断ABD.由指数函数的单调性与不等式的基本性质即可判断C.
【详解】A：当时，令，则，故A错误；
B：当时，，故B错误；
C：当时，，则，即，故C正确；
D：当时，令，则，即，故D错误.
故选：C
3. 在扇形OAB中，已知弦，，则扇形OAB的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式计算直接得出结果.
【详解】由题意知，设扇形的圆心角为，半径为r，
则扇形的面积为.
故选：B
4. 函数的单调递增区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.
【详解】由题意得，解得，
开口向下，对称轴为，
所以在上递增，在上递减；
因为是定义域上的递增函数，
利用复合函数的同增异减可得的单调递增区间为，
故选：B.
5. “”是“”的（）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据，求得的取值范围，再判断集合的包含关系，根据充分，必要条件，即可判断选项.
【详解】，
因为
所以是的必要不充分条件．
故选：B
6. 已知，，，则a，b，c大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断即可.
【详解】因为，，
故.
故选：C.
7. 已知，，且满足，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得，由题意，利用同角三角函数的关系求得，，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解.
【详解】，
，得，
，，，
，，，
.
故选：A
8. 已知函数在上单调递增，且在上有且仅有1个零点，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由在上单调递增，得，再由在上有且仅有1个零点，得或，取并集结合的前提条件，即可得答案.
【详解】当，，
因为在上单调递增，故，则；
当，，且，，
又因为在上有且仅有1个零点，
故讨论两种情况：
①，
②，
综上：的取值范围为，
故选：C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9. 已知幂函数，则下列说法正确的有（）
A. 或2B. 一定为奇函数C. 一定为增函数D. 必过点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数系数为1，求出幂函数解析式，判断A；根据幂函数性质判断BCD.
【详解】根据幂函数的定义，可得或2，故A正确；
当时，为非奇非偶函数，故B错误；
或2时，或，都是增函数，故C正确；
幂函数均经过点，故D正确
故选：ACD
10. 下图是函数的部分图像，则（）
A. B.
C. 是的一个对称中心D. 的单调递增区间为（）
【答案】BCD
【解析】
【分析】由图象可得，由可求出，再将代入可求出可判断A，B；由三角函数的性质可判断C，D.
详解】根据图像象得，故A错误；
时，，，，
故，故B正确；
因为，所以是的一个对称中心，C正确；
令，解得，．故D正确．
故选：BCD.
11. 下列说法正确的有（）
A. 的最小值为2B. 最大值为
C. 的最小值为D. 的最小值为2
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次求解即可.
【详解】A：当时，，
当且仅当即时等号成立，故A错误；
B：，
当且仅当即时等号成立，故B正确；
C：，
当且仅当时等号成立，故C正确；
D：
当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：BC
12. 已知函数，的定义域均为R，且，，，则下列说法正确的有（）
A. B. 为奇函数C. 的周期为6D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知得，将转化为，给取值推导奇偶性和周期性解决问题.
【详解】对于A，，故A正确；
，，
，令，
则①，
②，
①+②可得，
，，
，因此，故C正确；
令，，
令，，，
则，故，，
故为偶函数，所以B不正确；
因为，故关于对称，
且，，令，，
则，令，，，
则，，
，一个周期的和为0，
则，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 函数的定义域为______
【答案】
【解析】
【分析】由对数函数的定义域以及含分式型函数的定义域求解即可.
详解】由题意可得，解得，
故答案为：.
14. ______
【答案】7
【解析】
【分析】由指数运算与对数运算的性质直接求解即可.
【详解】，
故答案为：7.
15. 已知，则______
【答案】2
【解析】
【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.
【详解】.
故答案为：2
16. 函数，若存在，使得，则的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象与性质得，，对所求表达式消元后得，再根据函数图象求出即可求出取值范围.
【详解】由，得，则，由，得，则，
由图象知，，结合对勾函数单调性知在时单调递减，在时单调递增，
所以当时，取得最小值，当时，当时，所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.
四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17已知集合，集合（）
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式化简集合，即可根据交运算求解，
（2）根据集合的包含关系即可求解.
【小问1详解】
，所以
当时，解得，则
【小问2详解】
由（1）及题设，，，
18. 平面直角坐标系中，角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为
（1）求，；
（2）化简并求值：.
【答案】18. ，
19. ，
【解析】
【分析】（1）由三角函数的定义求出，再由二倍角的正切公式即可求出.
（2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案.
【小问1详解】
根据三角函数的定义：，，
则，.
【小问2详解】
.
19. 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：
双曲正弦函数，双曲余弦函数：
（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）
①②
（2）求函数在R上的值域.
【答案】19. 选择见解析，证明见解析
20.
【解析】
【分析】（1）由题意直接求出、的值，即可证明；
（2）由（1），，令，利用换元法可得，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
若选择①：由题意，，
则；
若选择②：
；
【小问2详解】
法一：由（1）知，，
则，
令，则，当且仅当时取等，
令，
又函数在上单调递增，故，
故值域为，即的值域为；
法二：，令，
，
令，则，
所以在上单调递增，故，故的值域为，
即的值域为.
20. 已知函数，
（1）解不等式；
（2）方程（）在上有解，求a的取值范围？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法可得，即可根据指数函数的单调性即可求解，
（2）根据对数的运算性质可将问题转化为在上有解，利用换元法，结合函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
，令（），
故
【小问2详解】
，
，
故（）
在上有解，等价于在上有解，
令，，，
故函数在上单调递增，
则当，，当，，故
21. 已知函数（）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为
（1）求函数的解析式，并求其对称轴方程；
（2）将向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到，则可以用函数模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H随时间t（单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a，b两个座舱里，且a，b中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h关于时间t的函数解析式，并求最大值．
【答案】（1），，
（2），50
【解析】
【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得，再结合最值及周期即可得解析式；
（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为，则，再求最值即可.
【小问1详解】
，所以，
因为相邻两条对称轴的距离为，所以半周期为，
故，
令，
【小问2详解】
向右平移得到，将横坐标伸长为原来的倍，得到，
将纵坐标扩大为原来的25倍，得到，再将其向上平移60个单位，得到
游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了，
令，则，
则，，，，故，
当或或20时，
22. 已知函数的定义域为，，满足，，令，设当时，都有
（1）计算，并证明在上单调递增；
（2）对任意的，，总存在，使得成立，求t的取值范围？
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，令即可求得的值，由条件得，令，判断的符号，可得出答案；
（2）由题意得，任意的，，总存在，，令，则任意的，，存在，使得，则令，只需，根据二次函数的性质分类讨论求解.
【小问1详解】
令，，，
则，
令，
则，
因为，所以，又因为，故，
所以，所以，
因此在上单调递增.
【小问2详解】
由（1）可知，在上单调递增，，
故任意的，，总存在，，
令，，
，
则任意的，，存在，使得，
则令，只需，
因为，所以，故在上单调递增，
，，则当：
①时，，
②，，
则：，
将其视为关于b的函数，令其为，
则在上递减，在上递增，
则，
故，即t的取值范围是.