第二十四章投影、视图与展开图同步练习 北京版数学九年级下册

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第二十四章投影、视图与展开图学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一个几何体如图水平放置，它的主视图是（    ）  A．   B．   C．   D．  2．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去右上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（    ）A． B． C． D．3．如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是(    )A． B． C． D． 4．如图的几何体由六个相同的小正方体搭成，去掉其中一个小正方体，主视图和左视图均发生改变的是（    ）A．① B．② C．③ D．④5．某款三角烧瓶如图所示，它的主视图是（    ）A． B． C． D．6．某舞台的上方共挂有a，b，c，d四个照明灯，当只有一个照明灯亮时，一棵道具树和小玲在照明灯光下的影子如图所示，则亮的照明灯是（　　）A．a灯 B．b灯 C．c灯 D．d灯7．如图是一个几何体的三视图，这个几何体是（    ）A．三棱柱 B．圆锥 C．长方体 D．圆柱8．如图是象征“胜利”的五角星几何体，其俯视图是（　　）A． B．C． D．9．如图是由8个小立方块搭成的几何体从上面看到的形状图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状是（    ）  A．     B．   C．   D．  10．图1、2、3是由一些相同的小正方体构成的几何体的三视图：正面看              左面看         上面看        图1                 图2              图3这些相同的小正方体的个数是(    )A．4个 B．5个 C．6个 D．7个11．一个立体图形的侧面展开图如图所示，则该立体图形的底面形状是（    ）A． B． C． D．12．如图是某个几何体的三视图，则该几何体是（    ）  A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．长方体二、填空题13．用橡皮泥制作的一个立体图形的三视图如图，则这个立体图形是 ．14．一个正方体的相对表面上所标的数字互为相反数，如图是该正方体的表面展开图，那么 ．15．将一个长，宽和高都是的长方体框架，拆开后再焊接成一个正方体，并给它表面贴上纸，这个正方体的棱长是( )，表面积是( )，体积是( )．16．长方体从正面看和从上面看所得到的图形如图所示，则这个长方体的体积是 ．17．阳光下广告牌的影子属于 投影（填“中心”或“平行”）．三、解答题18．如图是一个几何体的三视图．（1）写出这个几何体的名称；（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．19．画出如图所示组合体的三种视图．20．如图，学习完投影后，小光同学在灯光下观察自己的影子．线段表示小光站立的位置，线段表示此时操场上的灯杆，点为路灯所在位置．(1)画出小光在路灯C照明下的投影示意图，并记作；(2)如果小光身高，他站在距离灯杆为的处时，测得自己的影长，求灯杆的高度．21．如图，圆柱形纸杯高为5cm，底面周长为16cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处．画出圆柱形纸杯侧面展开图（画一半侧面展开图即可），并求出蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离是多少？（杯壁厚度不计）  22．某校数学实践活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动．如图，某一时刻，古树在太阳光下的影子末端落在地面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根米高的标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点D处，乙同学测得标杆的影长为2米，丙同学站在距离C点13米远的点E处，他的眼睛在点F处，观察得知，树顶A的仰角，已知丙同学的眼睛到地面的距离米，点B、C、D、E在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．(1)请你在图中画出点D的位置；（不写画法，保留画图痕迹）(2)如果你是王朵同学，请你根据上述甲、乙、丙三位同学的测量数据，计算这棵古树的高度．【参考数据：，，】23．操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上．  (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______．(2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理．(3)拓展运用如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接：① 试利用射影定理证明；② 若，求的长．24．勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理．这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：(1)用语言叙述勾股定理；(2)选择图1、图2、图3中一个图形来验证勾股定理；(3)利用勾股定理来解决下列问题：如图4，一个长方体的长为8，宽为3，高为5．在长方体的底面上一点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上A与点相对的B点处的食物，则蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少?（画出图形，并说明理由）参考答案：1．B【分析】根据简单组合体的三视图得出结论即可．【详解】解：由题意知，该几何体的主视图为  ，故选：B．【点睛】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键．2．A【分析】严格按照所给方法斜着向右上对折，再斜着向左上对折，向右左对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．【详解】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．故选A．【点睛】本题主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．3．D【详解】解：从上面看易得左边第一列有3个正方形，中间第二列有1个正方形，最右边一列有1个正方形．故选D．【点睛】本题考查简单组合体的三视图．4．A【分析】本题考查三视图，根据主视图和左视图的画法，逐一进行判断即可．【详解】解：当去掉①后，主视图和左视图均发生改变，符合题意；当去掉②或③时，主视图和左视图均不发生改变，不符合题意；当去掉④时，左视图不变，主视图发生改变，不符合题意；故选A．5．A【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看到的图形如下图所示，故选：A．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形就是主视图，熟练掌握几何体图形的观察方法是解题的关键．6．B【详解】如图所示，故选B．【点睛】本题考查了中心投影，掌握中心投影的成像原理是解决此题的关键.7．D【分析】根据三视图的定义及性质：“长对正，宽相等、高平齐”，可知该几何体为圆柱．【详解】主视图和俯视图为矩形，则该几何体为柱体，根据左视图为圆，可知该几何体为：圆柱A、B、C选项不符合题意，D符合题意．故选D．【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据俯视图的意义进行判断即可．【详解】从上往下看“胜利”五角星，得到的俯视图，共计有长度相等的5条实线和4条虚线，即为：，故选：A．【点睛】本题考查了复杂图形的三视图，理解三视图的意义是正确判断的前提．9．B【分析】根据从上面看到的几何体形状及个数即可得到从正面看到的形状及对应的个数．【详解】解：根据从上面看到的几何体形状及个数可知：该几何体从正面看到的形状共三列，从左往右依次是2、2、3，故选：B．【点睛】本题考查了三种视图之间的关系，解题的关键是通过空间想象能力得到相应位置上正方体的个数．10．B【详解】试题解析：俯视图中有4个正方形，那么最底层有4个正方体，由主视图可得第二层最多有2个正方体，有左视图可得第二层只有1个正方体，所以共有4+1=5个正方体.故选B.11．C【分析】本题考查立体题的展开图，熟记常见立方体的展开图，是解题的关键．【详解】解：由图形可知，该立体图形的底面形状是故选C．12．B【分析】此题考查了由三视图判断几何体，关键是熟练掌握三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体是圆柱．故选：B13．空心圆柱【分析】本题主要考查由三视图还原几何体，从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图是同心圆来看，可以确定这个几何体为空心圆柱．【详解】解：从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图是同心圆来看，可以确定这个几何体为空心圆柱．故答案为：空心圆柱．14．1【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，相反数的定义，代数式求值．熟练掌握正方体相对两面上的字，相反数的定义，代数式求值是解题的关键．由题意知，，，计算求出的值，然后代值求解即可．【详解】解：由题意知，，， 解得，，∴，故答案为：1．15． 6 216 216【分析】这个正方体的棱长为：（长方体的长＋宽＋高）；正方体的表面积=棱长×棱长，正方体的体积=棱长×棱长×棱长．【详解】解：；（）（）故答案为：6；216；216．【点睛】题目主要考查正方体和长方体的基本特征，解题关键是熟悉正方体特征，掌握并灵活运用正方体表面积和体积公式．16．36【详解】由图可知，这个长方体的长为4，宽为3，高为3，∴长方体的体积V=4×3×3=36，故答案为36．17．平行【分析】根据平行投影中心投影的定义判断即可．【详解】解：阳光下广告牌的影子属于平行投影．故答案为：平行．【点睛】本题考查平行投影，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握平行投影，中心投影的定义，属于中考常考题型．18．（1）圆锥；（2）16π．【分析】（1）易得此几何体为圆锥（2）圆锥的全面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+π×底面半径×母线长，把相关数值代入即可求解．【详解】（1）根据主视图和左视图是三角形可知该几何体是锥体，根据俯视图是圆，可得几何体为圆锥，（2）圆锥的表面积=π•22+•2π•6•2=16π．【点睛】考查由三视图还原几何体以及圆锥表面积的计算，掌握计算公式是解题的关键.19．见解析【分析】根据三视图的定义，画出图形即可．【详解】解：该组合体三视图如图所示：【点睛】本题考查了画三视图，在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．20．(1)见解析(2)．【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）连接并延长交直线于点E，线段即为所作；（2）根据相似三角形的判定与性质得出，代入数据求出的长即可．【详解】（1）如图，（2）由题意可知，，，，，．答：灯杆的高度为．21．【分析】本题考查了最短路径问题，将纸杯侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【详解】解：将纸杯沿侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，如图所示：  ，，，在中，由勾股定理得，，故蚂蚁从外壁到内壁处的最短距离为．22．(1)见解析(2)10米【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，解题的关键：（1）根据平行投影即可作图；（2）由平行投影可得出，根据同角的正切值相等可得出，设米，则米，米，米，在中，根据正切的定义求解即可．【详解】（1）解：如图，点D即为所求，（2）解：延长交于H，则，米，由题意，知，∴，∴，∴，即，设米，则米，∴米，米，在中，，∴，解得，∴米，即古树的高度为10米．23．(1)、；(2)证明见解析；(3)①证明见解析；②【分析】（1）根据题意，即可得到答案；（2）证明，得到，即可证明定理；（3）①利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明；②根据正方形的性质和勾股定理，求得，，再利用相似三角形的性质，得到，即可求出的长．【详解】（1）解：根据题意可知，图中线段的投影是，线段的投影是，故答案为：、；（2）证明：，，，，，，；（3）①证明：四边形是正方形，，，，，，，，，；②解：正方形的边长为15，，，在中，，，，，在中，，，，．  【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．24．(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方(2)见解析(3)【分析】（1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；（2）利用等面积建立等式进行解答；（3）把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出即可．【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．（2）解：若选图1，则由图形可知：，整理得：；选择图2，则由图形可知：．整理，得；若选图3，则由图形可知：，整理得：．（3）解：把长方体表面展开，转化为平面图形，当长、宽、高互不相等时，要分三种情况，根据勾股定理分别求出．当展开图形为①：当展开图为②：当展开图为③：①②③∵，∴蚂蚁需要沿长方体表面爬行的最短路程是．【点睛】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键．题号12345678910答案BADAABDABB题号1112        答案CB