2025届高中数学一轮复习练习：第六章 限时跟踪检测(32)　平面向量基本定理及坐标表示（含解析）

这是一份2025届高中数学一轮复习练习：第六章 限时跟踪检测(32)　平面向量基本定理及坐标表示（含解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题与解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，Aeq \(P,\s\up15(→))＝xeq \(AC,\s\up15(→))＋yeq \(BQ,\s\up15(→))，则x等于( )
A.eq \f(11,13) B.eq \f(6,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,2)
2．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|＝( )
A．3eq \r(5) B．4eq \r(5)
C．4 D．5
3．已知点A(3,2)，B(5,1)，则与Aeq \(B,\s\up15(→))方向相反的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))
4．(2024·广东汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝eq \(BA,\s\up15(→))，b＝eq \(BC,\s\up15(→))，则eq \(CF,\s\up15(→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
C．－eq \f(1,4)a＋eq \f(3,8)b D.eq \f(3,4)a－eq \f(5,8)b
5．(2024·河北衡水中学调研)已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且a∥b，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
6．(2024·云南大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2Beq \(D,\s\up15(→))＝Ceq \(B,\s\up15(→))＋λeq \(CA,\s\up15(→))，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则eq \f(S1,S2)等于( )
A.eq \f(λ,6) B.eq \f(λ,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
7．(2024·福建泉州模拟)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量Oeq \(P,\s\up15(→))绕点O按逆时针方向旋转eq \f(3π,4)后得向量Oeq \(Q,\s\up15(→))，则点Q的坐标是( )
A．(－7eq \r(2)，－eq \r(2)) B．(－7eq \r(2)，eq \r(2))
C．(－4eq \r(6)，－2) D．(－4eq \r(6)，2)
二、多项选择题
8．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是( )
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直
D．a与b中至少有一个为0
9．已知向量Oeq \(A,\s\up15(→))＝(1，－3)，Oeq \(B,\s\up15(→))＝(2，－1)，Oeq \(C,\s\up15(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.eq \f(1,2)
C．1 D．－1
三、填空题与解答题
10．如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设Aeq \(B,\s\up15(→))＝a，Aeq \(F,\s\up15(→))＝b，若Beq \(M,\s\up15(→))＝Meq \(C,\s\up15(→))，Eeq \(F,\s\up15(→))＝3Eeq \(N,\s\up15(→))，则Meq \(N,\s\up15(→))＝________.(用a，b表示)
图1 图2
11．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
12．(2024·江苏常州模拟)在△ABC中，C＝45°，O是△ABC的外心，若eq \(OC,\s\up15(→))＝meq \(OA,\s\up15(→))＋neq \(OB,\s\up15(→))(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________.
13．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设Aeq \(B,\s\up15(→))＝a，Beq \(C,\s\up15(→))＝b，Ceq \(A,\s\up15(→))＝c，且Ceq \(M,\s\up15(→))＝3c，Ceq \(N,\s\up15(→))＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量Meq \(N,\s\up15(→))的坐标．
14．已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于点P，交边AC于点Q，设△APQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，Aeq \(P,\s\up15(→))＝peq \(PB,\s\up15(→))，Aeq \(Q,\s\up15(→))＝qeq \(QC,\s\up15(→)).
(1)求eq \f(pq,p＋q)的值；
(2)求eq \f(S1,S2)的取值范围．
高分推荐题
15．根据毕达哥拉斯定理，得到结论：以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对Rt△CDE按上述操作作图后，得到如图所示的图形，其中∠EDC＝30°，若Aeq \(F,\s\up15(→))＝xeq \(AB,\s\up15(→))＋yeq \(AD,\s\up15(→))，则x－y＝________.
解析版
一、单项选择题
1．如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD的中点，Aeq \(P,\s\up15(→))＝xeq \(AC,\s\up15(→))＋yeq \(BQ,\s\up15(→))，则x等于( )
A.eq \f(11,13) B.eq \f(6,5)
C.eq \f(5,6) D.eq \f(3,2)
解析：分别以AB，AD为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，P(2,1)，Q(1，2)，C(2,2)，
则Aeq \(P,\s\up15(→))＝(2,1)，Aeq \(C,\s\up15(→))＝(2,2)，Beq \(Q,\s\up15(→))＝(－1,2)，
又Aeq \(P,\s\up15(→))＝xeq \(AC,\s\up15(→))＋yeq \(BQ,\s\up15(→))，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2＝2x－y，,1＝2x＋2y，))解得x＝eq \f(5,6).
答案：C
2．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|＝( )
A．3eq \r(5) B．4eq \r(5)
C．4 D．5
解析：∵a＝(1,2)，b＝(－2，y)，且a∥b，
∴1×y－(－2)×2＝0，即y＝－4.
则b＝(－2，－4)，
∴2a－b＝2(1,2)－(－2，－4)＝(4,8)，则|2a－b|＝eq \r(42＋82)＝4eq \r(5).故选B.
答案：B
3．已知点A(3,2)，B(5,1)，则与Aeq \(B,\s\up15(→))方向相反的单位向量为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))
解析：因为A(3,2)，B(5,1)，所以Aeq \(B,\s\up15(→))＝(2，－1)，则|Aeq \(B,\s\up15(→))|＝eq \r(22＋－12)＝eq \r(5)，所以与Aeq \(B,\s\up15(→))方向相反的单位向量为－eq \f(A\(B,\s\up15(→)),|A\(B,\s\up15(→))|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5))).故选B.
答案：B
4．(2024·广东汕头调研)如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且BF＝3FE，记a＝eq \(BA,\s\up15(→))，b＝eq \(BC,\s\up15(→))，则eq \(CF,\s\up15(→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
C．－eq \f(1,4)a＋eq \f(3,8)b D.eq \f(3,4)a－eq \f(5,8)b
解析：取a＝eq \(BA,\s\up15(→))，b＝eq \(BC,\s\up15(→))作为基底，则eq \(BE,\s\up15(→))＝a＋eq \f(1,2)b.因为BF＝3FE，所以eq \(BF,\s\up15(→))＝eq \f(3,4)eq \(BE,\s\up15(→))＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))＝eq \f(3,4)a＋eq \f(3,8)b，所以eq \(CF,\s\up15(→))＝eq \(BF,\s\up15(→))－eq \(BC,\s\up15(→))＝eq \f(3,4)a＋eq \f(3,8)b－b＝eq \f(3,4)a－eq \f(5,8)b，故选D.
答案：D
5．(2024·河北衡水中学调研)已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且a∥b，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
解析：因为向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，tan α))，b＝(cs α，1)，且a∥b，所以eq \f(1,3)＝tan αcs α＝sin α.因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝－cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(2\r(2),3).故选C.
答案：C
6．(2024·云南大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2Beq \(D,\s\up15(→))＝Ceq \(B,\s\up15(→))＋λeq \(CA,\s\up15(→))，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则eq \f(S1,S2)等于( )
A.eq \f(λ,6) B.eq \f(λ,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
解析： 依题意作图，如图所示，
设Beq \(D,\s\up15(→))＝μeq \(BA,\s\up15(→))＝μ(Ceq \(A,\s\up15(→))－Ceq \(B,\s\up15(→)))＝－μeq \(CB,\s\up15(→))＋μeq \(CA,\s\up15(→))，
由条件Beq \(D,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)Ceq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(λ,2)Ceq \(A,\s\up15(→))，
得μ＝－eq \f(1,2)，eq \f(λ,2)＝μ＝－eq \f(1,2)，∴Beq \(D,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)Beq \(A,\s\up15(→))，
∴点D在AB的延长线上，并且AD＝eq \f(3,2)AB，∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(AB,AD)＝eq \f(2,3).
答案：D
7．(2024·福建泉州模拟)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量Oeq \(P,\s\up15(→))绕点O按逆时针方向旋转eq \f(3π,4)后得向量Oeq \(Q,\s\up15(→))，则点Q的坐标是( )
A．(－7eq \r(2)，－eq \r(2)) B．(－7eq \r(2)，eq \r(2))
C．(－4eq \r(6)，－2) D．(－4eq \r(6)，2)
解析：设Oeq \(P,\s\up15(→))与x轴正半轴的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(3,5)，sin θ＝eq \f(4,5)，则由三角函数的定义，可得Oeq \(Q,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|O\(P,\s\up15(→))|cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,4)))，|O\(P,\s\up15(→))|sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,4))))).
∵|Oeq \(P,\s\up15(→))|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,4)))＝eq \r(62＋82)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θcs \f(3π,4)－sin θsin \f(3π,4)))＝10×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))－\f(4,5)×\f(\r(2),2)))＝－7eq \r(2)，
|eq \(OP,\s\up15(→))|sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(3π,4)))＝eq \r( ,62＋82)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs\f(3π,4)＋cs θsin\f(3π,4)))＝10×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,5)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r( ,2),2)))＋\f(3,5)×\f(\r( ,2),2)))＝－eq \r( ,2)，
∴Oeq \(Q,\s\up15(→))＝(－7eq \r(2)，－eq \r(2))，
即点Q的坐标为(－7eq \r(2)，－eq \r(2))．
答案：A
二、多项选择题
8．若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，那么下列对a，b的判断不正确的是( )
A．a与b一定共线
B．a与b一定不共线
C．a与b一定垂直
D．a与b中至少有一个为0
解析：由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0，
当a与b共线时，k1＝k2＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；
而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；
当a与b中至少有一个为0时，k1，k2中至少有一个可以不为零，所以D错误．
答案：ACD
9．已知向量Oeq \(A,\s\up15(→))＝(1，－3)，Oeq \(B,\s\up15(→))＝(2，－1)，Oeq \(C,\s\up15(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.eq \f(1,2)
C．1 D．－1
解析：各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为Aeq \(B,\s\up15(→))＝Oeq \(B,\s\up15(→))－Oeq \(A,\s\up15(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，Aeq \(C,\s\up15(→))＝Oeq \(C,\s\up15(→))－Oeq \(A,\s\up15(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．
答案：ABD
三、填空题与解答题
10．如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设Aeq \(B,\s\up15(→))＝a，Aeq \(F,\s\up15(→))＝b，若Beq \(M,\s\up15(→))＝Meq \(C,\s\up15(→))，Eeq \(F,\s\up15(→))＝3Eeq \(N,\s\up15(→))，则Meq \(N,\s\up15(→))＝________.(用a，b表示)
图1 图2
解析：因为Beq \(M,\s\up15(→))＝Meq \(C,\s\up15(→))，Eeq \(F,\s\up15(→))＝3Eeq \(N,\s\up15(→))，由正六边形的性质可知Aeq \(B,\s\up15(→))＝Feq \(O,\s\up15(→))＝Oeq \(C,\s\up15(→))，Aeq \(F,\s\up15(→))＝Oeq \(E,\s\up15(→))＝Beq \(O,\s\up15(→))，所以Oeq \(M,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(Oeq \(B,\s\up15(→))＋Oeq \(C,\s\up15(→)))，Oeq \(N,\s\up15(→))＝Oeq \(F,\s\up15(→))＋Feq \(N,\s\up15(→))＝Oeq \(F,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)Feq \(E,\s\up15(→))＝Oeq \(F,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)(Oeq \(E,\s\up15(→))－Oeq \(F,\s\up15(→)))＝eq \f(2,3)Oeq \(E,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)Oeq \(F,\s\up15(→))，所以Meq \(N,\s\up15(→))＝Meq \(O,\s\up15(→))＋Oeq \(N,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)(Oeq \(B,\s\up15(→))＋Oeq \(C,\s\up15(→)))＋eq \f(2,3)Oeq \(E,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)Oeq \(F,\s\up15(→))＝－eq \f(1,2)(－Aeq \(F,\s\up15(→))＋Aeq \(B,\s\up15(→)))＋eq \f(2,3)Aeq \(F,\s\up15(→))＋eq \f(1,3)(－Aeq \(B,\s\up15(→)))＝eq \f(1,2)Aeq \(F,\s\up15(→))－eq \f(1,2)Aeq \(B,\s\up15(→))＋eq \f(2,3)Aeq \(F,\s\up15(→))－eq \f(1,3)Aeq \(B,\s\up15(→))＝eq \f(7,6)Aeq \(F,\s\up15(→))－eq \f(5,6)Aeq \(B,\s\up15(→))＝－eq \f(5,6)a＋eq \f(7,6)b.
答案：－eq \f(5,6)a＋eq \f(7,6)b
11．若{α，β}是一个基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底{α，β}下的坐标，现已知向量a在基底{p＝(1，－1)，q＝(2,1)}下的坐标为(－2,2)，则a在基底{m＝(－1,1)，n＝(1,2)}下的坐标为________．
解析：因为a在基底{p，q}下的坐标为(－2，2)，所以a＝－2p＋2q＝(2,4)，
令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋y＝2，,x＋2y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2，))
所以a在基底{m，n}下的坐标为(0,2)．
答案：(0,2)
12．(2024·江苏常州模拟)在△ABC中，C＝45°，O是△ABC的外心，若eq \(OC,\s\up15(→))＝meq \(OA,\s\up15(→))＋neq \(OB,\s\up15(→))(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是________.
解析：∵在△ABC中，C＝45°，∴∠AOB＝90°(圆心角是同弧所对的圆周角的2倍)．建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(r,0)，B(0，r)，C(rcs α，rsin α)，其中r>0,90°