1.3乘法公式课时4-完全平方公式（课件）2024—2025学年北师大版（2024）数学七年级上册

第一章 整式的乘除课时4 完全平方公式1.3 乘法公式1.进一步熟悉平方差公式和完全平方公式.2.能准确运用平方差公式、完全平方公式及多项式乘以多项式的法则进行多项式的乘法运算和数的简便计算.3.理解并掌握完全平方公式的几种变化形式.2.完全平方公式1.平方差公式(a-b)(a+b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a -b)2=a2- 2ab+b2怎样计算下列两式更简单呢？(1) 1022 (2) 1992知识点1 完全平方公式的简便运算(1) 1022 = (100+2)2=10 000+400+4=10 404(2)1992= (200 –1)2=40 000 -400+1=39 601=1002+2×100×2+22=2002-2×200×1+12知识点1 完全平方公式的简便运算 完全平方公式用于简便运算时，关键是找到与原数接近的类似整十、整百的数，再将原数变形成(a+b)2 或者(a−b)2 的形式，使之符合公式的特点，再用完全平方公式进行求解．例1 利用乘法公式计算：(1)982-101×99； (2)20162-2016×4030+20152.解：(1)原式＝(100-2)2-(100+1)(100-1)＝1002-400+4-1002+1＝-395；(2)原式＝20162-2×2016×2015+20152＝(2016-2015)2＝1.知识点1 完全平方公式的简便运算a2- 2ab+b2知识点2 完全平方公式的综合应用例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 解：(1)方法一 (x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9.逆用平方差公式用完全平方公式方法二 (x+3)2-x2 =[(x+3)+x][(x+3)-x] =(2x+3)×3 =6x+9． 知识点2 完全平方公式的综合应用对于两个三项式相乘的式子，可将相同的项或互为相反数的项添括号视为一个整体，转化成平方差公式的形式，再利用平方差公式和完全平方公式进行计算.例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 知识点2 完全平方公式的综合应用例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 解：(2) (a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2 -32 =a2+2ab+b2-9.知识点2 完全平方公式的综合应用(4) [(a+b)(a-b)]2 =(a2-b2)2 =a4-2a2b2+b4. 解：(3) (x+5)2-(x-2)(x-3) =(x2+10x+25)-(x2-2x-3x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19.例2 计算：(1) (x+3)2 - x2； (2)(a+b+3)(a+b-3) ； (3) (x+5)2–(x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]2. 观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论.不一样多.知识点2 完全平方公式的综合应用观察下图，你认为(m+n)×(m+n)点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗?请用所学的公式解释自己的结论.因为(m+n)2-m2-n2=m2+2mn+n2-m2-n2=2mn>0，所以(m+n)×(m+n)点阵中的点数比m×m点阵、n×n点阵中的点数之和多2mn.知识点2 完全平方公式的综合应用思考 若a+b=5，ab=6，求a2+b2.知识点3 完全平方公式的变形解：因为(a+b) 2=a2+2ab+b2， 所以 a2+b2=(a+b) 2-2ab =52-2×6 =13.(a+b)2=a2+2ab+b2(a -b)2=a2- 2ab+b2思考 若a+b=6，a-b=4，求ab.知识点3 完全平方公式的变形解：因为(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2， 所以a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab ， 所以ab=[(a+b)2-(a-b)2]÷4 =(62-42)÷4 =5.(a+b)2=a2+2ab+b2(a -b)2=a2- 2ab+b2知识点3 完全平方公式的变形 (a+b)2=a2+2ab+b2(a -b)2=a2- 2ab+b21.我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此恒等式是(　　).A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2C2.运用完全平方公式计算99.82的最佳方法是( )A．(99＋0.8)2 B．(90＋9.8)2C．(100－0.2)2 D．(101－1.2)2C3.利用乘法公式计算：(1)962； (2) (a-b-3)(a-b+3).解: (1) 962=(100-4)2=1002-2×100×4+42=9 216.(2) (a-b-3)(a-b+3)=(a-b)2-32=a2-2ab+b2-9.4.计算：(1)(x + 1)2-(x+2)(x-2)； (2)(3x-2y + 1)(3x + 2y-1)．解：(1)原式 =x2+2x+12-(x2-4) = 2x+5.(2)原式 = [3x-(2y-1)][3x +(2y-1)] =9x2-(2y-1)2 = 9x2-4y2 +4y-1.5.若a+b=5，ab=2，求a2+b2，(a﹣b)2的值．解：当a+b=5，ab=2时， a2+b2=(a+b)2﹣2ab =52﹣2×2 =21， (a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab =52﹣4×2 =17．(a+b)2=a2+2ab+b2(a -b)2=a2- 2ab+b2完全平方公式知二求二:熟练掌握完全平方公式的常见变形数式的简便计算:根据数式中数的特点选择乘法公式公式变形简便计算整式的简便计算:根据整式中式子的特点选择乘法公式