江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年高一(上)1月期末学情调研数学试卷(解析版)

这是一份江苏省盐城市阜宁县2023-2024学年高一(上)1月期末学情调研数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据交集的概念可得，.
故选：B.
2. 已知扇形的半径为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】由已知可得，扇形的半径，圆心角的弧度数，
所以，扇形的弧长为，扇形的周长为.
故选：D.
3. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】若，则和无意义，得不出，
若，则，可以得出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：D.
4. 已知角的终边过点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，由三角函数的定义可得：，
整理可得：，
因为，所以.
故选：C.
5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在上连续单调递增，
且，所以函数的零点在区间内.
故选：C.
6. 已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】＝-sin[]＝.
故选：C．
7. 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，所以函数的周期为2，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，，
因为，在上单调递增，所以，
所以.
故选：B.
8. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段;再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于，则的最大值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】第一次操作去掉的线段长度为，第二次操作去掉的线段长度之和为，
第三次操作去掉的线段长度之和为，，
第次操作去掉的线段长度之和为，
由题意可知，，则，则，
所以，即，
又，带入上式，可得.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题.每小题5分共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，因为，所以，
当且仅当时取等号，所以，
当且仅当时取等号，所以A正确；
对于B，因为，
当且仅当时取等号，所以B正确；
对于C，因为，
当且仅当时取等号，所以C错误；
对于D，因为，所以，所以，
当且仅当时取等号，所以D错误.
故选：AB.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 当时，的值域为D. 在上单调递减
【答案】ABD
【解析】由图象可得函数的周期为，故，故A正确；
由，故，
所以，其中，所以，
故，故B正确；
当时，，故，故C错误；
当时，，而在为减函数，
故在上为减函数，故D正确.
故选：ABD.
11. 有如下命题，其中真命题的标号为（ ）
A. 若幂函数的图象过点，则
B. 函数(，且)的图象恒过定点
C. 函数有两个零点
D. 若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是
【答案】BD
【解析】设幂函数，将代入，解得，
则，不成立，错误；
函数中，令，则函数图象恒过定点，B正确；
函数在上单调递增，且，故只有一个零点，C错误；
函数的对称轴为，此时取得函数最小值，
又，故的取值范围是，，D正确.
故选：BD．
12. 若函数满足：在定义域D内存在实数，使得成立，则称函数为“1阶马格丁香小花花”函数. 给出下列4个函数，其中是“1阶马格丁香小花花”函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】选项：对于，若是“1阶马格丁香小花花”函数，
则有解，变形可得，
而该方程无实数解，故不是“1阶马格丁香小花花”函数；
选项B：对于，其定义域为，
若“1阶马格丁香小花花”函数，则方程有解，
变形可得，解可得，
故函数是“1阶马格丁香小花花”函数；
选项C：对于，若存在，使，
则，即，
而，故方程无解，
故不是“1阶马格丁香小花花”函数；
选项D：对于，存在，有成立，
故是“1阶马格丁香小花花”函数．
故选：BD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知，若是第二象限角，则的值为__________.
【答案】
【解析】，
所以，
所以，
所以.又因为是第二象限角，所以，，
所以.
14. 已知函数，若，则__________.
【答案】
【解析】由题意知，
则，.
15. 若，，则______________．
【答案】0或
【解析】由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或.
当时，，，；
当时，，，.
综上所述，或.
16. 已知函数(是自然对数的底数)有唯一零点，则___________.
【答案】
【解析】，故为偶函数，
而为唯一零点，故零点为，故即.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知.
（1）求值：；
（2）求值：．
解：（1）由已知可得，.
因为，所以原式.
（2）由已知可得，.
因为，所以原式.
18. 已知函数，直线是其图象的一条对称轴．
（1）求值；
（2）用五点作图法列表画出函数的草图，并写出函数在上的单调减区间．
解：（1）根据已知结合正弦函数的性质可得，，
所以.
又，所以，.
（2）令，列表可得，
作出函数的图象如下：
由图象可知，函数在上的单调减区间为，.
19. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”经调研发现．某珍稀水果树的单株产量即（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
解：（1）由已知.
（2）由（1）得，
即由二次函数的单调性可知，当时，，
由基本不等式可知当时，
，
当且仅当时取得最大值，
综上，当时取得最大利润，最大利润为480元.
20. 已知函数，且当时的最小值为.
（1）求的值；
（2）先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和.
解：（1），
∵，∴，
∴，∴.
（2）依题意得，由得，
∴()或()，
∴或，解得或，
∴所有根的和为.
21. 若函数f(x)满足f(lgax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).
（1）求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．
解：（1）令lgax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝ (at－a－t)．
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．
∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，
∴f(x)为增函数．
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．
（2）∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.
∴ ()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－≤a≤2＋.又a≠1，
∴a的取值范围为[2－，1)∪(1，2＋]．
22. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称函数“局部中心函数”.
（1）已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”.并说明理由；
（2）若是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围.
解：（1）由题意，（），
所以，
，
当时，
解得：，
由于，所以，
所以为“局部中心函数”.
（2）因为是定义域为上的“局部中心函数”，
所以方程有解，
即在上有解，
整理得：，
令，，
故题意转化为在上有解，
设函数，
当时，在上有解，
即，
解得：；
当时，
则需要满足才能使在上有解，
解得：，
综上：，即实数m的取值范围.0
0
0
1
0