高考数学一轮复习：9统计与概率-跟踪训练1（题型归纳与重难专题突破提升）

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1．重庆八中五四颁奖典礼上有，，，，，共6个节目，在排演出顺序时，要求，相邻，，不相邻，则该典礼节目演出顺序的不同排法种数为
A．288种B．144种C．72种D．36种
【解答】解：先将两个节目，捆绑成一个元素，与节目，进行全排列，
再将节目，插入四个空档中，所以共有种不同的结果．
故选：．
2．四名师范生从，，三所学校中任选一所进行实习教学，其中学校必有师范生去，则不同的选法方案有
A．65种B．37种C．24种D．12种
【解答】解：当4个人去1个学校时只能选择学校，只有1种方案；
当4个人去2个学校时共有种方案；
当4个人去3个学校时共有种方案，
所以不同的选法方案共有（种．
故选：．
3．某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有
A．24B．32C．36D．48
【解答】解：如果5人分成1，1，3三组，则分配方法有：种，
如果5人分成1，2，2三组，则分配方法有：种，
由加法原理可得：不同分配方法数为种．
故选：．
4．将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配两名志愿者，则有 种分配方式．
A．35B．50C．60D．70
【解答】解：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能：和，
则相应的分配方式分别有种和种，
所以不同的分配方式共有种．
故选：．
5．在万州二中八十周年校庆期间，有甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，则下列说法正确的是
A．不同的安排方法共有种
B．若恰有一项工作无人去参加，则不同的安排方法共有种
C．若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有44种
D．学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，则不同的分配方法共有2024种
【解答】解：不同的安排方法共有种，故选项错误；
若恰有一项工作无人去参加，则不同的安排方法共有种，故选项错误；
若甲，乙两人都不能去参加项工作，且每项工作都有人去，
则不同的安排方法共有种，故选项错误；
学校为了表扬先进，现将25个三好学生名额分配给高二年级22个班，每个班至少一个名额，
则不同的分配方法共有种；故选项正确；
故选：．
6．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有
A．6种B．12种C．18种D．24种
【解答】解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，
若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有种．
故选：．
7．某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有 种
A．36B．48C．54D．72
【解答】解：依题意显然不能用少于2种颜色涂色，
若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有种选法，
先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂法，
故一共有种涂法；
若利用4种不同的颜色涂色，根据题意，分2步进行涂色：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2种涂色方法，
故共有种涂色的方法；
综上可得一共有种涂法；
故选：．
8．近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5个不同的猫笼，金渐层猫3只（猫妈妈和2只小猫崽）、银渐层猫4只、布偶猫1只．该猫舍计划将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有
A．8种B．30种C．360种D．1440种
【解答】解：根据题意，将3只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3只金渐层猫看成是1个整体，
4只银渐层猫每2只放在一个猫笼里，则分组方法有（种，
一共有4个整体进行排列放在5个不同的猫笼，
则一共可以安排的方法有：（种．
故选：．
9．佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务．由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为
A．240B．180C．690D．150
【解答】解：由题意，6人需分成三组，且其中一组的人数不少于另外两组每一组的人数，有以下几种情况：
①每组2人：共有；
②三组人数分别为3，2，1：共有；
③三组人数分别为4，1，1：共有，
故共有（种．
故选：．
10．为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有
A．18种B．36种C．68种D．84种
【解答】解：名女教师分派到同一个学校，
若只有2位女老师分在一个学校，则3名男教师分成两组，有，然后3组再进行排列即可，此时种，
若还有1名男老师和2位女老师分子一个学校，则有，然后3组再进行排列即可，此时种，
则共有种，
故选：．
11．如图所示，，，，是海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个岛连接起来，则不同的建桥方案共有
A．48种B．32种C．24种D．16种
【解答】解：分为以下两类：
第一类，从一个岛出发向其他三岛各建一桥，共有4种方法；
第二类，一个岛最多建两座桥，但是下面这样的两个排列对应一种建桥方法，，，要去掉重复的这样，因此共有种方法．
根据分类计数原理，知道共有种．
故选：．
12．由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个．
A．360B．192C．312D．240
【解答】解：根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数数字为2或4，
当个位数字为0时，小于50000的偶数有个；
当个位数字为2或4时，小于50000的偶数有个，
所以小于50000的偶数共有个．
故选：．
13．某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项．要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有 种报名方式．
A．49B．64C．66D．73
【解答】解：由题可知，若每人报集体赛1项，则报名方式有种，
若每人报集体赛2项，则报名方式有种，
所以每人共有报名方式种．
故选：．
14．为了迎接2023年五四青年节，厦门一中计划在两个校区各布置一个优秀青年校友的事迹展板，由甲、乙在内的5名学生志愿者协助布置，每人参与且只参与一个展板的布置，每个展板都至少由两人安装，若甲和乙必须安装不同的展板，则不同的分配方案种数为
A．8B．10C．12D．14
【解答】解：所有分组的方式种，其中有4种不合题意，
故共有种分配方式
故选：．
15．若六位老师前去某三位学生（同学1，同学2，同学家中家访，每一位学生至少有一位老师家访，每一位老师都要前去家访且仅能家访一位同学，由于就近考虑，老师甲不去家访同学1，则有 种安排方法
A．335B．100C．360D．340
【解答】解：把6位老师按照4，1，1或3，2，1或2，2，2人数分为三组；
①把6为老师平均分为3组的不同的安排方法数有，
再把这三组老师安排给三位不同学生家访的不同安排方案数为：，
根据分步计数原理可得共有不同安排方案为：，
如果把甲老师安排去家访同学1的方法数为：，
所以把6位老师平均安排给三位学生家访且甲老师不安排去家访同学1的方法数为；
②把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生家访的方法数为：若1同学只安排了一位家访老师则，
若1同学安排了四位辅导老师币则，
所以把6位老师按照4，1，1分为3组给三位学生家访，甲老师不安排去家访同学1的方法数为60；
③把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生家访的方法数为：
若1同学只安排了一位辅导老师则，
若1同学只安排了两位辅导老师则，
若1同学只安排了三位辅导老师则，
所以把6位老师按照3，2，1分为3组给三位学生家访，甲老师不安排去家访同学1的方法数为，
综上把6位老师安排给三位学生家访，甲老师不安排去家访同学1的方法数为．
故选：．
二．多选题（共5小题）
16．小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则
A．这四人不同的旅游方案共有64种
B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．
D．“四个人只去了两个景点”的概率是
【解答】解：选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，错误；
选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有种方案，错误；
选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由选项可知，（A），
又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故，
所以，正确；
选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，
由选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为，正确．
故选：．
17．如图，在某城市中，、两地之间有整齐的正方形道路网，其中、、、是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网、处的甲、乙两人分别要到、处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达、处为止．则下列说法正确的是
A．甲从到达处的方法有20种
B．甲从必须经过到达处的方法有9种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
【解答】解：对于，甲由道路网处出发随机地选择一条沿街的最短路径到达处需走6步，
共有种方法，故正确．
对于，甲经过到达，可分为两步：
第一步：甲从经过的方法数：种，
第二步：甲从到的方法数：种，
所以：甲经过的方法数为种，故正确；
对于，由知：甲从到达处的方法有种，甲经过的方法数为1种，
同理，乙从到达处的方法有种，乙经过的方法数也为：1种，
甲、乙两人相遇经点的方法数为：1种，
甲、乙两人相遇经点的概率，故不正确，
对于．甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
他们在，2，3，相遇的走法有种方法；
，
甲、乙两人相遇的概率，故正确；
故选：．
18．、、、、、六个人并排站在一起，则下列说法正确的是
A．若、相邻，有120种排法B．若、相邻，有240种排法
C．若、不相邻，有480种排法D．若、不相邻，有960种排法
【解答】解：，，，，，五个人并排站在一起，若，相邻，
则将， “捆绑”在一起，视为一个整体，与，，，自由排列即可，
则方法总数为（种．则选项判断正确；选项判断错误；
，，，，，五个人并排站在一起，若，不相邻，
则先让，，，自由排列，再让，去插空即可，
则方法总数为（种．则选项判断正确；选项判断错误．
故选：．
19．现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有
A．没有空盒子的方法共有24种
B．可以有空盒子的方法共有128种
C．恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D．恰有1个小球放入自己编号的盒中的方法共8种
【解答】解：对于项，没有空盒子即每个盒子放一个球，共种放法，故正确；
对于项，不考虑是否空盒子的放法为种，减去得种，故错误；
对于项，先选不放球的盒子有4种，再把四个球分成三组（有一个盒子放2个球）放入三个盒子有：种放法，故有种放法，故正确；
对于项，恰有一个球放入自己编号有4种，余下3个球放入不同编号的盒子只有2种放法．
比如1号球放入1号盒子，则2号球可放入3号盒子或4号盒子．若2号球放入3号盒子，3号球只能放入4号盒子，4号球放入2号盒子；
若2号球放入4号盒子，则3号球只能放入2号盒子，4号球放入3号盒子．故正确；
综上三项正确．
故选：．
20．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是
A．若任意选择三门课程，选法总数为
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
D．若政治必须选，选法总数为
【解答】解：对于，任意选择三门课程，选法总数为，正确；
对于，物理和化学至少选一门，分两类，
第一类：物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选两门，有种方法，共有种选法；
第二类：物理和化学都选有种方法，其余一门从剩余的五门中选一门，有种方法，共有种选法，
由分类加法计数原理知，选法总数为，错误；
对于，物理和历史不能同时选，选法总数为，正确；
对于，政治必须选，另两门从余下六门中任选两门，选法总数为，错误．
故选：．
三．填空题（共5小题）
21．某单位安排、、、人去甲、乙、丙三地出差，每人仅出差一个地方，每个地方都要安排人出差，若不安排去甲地，则不同的安排方法有 24 种．
【解答】解：①若有两人到甲地出差，
则不同的安排方法有种，
②若只有1人到甲地出差，
则不同的安排方法有种，
综合①②可得不同的安排方法有种．
故答案为：24．
22．某地区高考改革，实行“”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有 16 （用数字作答）
【解答】解：若在物理、历史两门科目中只选一门，则有种，
若在物理、历史两门科目中选两门，则有种，
根据分类计数原理可得，共有种，
故答案为：16．
23．由0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有 90 个．
【解答】解：因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则
当0排在第6位时，共有（个数；
当0排在第5位时，共有（个数；
当0排在第4位时，共有（个数，
故这样的七位数共有（个．
故答案为：90．
24．已知，，均为正整数，则满足的一组解为，， ，4，或，1，（写一个即可） ．
【解答】解：当时，的尾数为0，而尾数为5，，，
然后取，，一一检验可得，，，，4，或，1，．
故答案为：，4，或，1，（写一个即可）．
25．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 36 （用数字作答）
【解答】解：将5人分成3组，有：1，2，2和1，1，3这两种情况，
甲、乙两人去同一个贫困县：（1）另外3人中的两人去同一个贫困县，有种分法；
（2）另外3人中有1人与甲、乙两人一组去同一个贫困县，有种分法；
将分好的三组全排列，对应3个贫困县，有种情况，
所以有种不同的派遣方案．
故答案为：36．
四．解答题（共3小题）
26．（1）从含有3件次品的40件产品中，任意抽取3件产品进行检验，抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法有多少种？
（2）从0，2中任取1个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的三位数？
【解答】解：（1）由题意，抽出的产品中恰好含有2件次品的抽法有．
（2）当抽到0时，再从1，3，5中抽2个，有种，
所以共有种，
当取到2时，再从1，3，5中抽2个，有种，
所以共有种．
27．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
【解答】解（1）由题意知本题是一个分类计数问题，
将取出4个球分成三类情况
取4个红球，没有白球，有种
取3个红球1个白球，有种；
取2个红球2个白球，有，
种
（2）设取个红球，个白球，则
符合题意的取法种数有种
28．已知集合，，，0，1，，，，，1，2，，从，这两个集合中先后选取一个元素依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标．
（1）求位于第二象限的不同点的个数；
（2）求在圆内部（不含边界）的不同点的个数．
【解答】解：（1）位于第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，
从集合，，，0，1，选横坐标，有3种方法，
再从集合，，，1，2，选纵坐标，也有3种方法，
故根据分步乘法计数原理，位于第二象限的不同点的个数为；
（2）因为这个点在圆的内部（不含边界），所以，该点到原点的距离，
若，则或，共2种情况；
若，则或，共2种情况；
若，则或，共2种情况．
根据分类加法计数原理，则满足条件的不同点的个数为6．