人教版数学七下重难点培优训练专题6.5 实数（压轴题综合训练卷）（2份，原卷版+解析版）

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一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2021秋•宛城区期中）下列各数中，化简结果为﹣2021的是（ ）
A．﹣（﹣2021）B．C．|﹣2021|D．
【思路点拨】
利用相反数的概念进行化简判断A，利用算术平方根的概念化简判断B，利用绝对值的化简判断C，利用立方根的概念化简判断D．
【解题过程】
解：A、﹣（﹣2021）＝2021，故此选项不符合题意；
B、2021，故此选项不符合题意；
C、|﹣2021|＝2021，故此选项不符合题意；
D、2121，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（2021秋•东城区校级期中）实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．ac＞0B．|b|＜|c|C．b+d＞0D．a＞﹣d
【思路点拨】
由数轴可知a＜b＜0＜c＜d，再对选项进行判断即可．
【解题过程】
解：由数轴可知：a＜b＜0＜c＜d，
∴ac＜0，
∴A不符合题意；
∵|b|＞|c|，
∴B不符合题意；
∵|b|＜|d|，
∴b+d＞0，
∴C符合题意；
∵﹣d＞a，
∴a＜﹣d
∴D不符合题意；
故选：C．
3．（2021秋•茂名期中）下列说法：①的立方根是；②是17的平方根；③﹣27没有立方根；④比大且比小的实数有无数个．错误的有（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【思路点拨】
分别判断每个选项，注意立方根只有一个．
【解题过程】
解：①的立方根为，故错误；
②是17的平方根，正确；
③﹣27有立方根，故错误；
④比大且比小的实数有无数个，正确．
综上可得①③正确．
故选：A．
4．（2021秋•内江期末）若m1＜n，且m，n是两个连续整数，则m+n的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】
估算无理数的大小，进而求出m、n的值，再代入计算即可．
【解题过程】
解：∵23，
∴11＜2，
又∵m1＜n，且m，n是两个连续整数，
∴m＝1，n＝2，
∴m+n＝3，
故选：C．
5．（2021秋•滦南县期中）若和互为相反数，则（1）2018的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．2018
【思路点拨】
根据题意，可得：（1﹣2x）+（3x﹣5）＝0，据此求出x的值，再把求出的x的值代入（1）2018计算即可．
【解题过程】
解：∵和互为相反数，
∴（1﹣2x）+（3x﹣5）＝0，
解得：x＝4，
（1）2018
＝（1）2018
＝（1﹣2）2018
＝（﹣1）2018
＝1．
故选：B．
6．（2021秋•东港市期中）若a2＝b2，则下列等式成立的有（ ）
①|a|＝|b|；②；③a＝b；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】
根据算术平方根、立方根、绝对值的定义解答即可．
【解题过程】
解：若a2＝b2，则|a|＝|b|，故①正确；
若a2＝b2，则或，故②错误；
若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，故③错误；
若a2＝b2，则或，故④错误．
等式成立只有1个，
故选：A．
7．（2021秋•会宁县期中）下列说法正确的个数（ ）
①无限小数都是无理数；
②带根号的数都是无理数；
③无理数与无理数的和一定是无理数；
④无理数与有理数的和一定是无理数；
⑤是分数；
⑥无理数与有理数的积一定是无理数．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】
利用有理数，无理数的意义对每个小题的说法进行判定即可得出结论．
【解题过程】
解：∵无限循环小数是有理数，
∴①的说法错误；
∵带根号且开不尽方的数才是无理数，
∴②的说法错误；
∵互为相反数的两个数相加等于0，
∴两个互为相反数的无理数相加等于0，是有理数，
∴③的说法错误；
∵无理数与有理数的和一定是无理数，
∴④的说法正确；
∵是无理数，而分数是有理数，
∴⑤的说法错误；
∵0乘以任何数都等于0，
∴一个无理数与0相乘等于0，
∴⑥的说法错误．
综上，说法正确的有：④．
故选：A．
8．（2021秋•晋州市期末）已知A，B，C是数轴上三点，点B是线段AC的中点，点A，B对应的实数分别为﹣1和，则点C对应的实数是（ ）
A．B．C．D．
【思路点拨】
先求得AB的长度，点B是线段AC的中点，即可得出BC的长，再用BC的长度加上可得出点C所对应的实数．
【解题过程】
解：∵A、B两点对应的实数是﹣1和，
∴AB1，
∵点B是线段AC的中点，
∴BC1，
∴点C所对应的实数是：1＝21，
故选：D．
9．（2020秋•仁寿县期末）已知2m﹣1和5﹣m是a的平方根，a是（ ）
A．9B．81C．9或81D．2
【思路点拨】
根据平方根的定义即可求出a的值．
【解题过程】
解：若2m﹣1与5﹣m互为相反数，
则2m﹣1+5﹣m＝0，
∴m＝﹣4，
∴5﹣m＝5﹣（﹣4）＝9，
∴a＝92＝81，
若2m﹣1＝5﹣m，
∴m＝2，
∴5﹣m＝5﹣2＝3，
∴a＝32＝9，
故选：C．
10．（2021秋•平阳县期中）已知a，b，c三个数，a为8，b为7，c为6，则这三个数的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．a＝b＝cD．b＜a＜c
【思路点拨】
通过作差法比较大小即可．
【解题过程】
解：∵a﹣b＝871，
4＜7＜8＜9，
∴23，
∴10，
∴a＞b；
∵b﹣c＝761，
4＜6＜7＜9，
∴23，
∴10，
∴b＞c，
∴c＜b＜a，
故选：A．
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2021秋•揭阳月考）在实数、、、、||、2.1010010001…（两个1之间依次多一个0）中，无理数共有 个．
【思路点拨】
根据无理数的定义判断即可．
【解题过程】
解：无理数有：，，2.1010010001…（两个1之间依次多一个0），总共3个，
故答案为：3．
12．（2021秋•西湖区期末）如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”，“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面积一样的大正方形，则这个大正方形的边长是 ．
【思路点拨】
由图可知每个小正方形的边长为1，面积为1，得出拼成的小方形的面积为5，进一步开方得出拼成的正方形的边长为．
【解题过程】
解：分割图形如下：
故这个正方形的边长是：．
故答案为：．
13．（2021秋•海陵区期末）对于实数s、t，我们用符号max{s，t}表示s、t两数中较大的数，如max{3，1}＝3．若max{x2﹣10，3x2}＝6，则x＝ ．
【思路点拨】
分x2﹣10＝6和3x2＝6两种情况讨论，求出符合题意的x的值即可．
【解题过程】
解：若x2﹣10＝6，则x2＝16，3x2＝48，
∵48＞6，
∴不合题意，
若3x2＝6，则x2＝2，x2﹣10＝﹣8，
∵﹣8＜6，符合题意，
∴x2＝2，
∴x，
故答案为：．
14．实数a、b、x、y满足y+||＝1﹣a2，|x﹣3|＝y﹣1﹣b2，那么2x+y+2a+b的值是 ．
【思路点拨】
已知等式整理，利用非负数的性质求出a与b的值，进而求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【解题过程】
解：y+||＝1﹣a2①
|x﹣3|＝y﹣1﹣b2②
①+②得||+|x﹣3|＝﹣a2﹣b2
因为||≥0，|x﹣3|≥0，﹣a2≤0，﹣b2≤0，
所以||＝0，|x﹣3|＝0，﹣a2＝0，﹣b2＝0，
所以x＝3，a＝0，b＝0，
所以y＝1
所以2x+y+2a+b＝23+1+20+0＝16+1＝17．
故答案为：17．
15．（2021•肇源县二模）对于三个互不相等的数a，b，c，我们规定用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用med{a，b，c}表示这三个数中从小到大排中间的数．例如：M{﹣1，2，3}，med{2，3，﹣1}＝2，则med ，如果M{3，2x+1，4x﹣1}＝med{4，﹣x+3，6x}，那么x＝ ．
【思路点拨】
由题目定义可得med0；对M{3，2x+1，4x﹣1}＝4，M{3，2x+1，4x﹣1}＝﹣x+3，M{3，2x+1，4x﹣1}＝6x分情况讨论计算可得x．
【解题过程】
解：∵﹣5＜0，
∴med0，
当4时，
解得x，
则﹣x+33，6x＝69，
∵4＜9，
∴x满足题意；
当x+3时，
解得x，
则﹣x+33，6x＝64，
而4＝4，
∴x不合题意；
当6x时，
解得x，
则﹣x+33＝2，6x＝6，
而24，
∴x不合题意，
故答案为：0，．
三．解答题（本大题共9小题，满分55分）
16．（4分）（2021秋•南岗区校级期末）计算
（1）；
（2）．
【思路点拨】
（1）先化简绝对值，然后再进行计算即可；
（2）先化简各数，然后再进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）

；
（2）
＝﹣3+0.4﹣1.4
＝﹣4．
17．（4分）（2021秋•鼓楼区校级期末）求下列各式中的x：
（1）（x+2）2＝64；
（2）8x3+125＝0．
【思路点拨】
（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）把式子化为x3，再根据立方根的定义求解即可．
【解题过程】
解：（1）（x+2）2＝64，
x+2＝±8，
x+2＝8或x+2＝﹣8，
解得x＝6或x＝﹣10；
（2）8x3+125＝0，
8x3＝﹣125，
x3，
x，
x．
18．（4分）（2021春•雨花区期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中c为8的立方根，求代数式|b﹣a||2b|的值．
【思路点拨】
根据c为8的立方根，求得c＝2，因为a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可．
【解题过程】
解：∵c为8的立方根，
∴c＝2，
∵a＜0，b﹣a＜0，b﹣c＜0，2b＜0，
∴原式＝|a|+|b﹣a|+|b﹣c|﹣|2b|
＝﹣a+a﹣b+c﹣b+2b
＝c
＝2．
19．（6分）（2021春•鼓楼区校级期中）已知|7﹣3m|+（5﹣n）2＝3m﹣7，求（）2．
【思路点拨】
根据条件得：|7﹣3m|+（5﹣n）23m﹣7，根据非负数的性质得：3m﹣7≥0，∴7﹣3m≤0，去掉绝对值得：3m﹣7+（5﹣n）23m﹣7，所以（5﹣n）20，从而求出m，n的值，再代入求值即可．
【解题过程】
解：根据条件得：|7﹣3m|+（5﹣n）23m﹣7，
根据非负数的性质得：3m﹣7≥0，
∴7﹣3m≤0，
∴3m﹣7+（5﹣n）23m﹣7，
∴（5﹣n）20，
∴5﹣n＝0，m﹣4＝0，
∴m＝4，n＝5，
∴原式＝m﹣2n
＝4﹣2×25
＝9﹣4．
20．（6分）（2021秋•三元区期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数；任意一个不为0的有理数与一个无理数的积为无理数；而0与无理数的积为0．由此可得：如果ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．
（1）如果（m+1）（n﹣2）＝0，其中m，n为有理数，那么m＝ ，n＝ ；
（2）如果（3）m﹣2n＝18，其中m，n为有理数，求m+3n的值．
【思路点拨】
（1）根据如果ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0，求出m与n的值即可；
（2）已知等式整理后，根据如果ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0，确定出m与n的值，代入原式计算即可得到结果．
【解题过程】
解：（1）如果（m+1）（n﹣2）＝0，其中m，n为有理数，
那么m+1＝0，n﹣2＝0，即m＝﹣1，n＝2；
故答案为：﹣1，2；
（2）如果（3）m﹣2n＝18，即（m﹣2n）（3m﹣18）＝0，其中m，n为有理数，
那么m﹣2n＝0，3m﹣18＝0，
解得：m＝6，n＝3，
则m+3n＝6+9＝15．
21．（6分）（2021秋•承德县期末）阅读下面的文字，解答问题．
现规定：分别用[x]和〈x〉表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是[3.14]＝3，小数部分是〈3.14〉＝0.14；实数的整数部分是，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即2就是的小数部分，所以〈〉2．
（1） ，〈〉＝ ； ，〈〉＝ ．
（2）如果〈〉＝a，，求a+b的立方根．
【思路点拨】
（1）估算无理数，的大小，确定他们的整数部分和小数部分即可；
（2）估算无理数，的大小，确定a、b的值，再代入求出a+b的值，最后求出其立方根．
【解题过程】
解：（1）∵12，
∴的整数部分为1，小数部分为1，
即[]＝1，{}1，
∵34，
∴的整数部分为3，小数部分为3，
即[]＝3，{}3，
故答案为：1，，3，；
（2）∵的整数部分是2，的整数部分是10，
∴，，
∴，
又∵8的立方根为2，
∴的立方根是2．
22．（8分）（2021秋•温州期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①；
②；
③；
④．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝（ ）2＝ ；
（2） ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【思路点拨】
（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）得出1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出结果即可；
（3）将原式化为（1）中的形式，利用简便方法求出结果即可．
【解题过程】
解：（1）∵1+2+3+4+5＝15，
∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，
故答案为：1+2+3+4+5，225；
（2）由（1）可得，
1+2+3+…（n﹣1）+n，
故答案为：；
（3）由（2）得，
113+123+133+…+193+203
＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）

＝44100﹣3025
＝41075．
23．（8分）（2020秋•皇姑区期末）阅读理解：
一般地，在数轴上点A，B表示的实数分别为a，b（a＜b），则A，B两点的距离AB＝xB﹣xA＝b﹣a．如图，在数轴上点A，B表示的实数分别为﹣3，4，则记xA＝﹣3，xB＝4，因为﹣3＜4，显然A，B两点的距离AB＝xB﹣xA＝4﹣（﹣3）＝7．若点C为线段AB的中点，则AC＝CB，所以xC﹣xA＝xB﹣xC，即xC．
解决问题：
（1）直接写出线段AB的中点C表示的实数xC＝ ；
（2）在点B右侧的数轴上有点P，且AP+BP＝9，求点P表示的实数xP；
（3）在（2）的条件下，点M是AP的中点，点N是BP的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，AP的中点M和BP的中点N也随之运动，3秒后，MN＝2，则点B的速度为每秒 个单位长度．
【思路点拨】
（1）根据阅读材料可得线段AB的中点C表示的实数；
（2）在点B右侧的数轴上有点P，且AP+BP＝9，列出方程即可求点P表示的实数xP；
（3）在（2）的条件下，根据点M是AP的中点，点N是BP的中点，若A，B两点同时沿数轴向正方向运动，A点的速度是B点速度的2倍，AP的中点M和BP的中点N也随之运动，3秒后，MN＝2，即可求出点B的速度．
【解题过程】
解：（1）根据阅读材料可知：
xC
故答案为；
（2）∵AP+BP＝9，
∴xP﹣（﹣3）+xP﹣4＝9
解得xP＝5
答：点P表示的实数xP＝5；
（3）如图，
∵点M是AP的中点，点N是BP的中点，
∴AP＝2AM＝2MP
BP＝2BN＝2PN
∴MN＝MP﹣NP
（AP﹣BP）
AB
∴AB＝2MN
A，B两点同时沿数轴向正方向运动，
A点的速度是B点速度的2倍，
AP的中点M和BP的中点N也随之运动，
3秒后，MN＝2，则AB＝4
设点B的速度为每秒x个单位长度，
则点A的速度为每秒2x个单位长度，
根据题意可知：
3秒后，点A表示的数为﹣3+6x，
点B表示的数为4+3x，
当点A在点B左侧时，
4+3x﹣（﹣3+6x）＝4，
解得x＝1；
当点A在点B右侧时，
﹣3+6x﹣（4+3x）＝4
解得x．
答：B点速度为每秒1或个单位长度．
24．（9分）（2021春•兴宁区校级期中）如图，在数轴上有两个长方形ABCD和EFGH，这两个长方形的宽都是3个单位长度，长方形ABCD的长AD是6个单位长度，长方形EFGH的长EH是10个单位长度，点E在数轴上表示的数是5．且E、D两点之间的距离为14．
（1）填空：点H在数轴上表示的数是 ，点A在数轴上表示的数是 ．
（2）若线段AD的中点为M，线段EH上一点N，ENEH，M以每秒4个单位的速度向右匀速运动，N以每秒3个单位的速度向左运动，设运动时间为x秒，原点为O．当OM＝2ON时，求x的值．
（3）若长方形ABCD以每秒2个单位的速度向右匀速运动，长方形EFGH固定不动，设长方形ABCD运动的时间为t（t＞0）秒，两个长方形重叠部分的面积为S，当S＝12时，求此时t的值．
【思路点拨】
（1）根据数轴上两点间距离，可求得点所对应的数；
（2）根据题意，可表达出点M和点N对应数，进而表达OM和ON的长，根据OM＝2ON，建立等式，求解即可；
（3）根据数轴上动点问题，图形动转化为点动，根据题意求解即可．
【解题过程】
解：（1）由题意可得，点H在数轴上表示的数为：5+10＝15；
点A在数轴上表示的数为：5﹣14﹣6＝﹣15．
故答案为：15；﹣15．
（2）∵点M是线段AD的中点，
∴点M表示的数为5﹣1412，
又∵ENEH，
∴点N在数轴上表示的数为：5（15﹣5），
由题意可得，x秒时，
点M在数轴上表示的数为：﹣12+4x，
点N在数轴上表示的数为：3x，
∴OM＝|4x﹣12|，ON＝|3x|，
∵OM＝2ON，
∴|4x﹣12|＝2|3x|
∴4x﹣12＝2（3x）或4x﹣12＝﹣2（3x），
解得x或x．
故答案为：或．．
（3）当CD与EF重合时，所用时间为7秒，
由题意得：AD与EH重合的部分为4，如图1所示，

设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t1秒，
∴t12，
∴第一次重叠面积为12时，时间t为2+7＝9（秒）；
当AD与EH重叠部分为4时，如图2所示，
设长方形ABCD从EF运动到AD与EH重叠部分为4时，所用的时间为t2秒，
∴t26，
∴第二次重叠面积S＝12时，时间t为6+7＝13（秒）；
∴当长方形ABCD与长方形EFGH重叠部分的面积为12时，t的值为9或13．题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分