2025年新高考数学一轮复习第6章第03讲等比数列及其前n项和(九大题型)(练习)练习(学生版+教师版)

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题型一：等比数列的基本运算
1．（2024·山东济南·三模）已知是等比数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·湖北·模拟预测）已知是各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2024·江西·二模）已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．120B．40C．48D．60
题型二：等比数列的判定与证明
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，．
令，证明：数列为等比数列；
5．已知数列满足，
判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
6．已知非零向量列满足：，，（，）.证明：数列是等比数列.
7．已知数列和满足：，，，，其中．
证明：数列是等比数列；
题型三：等比数列项的性质应用
8．已知数列是等比数列，且，则的值为 .
9．已知是正项等比数列，若则的最小值等于 .
10．已知数列是各项均为正数的等比数列，则的最小值为 ．
11．（2024·河南新乡·二模）已知等比数列的首项为，且，则 .
题型四：等比数列前n项和的性质
12．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 .
13．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为
14．已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则 ．
题型五：奇偶项求和问题的讨论
15．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
16．数列满足，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
17．（2024·高三·河南南阳·期中）已知数列满足，.
(1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前30项和．
18．（2024·高三·河北张家口·期末）已知数列满足，.
(1)若，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前2n项和．
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前100项和．
题型六：等差数列与等比数列的综合应用
20．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则
21．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
22．已知函数的两个零点分别为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则（ ）
A．1B．C．D．
题型七：等比数列的范围与最值问题
23．（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
24．（多选题）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．是数列中的最小值
25．（多选题）（2024·高三·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列B．
C．为的最大项D．无最大项
26．（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列B．
C．是数列中的最小项D．当时，的最小值为4045
题型八：等比数列的实际应用
27．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（ ）(参考数据：
A．7265元B．7165元C．7365元D．7285元
28．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．B．C．D．
29．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（ ）
A．14B．15C．16D．17
30．（2024·高三·四川·期中）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（ ）
A．B．C．D．
题型九：公共项与插项问题
31．（2024·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ．
32．（2024·广西·模拟预测）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和．
33．（2024·高三·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
34．（2024·浙江嘉兴·二模）已知是首项为2，公差为3的等差数列，数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.
35．（2024·吉林通化·一模）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．
1．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和．若，则“”是“数列存在最小项”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
2．（2024·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．1B．C．2D．
5．（2024·重庆·模拟预测）在半径为1的圆中作内接正方形，作正方形的内切圆，再作圆的内接正方形，依此方法一直继续下去．我们定义每作出一个正方形为一次操作，则至少经过（ ）次操作才能使所有正方形的面积之和超过．
A．9B．10C．11D．12
6．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江西南昌·三模）已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．15
8．（2024·北京·三模）为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，，如果，那么
B．存在，，满足，且
C．对任意，，如果，那么
D．存在，，满足，且
9．（多选题）（2024·黑龙江·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为等比数列
D．图②中第2023行的黑心圈的个数是
10．（多选题）（2024·江西南昌·三模）已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．（多选题）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，则最小
12．（2024·浙江金华·模拟预测）已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）.
13．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 .
14．（2024·河北·模拟预测）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第行所有数据的和 .
15．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
16．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，
径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
3．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 .
6．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
7．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
10．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc172471893" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc172471893 \h 2
\l "_Tc172471894" 题型一：等比数列的基本运算 PAGEREF _Tc172471894 \h 2
\l "_Tc172471895" 题型二：等比数列的判定与证明 PAGEREF _Tc172471895 \h 2
\l "_Tc172471896" 题型三：等比数列项的性质应用 PAGEREF _Tc172471896 \h 3
\l "_Tc172471897" 题型四：等比数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc172471897 \h 3
\l "_Tc172471898" 题型五：奇偶项求和问题的讨论 PAGEREF _Tc172471898 \h 3
\l "_Tc172471899" 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 PAGEREF _Tc172471899 \h 4
\l "_Tc172471900" 题型七：等比数列的范围与最值问题 PAGEREF _Tc172471900 \h 5
\l "_Tc172471901" 题型八：等比数列的实际应用 PAGEREF _Tc172471901 \h 6
\l "_Tc172471902" 题型九：公共项与插项问题 PAGEREF _Tc172471902 \h 6
\l "_Tc172471903" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc172471903 \h 8
\l "_Tc172471904" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc172471904 \h 11