第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

这是一份第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（练习）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考），文件包含第03讲等比数列及其前n项和九大题型练习原卷版docx、第03讲等比数列及其前n项和九大题型练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
题型一：等比数列的基本运算
1．（2024·山东济南·三模）已知是等比数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，
得到，所以，由，得到，
所以，
故选：C.
2．（2024·湖北·模拟预测）已知是各项均为正数的等比数列，，，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】由题设易知，公比，设，
从而由得，，
由得，，
则，
故选：D．
3．（2024·江西·二模）已知等比数列的前项和为，，且，则（ ）
A．120B．40C．48D．60
【答案】B
【解析】因为数列为等比数列，设数列的公比为，
若，则，
此时，由已知，即，
解得，不成立，所以；
因为，，
则有：，解得，，
所以.
故选：B
题型二：等比数列的判定与证明
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列满足，．
令，证明：数列为等比数列；
【解析】，则，
，
故是以首项为3，公比为3的等比数列．
5．已知数列满足，
判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
【解析】数列成等比数列.
根据
得；
，，，
即数列成等比数列.
6．已知非零向量列满足：，，（，）.证明：数列是等比数列.
【解析】证明：因为，（，），
所以，（，），
故
，
故，
故是以为首项，为公比的等比数列.
7．已知数列和满足：，，，，其中．
证明：数列是等比数列；
【解析】由数列满足，，
可得，显然，即
又由，，可得，
所以数列是以首项，公比等于的等比数列.
题型三：等比数列项的性质应用
8．已知数列是等比数列，且，则的值为 .
【答案】9
【解析】由等比数列的性质知：，，，
所以，又，
所以.
故答案为：9
9．已知是正项等比数列，若则的最小值等于 .
【答案】/
【解析】由可得，所以，
当且仅当时，即时，取等号，故的最小值为，
故答案为：
10．已知数列是各项均为正数的等比数列，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由题意知数列是各项均为正数的等比数列，设公比为q，
则（当且仅当时等号成立），
，又（当且仅当时等号成立），
故的最小值为．
故答案为：
11．（2024·河南新乡·二模）已知等比数列的首项为，且，则 .
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，因为，根据等比数列的通项公式的计算得到：，所以.由等比数列的性质得到：.
故答案为128.
题型四：等比数列前n项和的性质
12．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 .
【答案】5
【解析】由题意得，，
因为，，，，成等比数列，
故，即，解得，
则，所以，，故.
故答案为：
13．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项数为
【答案】10
【解析】设等比数列项数为项，公比为，由题意可求出，结合等比数列的性质和前项和公式可知，进而可求出项数.设等比数列项数为项，公比为，则，，
由，
解得，因为是公比为的等比数列，则 ，
即，解得，
故答案为:10.
14．已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则 ．
【答案】
【解析】因为数列的前项和，
所以， ；
又，因为数列为等比数列，则也满足，
即，解得.
故答案为
题型五：奇偶项求和问题的讨论
15．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，，
记的前n项和为，则.
故选：A
16．数列满足，，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为且为奇数时，
所以所有奇数项构成为首项，为公差的等差数列，
又因为且为偶数时，，
即所有偶数项构成为首项，为公比的等比数列，
所以
.
故选：D.
17．（2024·高三·河南南阳·期中）已知数列满足，.
(1)记，证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前30项和．
【解析】（1）由题意得，
即，且，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列，
故；
（2）
．
18．（2024·高三·河北张家口·期末）已知数列满足，.
(1)若，证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前2n项和．
【解析】（1）由题意，得，，
故，
所以，即，
又，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．
（2）由上知，故，
所以．
设，
故
．
19．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足且．
(1)求数列的通项公式．
(2)求数列的前100项和．
【解析】（1）由题意，得当时，，①
．②
将①代入②，得，所以是首项为1，公比为2的等比数列，
所以．
又因为，
所以，所以．
令，则，而，，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以．
所以．
（2）
．
题型六：等差数列与等比数列的综合应用
20．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列的公差，首项 ，是与的等比中项，记 为数列的前项和，则
【答案】105
【解析】等差数列中， ，是与的等比中项，设公差为，
所以，即，
解得或（不合题意，舍去）；
所以．
故答案为：．
21．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为 .
【答案】5
【解析】设等差数列的公差为，
因为，可知，
且，则，即，
所以；
又因为是等比数列，且，则，
显然，可得，
则，所以最小值为5.
故答案为：5.
22．已知函数的两个零点分别为，，若，，三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，
由韦达定理可知，，，故，
所以调整顺序后，，或，，成等差数列，，，成等比数列，
所以且，，，
，，故，
故选：D．
题型七：等比数列的范围与最值问题
23．（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值D．数列无最大值
【答案】AB
【解析】由可得，
由可知，，
当时，则，不成立，
故，且，故，A正确；
，故B正确；
是数列中的最大值，C，D错误.
故选：AB
24．（多选题）设公比为的等比数列的前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．是数列中的最大值D．是数列中的最小值
【答案】AB
【解析】当时，则，不合乎题意；
当时，对任意的，，且有，
可得，可得，此时，
与题干不符，不合乎题意；故，故A正确；
对任意的，，且有，可得，
此时，数列为单调递减数列，则，
结合可得，
结合数列的单调性可得，，
故，，
∴，故B正确；
因为，数列为单调递减数列，
所以是数列中的最大值，故CD错误.
故选：AB.
25．（多选题）（2024·高三·江西·期中）在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（ ）
A．为单调递增数列B．
C．为的最大项D．无最大项
【答案】BC
【解析】由，因此.
又因为则.
当时，，则，，则，与题意矛盾.
因此.则为单调递减数列，故选项A错误.
而，故，选项B正确.
又因为为单调递减数列，则，
由可知，，，
所以当时，，则.
当时，，则.
因此的最大项为，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
26．（多选题）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，则下列选项正确的是（ ）
A．为递减数列B．
C．是数列中的最小项D．当时，的最小值为4045
【答案】BC
【解析】因为，
所以，则各项为正数，
所以，即为递增数列，A错误；
由A项及可得，
则，故B正确；
由上可知，故，
即C正确；
由，显然的最小值不为4045，
即D错误.
故选：BC.
题型八：等比数列的实际应用
27．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为年还清，约定采用等额本息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（ ）(参考数据：
A．7265元B．7165元C．7365元D．7285元
【答案】B
【解析】设每月需还款万元，
第一期还款后，还欠银行万元，
第二期还款后，还欠银行万元，
设第期还款后，还欠银行万元，则，且，
所以是公比为1.005的等比数列，所以.
令，解得，即每月大约需还款7165元.
故选：B.
28．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为，公比为，
故对折6次后，得到腰长为的等腰直角三角形，
所以斜边长为.
故选：A．
29．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是万，则（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解析】根据题意可知，列不等式，
即，
又，可得.
故选：B
30．（2024·高三·四川·期中）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意数列是等比数列，公比是2，且，∴，
故选：C．
题型九：公共项与插项问题
31．（2024·吉林长春·模拟预测）设为数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列与的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列数列的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由，可得，
解得，
当时，，
即，
可得数列是首项和公比均为3的等比数列，
所以，
设是的第m项，则，
因为，
所以不是中的项，
因为，
所以是中的项，
所以
所以.
故答案为：.
32．（2024·广西·模拟预测）记数列的前n项和为，对任意正整数n，有．
(1)求数列的通项公式；
(2)对所有正整数m，若，则在和两项中插入，由此得到一个新数列，求的前91项和．
【解析】（1）当时，．
又时，得，也满足上式，
故．
（2）由，所以，
又，所以前91项中有87项来自，
所以
．
33．（2024·高三·天津·期末）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．
【解析】（1）由已知，得，解得，
；
（2）记，
所以，
，
作差得：
，
；
（3）由（1）得，
则，
所以
.
34．（2024·浙江嘉兴·二模）已知是首项为2，公差为3的等差数列，数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.
【解析】（1）由题意可得：，
而，变形可得：，
故是首项为3，公比为3的等比数列.
从而，即.
（2）由题意可得：，，令，
则，此时满足条件，
即时为公共项，
所以
.
35．（2024·吉林通化·一模）记为公比不为1的等比数列的前项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，若由与的公共项从小到大组成数列，求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，即，所以，
又，即，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
则数列为、、、、，偶数组成的数列，
又，令，则为正偶数，
所以，，，，，
所以为以为首项，为公比的等比数列，
所以.
1．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和．若，则“”是“数列存在最小项”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】当时，，因为，所以此时数列递增，存在是最小项，
当且，，
当，时，可知数列递增，存在是最小项，
当，时，可知数列还是递增，存在是最小项，
综上“”是“数列存在最小项”的充分条件；
当，，不妨取：，，
则
，,
当时，，即此时是最小项，
即“”不是“数列存在最小项”的必要条件，
综上可知：“”是“数列存在最小项”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2024·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
由于，则，所以，
所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以，
所以，
所以
，
故选：D
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，时，，
两式相减得，，即，，
因为，即，
所以数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
则．
故选：B．
4．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】依题意，（），，
当时，
，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A.
5．（2024·重庆·模拟预测）在半径为1的圆中作内接正方形，作正方形的内切圆，再作圆的内接正方形，依此方法一直继续下去．我们定义每作出一个正方形为一次操作，则至少经过（ ）次操作才能使所有正方形的面积之和超过．
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】第一个正方形的边长为，面积为，
第二个正方形的边长为，面积为，
第三个正方形的边长为，面积为，
……
以此类推，正方形的面积是首项为，公比为的等比数列，
由，，所以，
所以至少经过次操作才能使所有正方形的面积之和超过．
故选：C
6．（2024·河南·模拟预测）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，又，令，可得，解得，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，故．
故选：C．
7．（2024·江西南昌·三模）已知数列的前项和为，且满足，，则的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．15
【答案】B
【解析】因为，且，则，
化简可得，
若，则，且，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以，则，排除D；
若，则，即，且，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
所以，则，排除A；
再由计算，
，即，解得或，取，
，即，解得或，取，
，即，解得或，取，
，即，解得或，
取，此时，排除C；
故选：B
8．（2024·北京·三模）为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意，，如果，那么
B．存在，，满足，且
C．对任意，，如果，那么
D．存在，，满足，且
【答案】C
【解析】对于A：是首项为，公差为，则满足，
但不满足，故A错误；
对于B：若，则可得或或或，
不妨取，由等差数列的前项和公式可得，
所以，故B错误；
对于C：若，则或或或，
显然公比，由等比数列前项和公式可得，
故，所以必为偶数，可得，所以，故C正确；
对于D：，则等比数列的公比为，则，故，故D错误.
故选：C.
9．（多选题）（2024·黑龙江·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列为等比数列
D．图②中第2023行的黑心圈的个数是
【答案】ACD
【解析】由题可得，，故A正确，B错误；
，，，且有，，
故有
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
为常数列，且，
所以是以为首项，1为公比的等比数列，故C正确；
由上可得故
所以，故D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·江西南昌·三模）已知是单调递减的等比数列，若，前3项和，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由题意，设等比数列公比为，
则，解得或，
由因为数列为单调递减的等比数列，
所以，
所以，
.
故选：AD.
11．（多选题）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，则最小
【答案】CD
【解析】对于A，由，得，数列为等比数列，
则，解得，经验证符合题意，A正确；
对于B，等比数列中，由，得，则，B正确；
对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误；
对于D，设等差数列的公差为，由，得，
整理得，当时，没有最小值，D错误.
故选： CD
12．（2024·浙江金华·模拟预测）已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）.
【答案】
【解析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，
则，.
又，，所以，，
则，所以，
所以是首项和公差均为的等差数列，
所以，
所以，所以，
即1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成个细菌.
故答案为：.
13．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 .
【答案】
【解析】因为，
所以，，且，
所以，
记，则，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则，
记的前项和为，
则
.
故答案为：
14．（2024·河北·模拟预测）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比数列，每行的第个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第行所有数据的和 .
【答案】
【解析】因为每行的第n个数从上到下形成以为首项，以3为公比的等比数列，
所以,
所以
.
故答案为：.
15．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列的前n项和为，且，，设．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1），即，
即，则，即，
即，又，
故数列是以为首项、以为公比的等比数列.
（2）由（1）易得，即，则，
则，
有，
则
，
故.
16．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列满足.
(1)证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，若对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题可知：，又，
故是首项为2，公比为2的等比数列，，即.
（2），
，且当趋于时，趋近于1，
所以由恒成立，可知，解得.
17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列的前n项积为，数列满足，（，）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列，中的公共项从小到大排列构成新数列，求数列的通项公式．
【解析】（1），，
当时，，
当时，，即，
而，满足上式，
所以数列的通项公式为；
若数列满足，（，），
则，
从而数列的通项公式为；
（2）令，解得，这表明，
从而只能，
所以，
所以数列的通项公式为.
18．（2024·河北衡水·三模）已知数列满足：．
(1)请写出的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）因为，可得，，，
因此猜想是以1为首项，为公比的等比数列；
下面证明：
因为，即，
又因为，故是以1为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，当时，，
累加得，
所以，
当时，满足题意，所以对成立；
故，可得
其中，
设，则，
两式相减得，即，
综上可得，数列的前项和．
19．（2024·山西太原·三模）已知等比数列的前项和为，且也是等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公比为，
由是等比数列得，
或(舍去)，
.
（2）由（1）得，所以，
，
，
两式相减得，
.
1．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数，其中，记．则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项，，，
所以，，A选项正确；
对于B选项，取，，，
而，则，即，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，
，
所以，，因此，，C选项正确；
对于D选项，，故，D选项正确.
故选：ACD.
2．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 57.5/
【解析】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.
故答案为：.
3．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【解析】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【解析】设的公比为，则，显然，
则，即，则，因为，则，
则，则，则，
故答案为：.
6．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：
①的第2项小于3； ②为等比数列；
③为递减数列； ④中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，，，
当时，，可得；
当时，由可得，两式作差可得，
所以，，则，整理可得，
因为，解得，①对；
假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，
所以，，可得，解得，不合乎题意，
故数列不是等比数列，②错；
当时，，可得，所以，数列为递减数列，③对；
假设对任意的，，则，
所以，，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
7．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【解析】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和．证明：．
【解析】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设， ⑧
则． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得，
，①
，②
①②得 ，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通过等式左右两边系数比对易得，所以．
则，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设，
由于，
则．
又，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
10．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【解析】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【解析】（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
目录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc172471893" 01 模拟基础练 PAGEREF _Tc172471893 \h 2
\l "_Tc172471894" 题型一：等比数列的基本运算 PAGEREF _Tc172471894 \h 2
\l "_Tc172471895" 题型二：等比数列的判定与证明 PAGEREF _Tc172471895 \h 3
\l "_Tc172471896" 题型三：等比数列项的性质应用 PAGEREF _Tc172471896 \h 4
\l "_Tc172471897" 题型四：等比数列前n项和的性质 PAGEREF _Tc172471897 \h 5
\l "_Tc172471898" 题型五：奇偶项求和问题的讨论 PAGEREF _Tc172471898 \h 6
\l "_Tc172471899" 题型六：等差数列与等比数列的综合应用 PAGEREF _Tc172471899 \h 9
\l "_Tc172471900" 题型七：等比数列的范围与最值问题 PAGEREF _Tc172471900 \h 10
\l "_Tc172471901" 题型八：等比数列的实际应用 PAGEREF _Tc172471901 \h 13
\l "_Tc172471902" 题型九：公共项与插项问题 PAGEREF _Tc172471902 \h 14
\l "_Tc172471903" 02 重难创新练 PAGEREF _Tc172471903 \h 18
\l "_Tc172471904" 03 真题实战练 PAGEREF _Tc172471904 \h 29