初中北师大版（2024）3 一元一次方程的应用第3课时教学设计

这是一份初中北师大版（2024）3 一元一次方程的应用第3课时教学设计，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
3 一元一次方程的应用
第3课时
一、教学目标
1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题.
2.发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力.培养良好的分析能力与严谨认真的学习态度.
3.充分利用行程问题中的速度、路程、时间的关系列方程解决问题.
4.经历分析行程问题中数量关系的过程，体会方程模型的作用，发展思维能力.
二、教学重难点
重点：会画“线段图”分析复杂问题中的相等关系，建立方程模型.
难点：借助“线段图”找出行程问题中的相等关系，进行文字语言、图形语言、符号语言的相互转化.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
教学过程设计
环节一 知识回顾
【复习回顾】
教师活动：想一想，走过的路程和行进速度及所花时间的关系是：
路程= ？ 速度=？ 时间=？
预设答案：路程=速度×时间 s=vt
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
教师活动：计算并回答.
(1)我坐车以30公里/小时的速度从家出发去奶奶家需要4小时，那么我家到学校有_____公里.
(2)如果我想用3小时的时间从家出发到奶奶家，那么我需要的速度为____公里/小时.
(3)如果我以60公里每小时的速度从家出发到奶奶家，那么需要用______小时.
预设答案：(1)120，路程=速度×时间;(2)40,速度=路程÷时间;(3)2,时间=路程÷速度.
【思考】悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少才算准.
教师活动：请你帮孙悟空算算：当时的风速每分钟是多少里？
设计意图：明确路程、速度、时间三个量之间的关系，为新知做好准备.从学生熟悉的孙悟空出发，激发学生的好奇心，进而轻松引入本节所要探讨的主要问题，便于激发每位同学的学习动力.
环节二 典例探究
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【引例】小明每天早上要到距家1000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长时间？追上小明时，距离学校还有多远？
(1)问题中有哪些已知量和未知量?
预设答案：已知量：小明家到学校的距离，小明、爸爸的路程，时间差.
未知量：爸爸追上小明的时间，此时距离学校的距离.
(2)想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗?
假设爸爸追上小明用了x分钟.画线段图如下：
画图分析数量关系是一种有效方法.
(3)你是怎样列出方程的?与同伴进行交流?
解：设爸爸追上小明用了x min.
根据题意，得 180x=80x＋80×5.
化简，得 100x=400.
x=4.
180×4=720（m）,1000-720=280(m)
因此，爸爸追上小明用了4 min．追上小明时，距离学校还有280 m.
设计意图：分析出发时间不同的追及问题，能画出线段图，进行图形语言、符号语言与文字语言之间的相互转化，理解题中的等量关系，培养学生思维的灵活性，进一步列出方程，解决问题.使学生既能娴熟使用“线段图”，又能利用方程的思想解决实际问题.
【议一议】
育红学校七年级学生步行到郊外旅行：七(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h，七(2)班的学生组成后队，速度为6 km/h.前队出发1 h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12 km/h.
根据上面的事实提出问题并尝试去解答.
预设答案：
问题1：后队追上前队用了多长时间 ？
问题2：后队追上前队时联络员行了多少路程？
问题3：联络员第一次追上前队时用了多长时间？
解答：
问题1：【分析】相等关系：前队行的路程＝后队行的路程．
解：设后队追上前队用了x小时，
由题意列方程得：6x=4x+4×1
解方程得：x=2 .
答：后队追上前队时用了2小时.
问题2：【分析】相等关系：联络员行的时间＝后队行的时间．
解：由问题1得后队追上前队用了2小时，因此联络员共进行了：
12×2=24(km)
答：后队追上前队时联络员行了24千米.
问题3：【分析】相等关系：联络员行的路程＝前队行的路程．
解：设联络员第一次追上前队时用了x小时，
由题意：12x=4x+4.
解得 x=0.5.
答：联络员第一次追上前队时用了0.5小时.
设计意图：将复杂的行程问题剖析出其中的追及问题和相遇问题，从而使复杂的综合问题转化成简单问题
例1 甲、乙两人相距280米，相向而行，甲从A地出发每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米，那么甲出发几秒后与乙相遇?
【分析】等量关系：甲行的时间=乙行的时间，甲的行程+乙的行程=A、B两地间的距离.
解：设甲出发t秒与乙相遇,
根据题意得 8t+6t=280.
解得 t=20.
所以，甲出发20秒后与乙相遇.
设计意图：分析相遇问题，能正确地画出线段图，正确得出其中的等量关系，正确列出方程，解决问题，最终能规范写出解题过程.
例2 小明和小华两人在 400 m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑 300 m，两人起跑时站在跑道同一位置.
(1)如果小明起跑后1min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明?
(2)如果小明起跑后1 min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇?
分析：（1）设小华用xmin时间能追上小明.
等量关系：小华路程-小明路程=小明1min跑的路程.
（2）设小华起跑后ymin时间两人首次相遇.
等量关系：小华路程+小明路程=400-小明1min跑的路程.
解：（1）设小华用xmin时间能追上小明.
根据题意，可列方程：300x-260x=260×1，
解得：x=6.5
答：小华用6.5min时间能追上小明.
（2）设小华起跑后ymin时间两人首次相遇.
根据题意，可列方程：
300y+260y=400-260×1
解得：y=0.25
答：小华起跑后0.25min时间两人首次相遇.
设计意图：分析环形跑道的相遇问题，让学生区别“同时同地同向而行”和“同时同地相背而行”的不同，理清其中的关系，进行图形语言、符号语言与文字语言之间的相互转化，理解题中的等量关系，培养学生思维的灵活性，进一步列出方程解决问题.
环节三 总结归纳
【方法归纳】
通过上述例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨：
对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系．
追及问题：
(1)对于同向同时不同地的问题，S甲－S乙＝两出发地的距离；
(2)对于同向同地不同时的问题，
S甲＝S乙先＋S乙后．
注意：同向而行注意始发时间和地点．
相遇问题：
往往根据路程之和等于总路程列方程．
S甲＋S乙＝两地距离．
环形跑道问题：设v甲＞v乙，环形跑道长s米，经过t秒甲、乙第一次相遇.
一般有如下两种情形：
①同时同地、同向而行：v甲t－v乙t=s.
②同时同地、背向而行：v甲t＋v乙t=s.
设计意图：同伴间进行交流，教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解题方法进行总结，和学生一起归纳出借助“线段图”分析行程问题中数量关系的方法.让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.
环节四 巩固练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.A，B两站间的距离为335 km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55 km，慢车行驶1小时后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85 km.设快车行驶了x小时后与慢车相遇，则可列方程为( )
A.55x+85x=335 B.55( x-1)+85x=335
C.55x+85( x-1)=335 D.55( x+1 )+85x=335
【分析】等量关系：慢车路程+快车路程=335.
答案：D
2.在800米的环形跑道上有两人在练习中长跑，甲每分钟跑320米，乙每分钟跑280米，若两人同时同地同向起跑，t分钟后第一次相遇，则t的值为 .
3.一艘轮船在同一河道中航行，顺流而下每小时航行23 km，逆流而上每小时航行15 km，则轮船在平静的河面航行的速度是______km/h，河水的流速是_______km/h.
答案：2. 20; 3. 19，4
4.甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米.设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车?
【分析】等量关系：快车所用时间=慢车所用时间；快车行驶路程=慢车行驶路程+相距路程.
解：设快车x小时后追上慢车.
根据题意得85x=450+65x.
解得 x=22.5.
答：快车22.5小时后追上慢车.
5. A，B两地相距80千米，甲、乙两人分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是9千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人相距5千米？
情况一
【分析】等量关系：甲路程+乙路程+5=80.
解：设经过x小时后两人相距5千米.
根据题意得 9x+5+6x=80.
解得 x=5.
答：经过5小时后两人相距5千米.
情况二
【分析】等量关系：甲路程-5+乙路程=80.
解：设经过x小时后两人相距5千米.
根据题意得 9x-5+6x=80.
解得 x= .
答：经过小时后两人相距5千米.
设计意图：学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对运用一元一次方程解决行程问题的掌握情况，考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
通过这节课，你学到了哪些内容？
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.