数学七年级上册（2024）3 一元一次方程的应用第2课时教学设计及反思

这是一份数学七年级上册（2024）3 一元一次方程的应用第2课时教学设计及反思，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具等内容，欢迎下载使用。
3 一元一次方程的应用
第2课时
一、教学目标
1.借助表格分析古数学盈亏问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力.
2.对同一问题设不同未知数列出不同的方程，体会算法多样化，体会一题多解及解的合理性.
3.归纳利用方程解决实际问题的一般步骤，进一步体会模型思想.
4.通过对古数学中的盈亏问题的探讨，进一步体会方程模型的作用，同时从情感上认识希望工程，懂得珍惜今天的良好的学习生活环境.
二、教学重难点
重点：借助表格准确分析复杂问题中的数量关系，间接设未知数.
难点：正确找出等量关系，解决实际问题，探究多种解题方法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
教学过程设计
环节一 创设情境
《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部.
《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”
你知道我国古人是如何解决这个问题的吗？
设计意图：让学生身临其境，深刻感受到古数学的兴趣，也为学生学习新知创设了问题情境，让学生的学习由被动变为主动.陶冶学生的数学情感，对学生进行爱国主义教育.
环节二 探究新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【思考】
“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”
题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱.问合伙的人数和物品的价格分别是多少？
(1)问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？
预设答案：
已知量：每人出 8 钱，多出 3 钱，每人出 7 钱，少 4 钱.
未知量：合伙的人数、物品的价格.
第一种出钱总数-3=第二种出钱总数+4.
(2)设人数为 x，其他未知量能用含 x的代数式表示吗？请完成下表.
预设答案：
(3)根据等量关系，你能列出怎样的方程？
设人数为 x.
根据等量关系，列出方程：8x - 3 = 7x + 4 .
解这个方程，得 x =7 .
因此，人数为7，物价为53 .
小结：利用表格分析数量关系是一种有效方法.
追问：如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流.
预设答案：
列方程得：y+38=y−47
解得 y = 53.
追问：你比较喜欢用哪种方式列方程呢？
归纳：
“盈不足”问题解题关键是确定等量关系，方法有两种.
根据人数不变找等量关系；
根据物价不变找等量关系.
设计意图：通过对比，体会到了在这个较为复杂的实际问题中，为了理清楚各个量之间的关系，我们可以借助“列表格”的方法来帮助我们解决一些较复杂的问题.
环节三 应用新知
例 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百.问人数、金价各几何？
题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；
每人出 300 钱，会多出 100 钱.合伙人数、金价各是多少？
分析：设人数为x，你能把下表补充完整吗？
解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，
还可表示为 （300x - 100）钱，
根据等量关系，列出方程：400x - 3400 = 300x - 100
解这个方程，得 x = 33.
300×33 - 100 = 9800.
因此，人数为 33，金价为 9800 钱.
归纳：
列一元一次方程求解古数学盈亏问题的基本思路：
【思考交流】
(1)对于例题，如果设金价为 y，能列出怎样的方程？
分析：
可列方程得：y+3400400=y+100300.
(2)《九章算术》给出了一种算法：人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差；物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数，或物价 = 每人出的较少钱数×人数 + 不足的钱数.你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流.
预设答案：解方程→顺向思考，算式方法→逆向思考.
设计意图：引导学生再次借助“列表格”来完成，进一步感受列表格的好处，加强学生在用一元一次方程解决实际问题的过程中，明确必须检验方程的解是否符合实际.
环节四 巩固练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.问绳长、井深各几何? ”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺.问绳长和井深各多少尺？
假设井深为 x 尺，则符合题意的方程应为 ( )
A.13x - 4 = 14x - 1 B.3x + 4 = 4x + 1
C. 13x + 4 = 14x + 1 D.3(x + 4) = 4(x+ 1)
答案：D.
2.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗:
“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨.每人四梨多十二，每人六梨恰齐足.”
其大意是：孩童们在庭院玩耍,不知有多少人和梨子.每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨,恰好分完.设梨有x个，则可列方程为_______.
答案：x−124=x6.
3.隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.问:人、银各几何?(选自《算法统宗》)
题目大意:几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两:若每人分9两，则差8两.有多少个人?有多少两银子?
解：设人数为x.
根据题意，可列方程得：7x + 4=9x - 8
解得：x=6
7×6 +4 = 46(两).
因此，有6个人，有46两银子.
4.鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一,最早记载于《孙子算经》中,距今约1500年,原文如下:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?翻译成现代汉语就是:有若干只鸡和兔子在同一个笼子里,从上面数共有35个头,从下面数共有94只脚,鸡和兔子各有多少只?
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
根据题意,得2x+4(35-x)=94，
解这个方程，得x=23.
35-23=12.
因此，鸡有23只，兔有12只.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，让学生加强练习，给学生提供进一步巩固对建立方程模型的基本过程和方法的熟悉机会.并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
通过这节课，你学到了哪些内容？
列一元一次方程求解古数学盈亏问题的基本思路
设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.