2025高考数学一轮复习-5.5-复数-专项训练模拟练习【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.5-复数-专项训练模拟练习【含解析】，共7页。
一、单选题
1．在复平面内，复数i(3－2i)对应的点的坐标为( )
A．(3,2) B．(2,3)
C．(－2,3) D．(2，－3)
2．已知eq \x\t(z)＝2 023＋i2 023，则z的虚部是( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
3．z(1＋i)＝1－2i，则复数z在复平面内对应点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若复数z满足(1＋2i)z＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))，则z的共轭复数是( )
A．－eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i B．－eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i
C.eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i D．eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i
5．若复数z＝3－4i，则eq \f(\x\t(z),|z|)＝( )
A.eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i B．eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i
C．－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i D．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)i
6．若z＝－1＋eq \r(3)i，则eq \f(z,z\x\t(z)－1)＝( )
A．－1＋eq \r(3)i B．－1－eq \r(3)i
C．－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i D．－eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),3)i
7．已知i为虚数单位，复数z满足|z－i|＝|eq \x\t(z)＋3i|，则z的虚部为( )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
8．设复数z满足|z－1＋i|＝1，z在复平面内对应的点为P(x，y)，则点P的轨迹方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋1)2＝1
二、多选题
9．如果复数z＝eq \f(2,－1＋i)，则下面正确的是( )
A．z的共轭复数为－1＋i
B．z的虚部为－1
C．|z|＝2
D．z的实部为－1
10．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A．i＋i2＋i3＋i4＝0
B．复数z＝3－i的模为10
C．若z＝(1＋2i)2，则复平面内eq \x\t(z)对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足|z－1|＝|z＋1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
11．已知复数z，w均不为0，则( )
A．z2＝|z|2 B．eq \f(z,\x\t(z))＝eq \f(z2,|z|2)
C.eq \x\t(z－w)＝eq \x\t(z)－eq \x\t(w) D．eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(z,w)))＝eq \f(|z|,|w|)
三、填空题
12．已知复数z＝2＋i(其中i为虚数单位)，则eq \x\t(z)＝ .
13．设O是坐标原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是 .
14．已知复数z＝eq \f(2＋i,1－i)，则复数z的虚部为 .
15．已知复数z＝eq \f(1＋ai,i)(a∈R)的实部为eq \r(3)，则a＝ ，|z|＝ .
16．若复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)满足|z－2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝ .
17．已知(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，则a＋b＝ ；若复数z＝a＋bi，则z在复平面内对应的点位于第 象限．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．设2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，则z＝( )
A．1－2i B．1＋2i
C．1＋i D．1－i
2．若复数z1，z2满足z1＝eq \f(1,\r(2)－i)－eq \f(1,\r(2)＋i)，z1(z2－2)＝1，则|z2|＝( )
A.eq \f(5,2) B．3
C．eq \f(7,2) D．4
3．(多选题)2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程x3＝1，它的两个虚数根分别为( )
A.eq \f(1＋\r(3)i,2) B．eq \f(1－\r(3)i,2)
C.eq \f(－1＋\r(3)i,2) D．eq \f(－1－\r(3)i,2)
4．若复数z＝eq \f(1＋i,a－i)(a∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则|z|的值为( )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
5．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则eq \f(z1,z2)＝( )
A.eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i B．－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i
C．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i D．eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i
6．若复数eq \f(1－bi,2＋i)(b∈R，i为虚数单位)的实部与虚部相等，则b的值为( )
A．－6 B．－3
C．3 D．6
7．已知复数z满足：|z|＝|3－2z|，且z的实部为2，则|z－1|＝( )
A．3 B．eq \r(2)
C．3eq \r(2) D．2eq \r(3)
8．复数z满足|z－(5＋5i)|＝2，则z在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．若复数z满足|z－eq \r(3)－i|＝1(i为虚数单位)，则|z|的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．eq \r(3)＋1
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单选题
1．( B )[解析] i(3－2i)＝3i＋2＝2＋3i，故选B.
2．( A )[解析] eq \x\t(z)＝2 023＋i2 023＝2 023－i，则z＝2 023＋i，所以z的虚部是1.故选A.
3．( C )[解析] 根据复数的四则运算化简复数z，即可得出答案．z＝eq \f(1－2i,1＋i)＝eq \f(1－2i1－i,2)＝eq \f(－1－3i,2)＝－eq \f(1,2)－eq \f(3,2)i，则复数z在复平面内对应的点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(3,2)))，位于第三象限．故选C.
4．( C )[解析] 利用复数的运算法则和复数模的公式及共轭复数的概念即可求解．因为(1＋2i)z＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝1，所以z＝eq \f(1,1＋2i)＝eq \f(1－2i,5)＝eq \f(1,5)－eq \f(2,5)i，所以eq \x\t(z)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i，故选C.
5．( A )[解析] 根据给定条件，求出复数z的共轭复数及模，即可计算作答．复数z＝3－4i，则eq \x\t(z)＝3＋4i，|z|＝eq \r(32＋－42)＝5，所以eq \f(\x\t(z),|z|)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i.故选A.
6．( C )[解析] eq \f(z,z\x\t(z)－1)＝eq \f(－1＋\r(3)i,－1＋\r(3)i－1－\r(3)i－1)＝eq \f(－1＋\r(3)i,3)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i，故选C.
7．( A )[解析] 令z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，利用|z－i|＝|eq \x\t(z)＋3i|可得答案．令z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，|z－i|＝|a＋bi－i|＝eq \r(a2＋b－12)，|eq \x\t(z)＋3i|＝|a＋(3－b)i|＝eq \r(a2＋3－b2)，∴|z－i|＝|eq \x\t(z)＋3i|，eq \r(a2＋b－12)＝eq \r(a2＋3－b2)，∴b＝2，故选A.
8．( D )[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z－1＋i|＝1得|(x－1)＋(y＋1)i|＝1，即eq \r(x－12＋y＋12)＝1，则(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
二、多选题
9．( ABD )[解析] 因为z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq \f(－2－2i,2)＝－1－i，所以z的实部为－1，虚部为－1，共轭复数为－1＋i，故选ABD.
10．( AD )[解析] 直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断A、B、C、D的结论．i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0，故A正确；复数z＝3－i的模为eq \r(10)，故B错误；若z＝(1＋2i)2＝1＋4i－4＝－3＋4i，所以eq \x\t(z)＝－3－4i，则复平面内eq \x\t(z)对应的点位于第三象限，故C错误；复数z满足|z－1|＝|z＋1|，表示z到A(1,0)和B(－1,0)两点的距离相等，即z的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．故选AD.
11．( BCD )[解析] 由于z·eq \x\t(z)＝|z|2，所以A错误；eq \f(z,\x\t(z))＝eq \f(z·z,\x\t(z)·z)＝eq \f(z2,|z|2)，故B正确；由共轭复数和模的性质，C、D也正确．故选BCD.
三、填空题
12．[解析] 若复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝2－i.
13．[解析] ∵向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,2)，∴eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
14．[解析] 由题意得，复数z＝eq \f(2＋i,1－i)＝eq \f(2＋i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)i，所以复数z的虚部为eq \f(3,2).
15．[解析] ∵z＝eq \f(1＋ai,i)＝eq \f(1＋ai－i,－i2)＝a－i的实部为eq \r(3)，∴a＝eq \r(3)，则|z|＝eq \r(\r(3)2＋－12)＝2.
16．[解析] z＝a＋bi，故z－2i＝a＋(b－2)i.由|z－2i|＝|z|知，eq \r(a2＋b－22)＝eq \r(a2＋b2)，化简得b＝1，故只要b＝1，即z＝a＋i(a可为任意实数)均满足题意，可取z＝1＋i.
17．[解析] 由(a－i)(1－2i)＝－3＋bi，得a－2－(1＋2a)i＝－3＋bi，由复数相等的充要条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＝－3，,－1＋2a＝b，))解得a＝－1，b＝1，所以a＋b＝0，所以z＝－1＋i，复数z在复平面内对应的点为(－1,1)，位于第二象限．
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1．( C )[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi，代入2(z＋eq \x\t(z))＋3(z－eq \x\t(z))＝4＋6i，得4a＋6bi＝4＋6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.故选C.
2．( A )[解析] 因为z1＝eq \f(1,\r(2)－i)－eq \f(1,\r(2)＋i)＝eq \f(2i,3)，z2＝eq \f(1,z1)＋2＝eq \f(4－3i,2)，所以|z2|＝eq \f(5,2).
3．( CD )[解析] 根据已知条件，x＝1或x2＋x＋1＝0，解出x的复数根，即可求解．∵x3＝1，∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0，即x＝1或x2＋x＋1＝0，x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＝0，即x＋eq \f(1,2)＝±eq \f(\r(3),2)i，解得x1＝eq \f(－1＋\r(3)i,2)或x2＝eq \f(－1－\r(3)i,2).故选CD.
4．( A )[解析] 由题意可设z＝eq \f(1＋i,a－i)＝bi(b∈R且b≠0)，则b＋abi＝1＋i，解得b＝1，即z＝i，则|z|＝1，故选A.
5．( A )[解析] 由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得eq \f(z1,z2)＝eq \f(3－i,3＋i)＝eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i.
6．( B )[解析] 解法一：由题意可设eq \f(1－bi,2＋i)＝a＋ai(a∈R)，即1－bi＝(2＋i)(a＋ai)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝a，,－b＝3a))∴b＝－3.
解法二：eq \f(1－bi,2＋i)＝eq \f(1－bi2－i,2＋i2－i)＝eq \f(2－b－1＋2bi,5)，
∴2－b＝－(1＋2b)，解得b＝－3.
7．( B )[解析] 设z＝2＋bi(b∈R)，根据题意得到4＋b2＝1＋4b2⇒b＝±1，∴z＝2±i.则|z－1|＝eq \r(2)，故选B.
8．( A )[解析] 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－(5＋5i)|＝2，利用其几何意义求解．设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－(5＋5i)|＝2，所以(x－5)2＋(y－5)2＝4，即复数z表示对应的点在以(5,5)为圆心，以2为半径的圆上，所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限．故选A.
9．( C )[解析] 本题考查复数的四则运算及复数的模．设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|z－eq \r(3)－i|＝1可得复数(x－eq \r(3))2＋(y－1)2 ＝1，
即复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(eq \r(3)，1)为圆心，以1为半径的圆，则|z|的最大值为eq \r(12＋\r(3)2)＋1＝3，故选C.