2025高考数学一轮复习-8.6-椭圆-专项训练模拟练习【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-8.6-椭圆-专项训练模拟练习【含解析】，共14页。
一、单选题
1．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F为其左焦点，直线y＝kx(k>0)与椭圆C交于点A，B，且AF⊥AB.若∠ABF＝30°，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),3) B．eq \f(\r(6),3)
C．eq \f(\r(7),6) D．eq \f(\r(6),6)
2．焦距为2eq \r(2)，并且截直线y＝2x－1所得弦的中点的横坐标是eq \f(2,7)的椭圆的标准方程为( )
A．x2＋eq \f(y2,3)＝1
B．x2＋3y2＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,12)＝1
D．x2＋eq \f(y2,3)＝1或eq \f(x2,3)＋y2＝1
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F2，过右焦点作x轴垂线交椭圆于B、C两点，连接BO并延长交AC于点M，若M为AC的中点，则椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(3),2)
4．斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B．eq \f(4\r(5),5)
C．eq \f(4\r(10),5) D．eq \f(8\r(10),5)
5．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F1，过左焦点F1作倾斜角为eq \f(π,6)的直线交椭圆于A，B两点，且eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(\r(3),3) D．eq \f(2\r(2),3)
6．已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(\r(2),2)
7．设F1，F2分别是椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆E上存在点P满足eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，则椭圆E离心率的取值范围( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
二、多选题
8．如图所示，用一个与圆柱底面成θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00)的离心率为eq \f(\r(2),2)，左，右焦点分别为F1，F2，在椭圆E上任取一点P，△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q，过右焦点F2作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于A、B两点，求|AB|的取值范围．
14．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))在椭圆C上，且eq \(MA1,\s\up6(→))·eq \(MA2,\s\up6(→))＝－eq \f(3,4).
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为k1，k2，当k1＋k2＝0时，求△MPQ的面积．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右顶点分别为A、B，P为C上异于A、B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于M、N两点，则|MN|的最小值为( )
A.eq \f(15,2) B．7
C．eq \f(13,2) D．6
2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx(k>0)与C交于M，N两点(其中M在第一象限)，若M，F1，N，F2四点共圆，则C的离心率e的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
3．已知过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)左焦点F且与长轴垂直的弦长为3eq \r(2)，过点P(2,1)且斜率为－1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为( )
A．6 B．2eq \r(2)＋3
C．2eq \r(3)＋3 D．3eq \r(2)＋3
4．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 .
5．已知A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋y2＝1上的两点．
(1)若直线AB的斜率为1，求|AB|的最大值；
(2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N(t,0)，求t的取值范围．
参考答案
【A级 基础巩固】
一、单选题
1．( A )[解析] 设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2，故四边形AFBF2为平行四边形，
设|AF|＝m，∠ABF＝30°，则|FB|＝2m，
|BF2|＝|AF|＝m，
|BF|＋|BF2|＝2m＋m＝2a，m＝eq \f(2,3)a，
在△BFF2中，
(2c)2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a))2－2×eq \f(4,3)a×eq \f(2,3)a×cs 120°，整理得到4c2＝eq \f(28a2,9)，即c＝eq \f(\r(7),3)a，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),3).故选A.
2．( A )[解析] 设椭圆方程为eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1，m>0，n>0，m≠n，
直线y＝2x－1与椭圆相交的两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知x1＋x2＝eq \f(4,7)，
所以y1＋y2＝(2x1－1)＋(2x2－1)＝2(x1＋x2)－2＝2×eq \f(4,7)－2＝－eq \f(6,7)，
又eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),m)＋\f(y\\al(2,1),n)＝1，,\f(x\\al(2,2),m)＋\f(y\\al(2,2),n)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),m)＋eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),n)＝0，
整理得eq \f(x1＋x2x1－x2,m)＝－eq \f(y1＋y2y1－y2,n)，所以2＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(2n,3m)，即n＝3m.
又c＝n－m＝eq \r(2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝m＋2，,n＝3m，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n＝3，,m＝1，))
故椭圆的标准方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1.故选A.
3．( A )[解析] 当x＝c时，eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，∴y＝±eq \f(b2,a)，
∴A(－a,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，O(0,0)，
故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c－a,2)，－\f(b2,2a)))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，
又eq \(OM,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \f(c－a,2)·eq \f(b2,a)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b2,2a)))c＝0，∴a＝2c，∴e＝eq \f(1,2).故选A.
4．( C )[解析] 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4t2－1,5).
∴|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq \f(4\r(2),5)·eq \r(5－t2)，
当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).故选C.
5．( C )[解析] 设F1(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点F1倾斜角为eq \f(π,6)的直线方程为x＝eq \r(3)y－c，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,x＝\r(3)y－c，))得(a2＋3b2)y2－2eq \r(3)b2cy－b4＝0，
所以y1＋y2＝eq \f(2\r(3)b2c,a2＋3b2)，y1y2＝－eq \f(b4,a2＋3b2)，①
因为eq \(AF1,\s\up6(→))＝3eq \(F1B,\s\up6(→))，所以y1＝－3y2，②
由①②得eq \f(3c2,a2＋3b2)＝eq \f(1,3)，所以a2＋3b2＝9c2，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋3b2＝9c2，,a2＝b2＋c2，))得a2＝3c2，e2＝eq \f(1,3)⇒e＝eq \f(\r(3),3).故选C.
6．( A )[解析] 不妨设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，椭圆另一焦点为E，由于B是短轴的一个端点，所以|BF|＝|BE|＝eq \r(|BO|2＋|OF|2)＝eq \r(b2＋c2)＝a，又eq \(BF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，所以|FD|＝eq \f(1,2)a，由椭圆定义可得|DE|＝2a－|DF|＝2a－eq \f(1,2)a＝eq \f(3,2)a，由于∠DBE＝2∠FBO，所以cs∠DBE＝cs 2∠FBO，故eq \f(|BD|2＋|BE|2－|DE|2,2|BD||BE|)＝1－2sin2∠FBO＝1－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2，即eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2＋a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))2,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a,2)))a)＝1－2e2，解得e＝eq \f(\r(3),3)，故选A.
7．( B )[解析] 设P(x0，y0)，由椭圆的方程可得F1(－c,0)，F2(c,0)，eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝eq \f(a2,2)，
则(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝eq \f(a2,2)，
即xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝eq \f(a2,2)＋c2，
由P在椭圆上得eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，所以yeq \\al(2,0)＝b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),a2)))，
所以可得eq \f(c2,a2)·xeq \\al(2,0)＋b2＝eq \f(a2,2)＋c2，
所以xeq \\al(2,0)＝eq \f(4a2c2－a4,2c2).又xeq \\al(2,0)∈[0，a2]，
0≤eq \f(4a2c2－a4,2c2)≤a2，解得：eq \f(1,2)≤eq \f(c,a)≤eq \f(\r(2),2)，
即e∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).故选B.
二、多选题
8．( BCD )[解析] 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝eq \f(π,3)得：2a＝eq \f(4,cs θ)＝8，解得a＝4，A不正确；显然b＝2，则c＝eq \r(a2－b2)＝2eq \r(3)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，B正确；当以椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1，C正确；椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2eq \r(3)，D正确．故选BCD.
9．( AC )[解析] 根据题意，因为焦点在y轴上，所以m2－2＝4，则m2＝6，故选项A正确；椭圆C的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2,\r(6))＝eq \f(\r(6),3)，故选项B不正确；根据点差法的结论可得kl·kOP＝－eq \f(6,2)＝－3，所以kl＝－3，所以直线l的方程为y－eq \f(1,2)＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即3x＋y－2＝0，故选项C正确；因为直线l过F1，所以△F2MN的周长为4a＝4eq \r(6)，故选项D不正确，故选AC.
10．( AC )[解析] 曲线C：mx2＋(1－m)y2＝1为焦点在y轴上的椭圆，则曲线C的标准方程为eq \f(y2,\f(1,1－m))＋eq \f(x2,\f(1,m))＝1，其中a2＝eq \f(1,1－m)，b2＝eq \f(1,m)，
因为C的焦点在y轴上，所以eq \f(1,1－m)>eq \f(1,m)>0，即eq \f(1,2)