2025高考数学一轮复习-4.6-解三角形-专项训练模拟练习【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-4.6-解三角形-专项训练模拟练习【含解析】，共15页。
一、选择题
1．在△ABC，已知∠A＝45°，AB＝eq \r(2)，BC＝2，则∠C等于( )
A．30°或150° B．60°
C．120° D．30°
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝eq \r(7)，a＝1，B＝eq \f(2π,3)，则c等于( )
A．eq \r(5) B．2
C．eq \r(3) D．3
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C等于( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则eq \f(a,b)等于( )
A．2 B．3
C．eq \r(2) D．eq \r(3)
5．在△ABC中，a＝2bcs C，那么这个三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．不确定
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cs A＝eq \f(1,2)，a＝eq \r(3)，则eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \r(3) D．2
7．黑板上有一道有解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a＝2，…，解得b＝eq \r(6)，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件( )
A．A＝30°，B＝45°
B．C＝75°，A＝45°
C．B＝60°，c＝3
D．c＝1，cs C＝eq \f(1,3)
8．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，则bc的取值范围为( )
A．(2,3] B．(1,4]
C．(1,3] D．(2,4]
二、多选题
9．在△ABC中，a＝4，b＝8，A＝30°，则此三角形的边角情况可能是( )
A．B＝90° B．C＝120°
C．c＝2eq \r(3) D．C＝60°
10．下列关于正弦定理的叙述中正确的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D．在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b＋c,sin B＋sin C)
11．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是( )
A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形
B．若acs A＝bcs B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcs C＋c cs B＝b，则△ABC是等腰三角形
D．若eq \f(a,cs A)＝eq \f(b,cs B)＝eq \f(c,cs C)，则△ABC是等边三角形
三、填空题
12．在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝ .
13．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13里，14里，15里，求三角形沙田的面积．则该沙田的面积为 平方里．
14．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足eq \f(sin A－sin Ca＋c,b)＝sin A－sin B，则C＝ .
四、解答题
15．在△ABC中，sin 2C＝eq \r(3)sin C．
(1)求∠C；
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6eq \r(3)，求△ABC的周长．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A＋2csin C＝2bsin Ccs A，则角A的最大值为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3) D．eq \f(2π,3)
2．(多选题)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2eq \r(3)，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( )
A．cs C＝eq \f(\r(3),3) B．sin B＝eq \f(\r(2),3)
C．a＝3 D．S△ABC＝eq \r(2)
3．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S.若asin eq \f(A＋C,2)＝bsin A,2S＝eq \r(3)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \f(sin A,sin B＋sin C)＋eq \f(b,a＋c)＝1，则C＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)
5．秦九韶是我国南宋数学家，其著作《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：S△ABC＝eq \r(\f(1,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2＋c2－b2,2)))2)))，其中a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边．已知△ABC中，eq \f(a,b)＝eq \f(cs A,2－cs B)＝eq \f(a－cs A,cs B)，则△ABC面积的最大值为( )
A．eq \f(4,3) B．eq \f(8,3)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)
6．在①ac＝eq \r(3)，②csin A＝3，③c＝eq \r(3)b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝eq \r(3)sin B，C＝eq \f(π,6)，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝150°.
(1)若a＝eq \r(3)c，b＝2eq \r(7)，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋eq \r(3)sin C＝eq \f(\r(2),2)，求C．
8．在①eq \f(cs B,cs C)＝－eq \f(b,2a＋c)；②eq \f(sin A,sin B－sin C)＝eq \f(b＋c,a＋c)；③2S△ABC＝－eq \r(3)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________，作AD∥BC，连接CD围成梯形ABCD，其中AB＝4，BC＝2，∠ACD＝eq \f(2π,3).
(1)求角B的大小；
(2)求四边形ABCD的面积．
参考答案
【A级 基础巩固】
一、选择题
1．( D )[解析] 先利用正弦定理求得sin ∠C的值，再根据“大边对大角”进行取舍，得解．由正弦定理知，eq \f(AB,sin ∠C)＝eq \f(BC,sin ∠A)，所以sin ∠C＝eq \f(ABsin ∠A,BC)＝eq \f(\r(2)×\f(\r(2),2),2)＝eq \f(1,2)，因为∠C∈(0°，180°)，且BC>AB，所以∠C＝30°.故选D．
2．( B )[解析] 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accs B，得7＝1＋c2＋c，解得c＝2或－3(舍去)．
3．( C )[解析] 根据题意及三角形的面积公式知
eq \f(1,2)absin C＝eq \f(a2＋b2－c2,4)，
所以sin C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝cs C，
所以在△ABC中，C＝eq \f(π,4).
4．( D )[解析] 由正弦定理及bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acs A＝sin Asin B，
又sin A≠0，
sin B≠0，则cs A＝eq \f(1,2).
又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋4b2－4b2×eq \f(1,2)＝3b2，得eq \f(a,b)＝eq \r(3).
5．( B )[解析] 先根据余弦定理表示出cs C，代入整理即可得到b＝c，从而得知是等腰三角形．∵a＝2bcs C＝2b×eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(a2＋b2－c2,a)，∴a2＝a2＋b2－c2，∴b2＝c2，∵b，c为三角形的边长，b>0，c>0，∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形．故选B．
6．( D )[解析] 由cs A＝eq \f(1,2)，A∈(0，π)知sin A＝eq \f(\r(3),2)，由正弦定理得eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2.
7．( B )[解析] 由C＝75°，A＝45°可知B＝60°，又eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(2sin 60°,sin 45°)＝eq \f(\r(3),\f(\r(2),2))＝eq \r(6)，符合题意，故选B．
8．( A )[解析] 根据正弦定理利用角B表示bc，利用三角变换及三角函数的性质可求bc的取值范围．因为A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，故三角形外接圆直径为eq \f(a,sin A)＝eq \f(\r(3),sin \f(π,3))＝2，所以eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，故bc＝(2sin B)·(2sin C)＝4sin Bsin C＝4sin Bsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝4×sin Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(2π,3)cs B－cs \f(2π,3)sin B))＝2eq \r(3)sin Bcs B＋2sin2B＝eq \r(3)sin 2B＋2×eq \f(1－cs 2B,2)＝eq \r(3)sin 2B－cs 2B＋1＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2B－\f(π,6)))＋1，因为三角形为锐角三角形，故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0