陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据相反数的定义进行求解即可．
【详解】解：的相反数是；
故选B．
【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．
2. 已知点在轴上，则（ ）
A. B. 3C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出a的值．
【详解】解：点在轴上，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，明确点在x轴上时，纵坐标为0是解题的关键．
3. 如图，，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，本题先证明，再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选C
4. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 中的可以是任意实数B. 是的一个平方根
C. 的立方根是D. 是2的算术平方根
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根、立方根的定义及它们的性质．根据立方根、平方根和算术平方根的定义即可判定．
【详解】解：A、中的可以是任意实数，故本选项不符合题意；
B、是的一个平方根，故本选项不符合题意；
C、=8，∴的立方根为2，故本选项符合题意；
D、表示2的算术平方根，故本选项不符合题意．
故选：C．
5. 数学老师计算同学们一学期的总评成绩时，将平时、期中和期末的成绩按计算，若小明平时、期中和期末的成绩分别是90分、80分、96分，则小明一学期的数学总评成绩是（ ）
A. 90分B. 91分C. 92分D. 93分
【答案】A
【解析】
分析】本题主要考查加权平均数．根据加权平均数公式，按算出本学期数学学期综合成绩即可．
【详解】解：根据题意得：
（分，
答：他本学期数学学期综合成绩是分；
故选：A．
6. 如图，的垂直平分线交于点，若，则的度数是（ ）
A. 25°B. 20°C. 30°D. 15°
【答案】D
【解析】
【分析】根据等要三角形的性质得到∠ABC，再根据垂直平分线的性质求出∠ABD，从而可得结果．
【详解】解：∵AB=AC，∠C=∠ABC=65°，
∴∠A=180°-65°×2=50°，
∵MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=15°，
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理．
7. 如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解,那么的值是( )
A. 9B. 7C. 5D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的解，然后代入可求出a的值．
【详解】解：，
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得
2a-y=a，
∴y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将代入方程3x﹣5y﹣7＝0，可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
8. 一次函数y＝kx﹣5的图象经过点（k，﹣1），且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式是（ ）
A. yx﹣5B. yx﹣5C. y＝﹣2x﹣5D. y＝2x﹣5
【答案】C
【解析】
【分析】把点（k，﹣1）代入y＝kx﹣5求得，再根据y随x的增大而减小确定k的值即可．
【详解】解：∵一次函数y＝kx﹣5的图象经过点（k，﹣1）
∴
∴
又y随x的增大而减小，
∴
∴
∴这个一次函数关系式为y＝﹣2x﹣5
故选：C
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，正确求出要满足的条件是解答本题的关键．
9. 如图，点是长方形的边上一点，将长方形沿折叠，使点恰好落在上的点处．若，，则的长为（ ）
A. 2B. 4C. 5D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理．证明可得，设，则，，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，，，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴．
故选：C．
10. 如图，四边形中，，，，，将边绕点逆时针方向旋转90°至，连接，则的面积为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查旋转性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识．作于点G，作交的延长线于点F，可证明四边形是矩形，得，，则，，由旋转得，，即可证明，得，即可求得．
【详解】解：作于点G，作交的延长线于点F，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
，，
由旋转得，，
∴，
在和中，
，
∴，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共6小题，计18分）
11. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．
【详解】解：点关于y轴对称点的坐标为．
故答案为：．
12. 已知的三条边长，，满足，则的面积为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性，根据二次根式有意义的条件求出、、是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件求出，根据非负数的性质分别求出、，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：，
，
，
故答案为：6．
13. 已知直线与的交点的坐标为，则方程组的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据两条直线的交点坐标就是联立两个一次函数解析式所组方程组的解，即可直接得到答案．
【详解】解：∵直线与直线的交点坐标是，
∴方程组即的解是，
故答案为：．
14. 已知，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式的加减和乘法运算法则得出即可；
【详解】解：∵a＝2，b＝2，
∴a+b＝（2）+（2）＝4，
a﹣b＝（2）﹣（2）＝2；
；
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了平方差以及二次根式的计算，正确进行二次根式混合运算是解题关键．
15. 如果点，均在一次函数的图象上，那么的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．由点A，B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k，b的二元一次方程组，解之即可得出k值．
【详解】解：点，均在一次函数图象上，
∴ ，
解得：；
故答案为：．
16. 如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值是______．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．在的下方作等边，证明，推出，从而算出，发现点在射线上运动，当时，的值最小．
【详解】解：如图，在的下方作等边，

，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∵点是边的中点，是等边三角形，
∴是定点，是定值，
∴点在射线上运动，
当时，的值最小，
最小值，
故答案为：．
三、解答题（共7小题，计52分．解答题应写出过程）
17.
（1）
（2）解方程组：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值及解二元一次方程组，分式混合运算的法则和消元法解二元一次方程组是解答此题的关键．
（1）先把各根式化简为最简二次根式，再合并同类项即可；
（2）先整理方程组，然后利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：原式=
=
=
【小问2详解】
方程组整理得
得：
解之得：
把代入得：
解之得：
则方程的解为
18. 已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，请在网格中完成下列操作并解答问题：
（1）作关于轴对称的（其中点，分别对应点，）；
（2）求出线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称图形的作法．
（1）根据对称性质作出关于x轴对称的即可；
（2）利用勾股定理即可求得线段的长度．
【小问1详解】
解：如图所示；
；
【小问2详解】
解：．
19. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，求DE的长．
【答案】DE＝．
【解析】
【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一可证明AD⊥BC，然后利用勾股定理可求得AD的长，最后根据等面积法可求DE的长.
【详解】连接AD，
∵△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D为BC中点，
∴AD⊥BC，BD＝BC＝5，
∴AD＝＝12，
又∵DE⊥AB，
∴BD•AD＝AB•ED，
∴ED＝＝＝，
即DE＝．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，勾股定理.能正确做出辅助线是解决此题的关键.注意等面积法的应用.
20. 国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作如下统计图（不完整）．其中分组情况（为在校锻炼时间）：组：；组：；组：；组：．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）组的人数是______人，并补全条形统计图；
（2）本次调查数据的中位数落在______组，众数落在______组；
（3）根据统计数据估计该地区10000名中学生中，求达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少人？
【答案】（1）50，补全的条形统计图见详解
（2）；
（3）5600
【解析】
【分析】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题；
（1）根据题意和统计图可以得到组的人数；
（2）根据（1）中补全的统计图可以得到这组数据的中位数和众数落在哪一组；
（3）根据统计图中的数据可以估计该地区达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数．
【小问1详解】
解：由统计图可得，调查总人数为：，
组人数为：，
故答案为：50，补全条形统计图如图所示，
【小问2详解】
由补全的条形统计图可得，总人数250人，中位数为第125和126个人对应的数的平均值，故中位数落在组，
组120人最多，故众数落在组，
故答案为：；；
【小问3详解】
由题意可得，
该地区10000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有：(人)，
故答案为：5600．
21. 如图，已知直线分别与，轴交于点、，与直线交于点，点为直线上一点．
（1）求和的值；
（2）若点在射线上，且，求点的坐标．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．
（1）把点代入解析式中，可直接求出n的值；再把点C的坐标代入中，即可求出k的值；
（2）先根据解析式可求出点A和点B的值，进而可求出的面积，设点P的坐标为，根据，代入数据求解即可．
【小问1详解】
解：把点代入解析式中，得，
∴，
把点C的坐标代入中，则，
解得；
【小问2详解】
解：∵直线分别与x，y轴交于点A、B，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵点P在射线上，
设点P的坐标为，
∴，即，
解得（舍去）或，
∴．
22. 某超市出售甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为每件120元，售价为每件130元；乙种商品的进价为每件100元，售价为每件150元．
（1）若超市花费了36000元购进这两种商品，售完后可获得利润6000元，则该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）若超市要购进这两种商品共200件，设购进甲种商品件，售完后获得的利润为元，试写出利润（元）与（件）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）在（2）的条件下，若甲种商品最少购进100件，请你设计出使利润最大的进货方案，并求出最大利润．
【答案】（1）甲种商品240件，乙种商品72件；（2）W=-40x+10000；（3）购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大，最大利润为6000元
【解析】
【分析】（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据销售问题的数量关系建立方程组求出其解即可；
（2）由购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，由利润等于售价-进价建立函数关系式就可以得出结论；
（3）根据一次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设购进甲种商品x件，乙种商品y件，由题意，得
，解得：
答：该商场购进甲种商品240件，乙种商品72件．
（2）已知购进甲种商品x件，则购进乙种商品（200一x）件，根据题意，得
W=（130-120）x+（150-100）（200-x）=-40x+10000，
（3）∵k=-40＜0，
∴W随x的增大而减小．
又∵甲种商品最少购进100件
∴当购进甲种商品的件数为100件时利润最大，
∴进货方案为购进甲、乙种商品的件数各为100件，利润最大，
最大利润=-40×100+10000=6000元．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，一次函数的性质的运用，解答时根据方程组的解求函数的解析式是关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．请解答：
（1）的长为______，的长为______；
（2）如图，点是线段上一点，连接，作交于点，连接，求点的坐标并判断的形状；
（3）如备用图，若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4，2 （2），是等腰直角三角形；
（3）直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）先求出，由全等三角形的性质可得；
（2）利用待定系数法可求直线的函数表达式，可得，由全等三角形的性质可得，由可证，可得，分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，由全等三角形的判定和性质即可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴点，
∴，
把代入得：，
∴点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4，2；
【小问2详解】
解：设直线对应的函数表达式为：，
∵，
∴，
把代入得，
解得，
∴直线对应的函数表达式为，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
即，
∴，
∴，
∴，则是等腰直角三角形；
分别过点M、N作轴于点E，轴于点F，

∴，
∵，
∴，
∴，
∴点N的坐标为；
【小问3详解】
解：直线上存在点Q，使是以E为直角顶点的等腰三角形．
∵为直线上的点，
∴，
∴，
①当点P在点B下方时，如图，连接，过点Q作，交的延长线于M点，

∵，
∴轴，，点M的纵坐标为2，，
∵是以E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴Q点的纵坐标为3，
把代入中得：，
∴点；
②当点P在点B上方时，如图，过E点作轴，过点Q作于M点，过P点作交的延长线于N点．

则，
∴N点的横坐标为1，
则，
∵是以E为直角顶点的等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴M点的纵坐标为1，
∴Q点的纵坐标为1，
把代入中得：，
∴；
综上所述，直线上存在点Q，使得是以E为直角顶点等腰直角三角形，Q点的坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．