陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市西北工业大学附属中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
C. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2. 如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：该几何体的主视图为：
故选：A．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
3. 若，，，是成比例线段，其中，，则线段的长为( )
A. 2B. 4C. 6D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得，且，即可求解．
【详解】解：∵，，，是成比例线段，
∴，且，
∵，，
∴
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段的性质是解题的关键．
4. 一个不透明的盒子里有若干个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球．摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，由此估计盒子中小球共有（ ）
A. 30B. 28C. 24D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，然后根据概率公式计算n的值．
【详解】解：设球的个数为n个，
根据题意得，
解得，
所以这个不透明的盒子里大约有30个除颜色外其他完全相同的小球．
故选：A．
5. 如图，直线，直线和被所截，，则的长为·（ ）

A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平行线分线段成比例可得，代入已知数据，求出，即可得到的长．
【详解】解：∵直线，直线和被所截，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据定理得到是解题的关键．
6. 已知反比例函数，点在它的图象上，下列说法中正确的是( )
A. 图象位于第二、四象限B. 当时，随的增大而增大
C. 点在该图象上D. 当x>1时，
【答案】C
【解析】
【分析】利用反比例函数的图象的性质，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
A. 图象位于第一、三象象限，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，随的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意；
C.∵点在它的图象上，则，
∴点在该图象上，故该选项正确，符合题意；
D. 当x>1时，,故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解决问题的关键是掌握反比例函数的性质，注意函数的增减性是在每个象限内．
7. 如图，将视力表中的两个“”放在平面直角坐标系中，两个“”字是位似图形，位似中心点，①号“”与②号“”的相似比为．点与为一组对应点，若点Q坐标为，则点的坐标为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据位似变换的性质计算，将点的横、纵坐标乘以，即可求解．
【详解】解：∵①号“”与②号“”的相似比为，点Q坐标为
∴点的坐标为，即，
故选：D．
【点睛】此题考查了位似变换性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行(或在一条直线上)，熟记性质是解题的关键．
8. 如图，菱形的边长为，对角线、BD相交于点，过点作于点，连接，，则菱形的面积为( )

A. 8B. C. 16D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，进而可得，在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
，
，
，
∴
则
在中，
∴菱形的面积为
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是解决本题的关键．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据比例的性质，设，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，设，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10. 是方程的一个根，则另一个根为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：设另一个根是α，
∴，
∴，
故答案为：2．
11. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号）
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即．
【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为，
∴，
∴，
∴的长度为．
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为，边、分别在轴、轴上，一个反比例函数的图象经过点．若该函数图象上的点到轴的距离是这个正方形边长的一半，且点P在第一象限，则点的坐标为______

【答案】
【解析】
【分析】先根据正方形的面积公式求得正方形的边长，进而得点坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据题目条件求得点的横坐标，进而求得点坐标．
【详解】解：正方形的面积为，
，
，
设反比例函数的解析式为，
，
该函数图象上的点到轴的距离是这个正方形边长的一半，
点的横坐标为：，
点的坐标为或，
点在第一象限，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，正方形的性质，关键是求出B点坐标．
13. 如图，在矩形中，，E、F分别为和上的两个动点，且满足，连接．过点D作于点G，连接，线段的最小值是______．

【答案】
【解析】
【分析】延长交的延长线于点N，连接，取的中点M，连接，取的中点，连接，证明，则，得到，则，，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得，证明是的中位线，，则，，则，由勾股定理得到，由两点之间线段最短得到，,即可得到线段的最小值．
【详解】解：延长交的延长线于点N，连接，取的中点M，连接，取的中点，连接，

∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵的中点M，
∴，
∵K为的中点，的中点M，
∴是的中位线，，
∴，，，
∴，
∴，
由两点之间线段最短得到，
∴,
∵，
∴，即当三点共线时，有最小值．
故答案为：
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质、矩形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理是解题的关键．
三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程）
14. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15. 在我国古代建筑中经常使用“榫卯”结构，如图所示．粗心的小明画出了“卯”的三视图，请你帮他检查并补充完整．


【答案】见解析
【解析】
【分析】根据三视图的定义即可得．
【详解】解：“卯”的主视图与左视图正确，
“卯”的俯视图是
，
【点睛】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
16. 化简：．
【答案】
【解析】
【分析】先把除法变为乘法并因式分解，约分后，再计算分式的减法即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算顺序和法则是解题的关键．
17. 如图，在中，，在边上利用尺规求作一点，使得（不必写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，等边对等角；
作线段的垂直平分线交于P，可得，证明可得．
【详解】解：点如图所示：
证明：作线段的垂直平分线交于P，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
18. 如图，在菱形中，，连接相交于点M．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用菱形的性质得到，由得到，又由，利用证明，即可得到答案．
【详解】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．
19. 中秋节前，学校举行“传经典·乐中秋”系列活动，共有四项活动：并分别制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为______；
（2）小丽从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，求小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）．
【答案】（1）
（2），过程见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数和符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．
【小问1详解】
解：小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为，
故答案为：；
小问2详解】
画树状图如图．

由树状图可知共有12种等可能结果，其中小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的共有6种．
所以P（小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”）．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，中，过点B作于E，F为上一点，且．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】(1)由平行四边形的性质结合条件可得到，，据此即可证得结论；
(2)由平行线的性质可知，在中，由含角直角三角形的性质及勾股定理可求得，再根据相似三角形的性质即可解答．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
∴；
【小问2详解】
解：，，
，
∵，
，
在中，， ，
得，
解得(负值舍去)，
∵，
，
得，
解得，
故的长为．
【点睛】本题考查了相似三角形判定和性质、平行四边形的性质、角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
21. 已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）方程的两根为、，若，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，．再由，可得到关于m 的方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
【小问2详解】
解：∵方程的两根为、，
∴，
∴
∵
∴，
即，
解得：或，
由（1）可得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键．
22. 晚上放学回家，小明和大华走在路灯下，突然灵机一动，想利用所学的知识测量路灯的高度．在灯光下，当大华站在D点处时，小明测得大华的影长为3米；大华沿方向行走5米到达G点，此时又测得大华的影长为4米．如果大华的身高为米，请你根据以上信息，帮助他们计算路灯的高度．

【答案】米
【解析】
【分析】由得，则，由得，则，得到，解得，则，即可求得的高度．
【详解】解：如图，于点D，于点G，

由题意可知，，米，米，米，米，
∴，
∴，
∴，即①，
∵，，
∴，
∴，
∴，即②，
由①②得，，
解得，，
经检验，是方程的根且符合题意，
∴，
解得，．
答：路灯杆AB的高度为米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，在本题中关键是根据两组相似三角形中的公共边和身高建立关于的方程．
23. “民亦劳止，汽可小康”全面小康，将实现中华民族的千年梦想．为助力“农村经济建设，圆梦全面小康”，大学生亮亮在网上直播带货，销售家乡的优质农产品．该商品畅销，九月份的销售量达到袋．为了庆祝国庆佳节，亮亮决定十月降价促销．亮亮购进的农产品每袋进价元，售价为每袋元，经调查发现，若该农产品每袋降价1元，销售量可增加3袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利元？
【答案】当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利元．
【解析】
【分析】设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利元，然后根据：利润（售价进价）数量，列出方程并解答即可．
【详解】解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利元，
由题意得：，
解得：， (不合题意，舍去)，
答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出相应的方程是解答本题的关键．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象于两点．

（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）在轴上是否存在一点，平面坐标系内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）反比例函数为，一次函数为
（2）存在，点坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）将点代入反比例函数中，可求、；再将点代入中，列方程组求、即可；
（2）分三种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象过，
∴．
∴反比例函数的解析式为，
∵双曲线过点，
∴，
∴．
由直线过点得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为；
【小问2详解】
解：设直线交轴于点，
在直线中，令，则，
，
，，，
，
为直角三角形，
，
①当时，
，
点与点重合，
点坐标为；
②当时，
设，则，
，，
，
，即，
，
点坐标为(，
③当时，
设，作于，于，

，
，
，，，，
，
，
，
又，
，
，
，
解得：，
点或，
综上所述：点坐标为或或或．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了用待定系数法求解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论是解题的关键．
25. 问题提出
（1）如图①，和均为等腰直角三角形，且，连接、，则的值为______；
问题探究
（2）如图②，四边形是边长为4正方形，点是上一动点，以为斜边在边的右侧作等腰，，连接、当最小时求的面积；
问题解决
（3）随着社会的发展，农业观光园走进我们的生活．某农业观光园的平面示意图如图③所示的四边形，其中，，，．为了能够让广大游客更近距离观光，徜徉在大自然的海洋，设计师计划在之间修一条观光小路，为了方便市民观赏，想让最大．根据设计要求，求出当的最大时的面积．
【答案】（1）；（2）4；（3）平方千米．
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，可证，可得．
（2）连接，交于点，连接，证明，得出，进而可得，根据题意，可得，最小，此时点为的中点，即可求解；
（3）作，交射线于点，取中点，连接，，，，由题意可证，可得，且，可证，可得，由勾股定理可求，，的长，由三角形三边关系可求的最大值，进而可得当三点共线时，取得最大值，此时如图所示，过点作于点，证明，求得，根据的面积为，即可求解．
【详解】（1）△和均为等腰直角三角形，且，
，
，
，，
，，
，
；
故答案为：．
（2）如图所示，

连接，交于点，连接，
∴，则是等腰直角三角形，则
∵是等腰直角三角形，则，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴当时，最小
∵
∴此时点为的中点
则当最小时的面积为；
（3）如图，作，交射线于点，取中点，连接，，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点是中点，
，
，
；
即当三点共线时，取得最大值，此时如图所示，过点作于点，

∵
∴
∴
∴
∵是的中点，则
∴的面积为
平方千米．
A品月饼
B讲故事
C诵诗词
D创美文