沪科版数学七上同步讲练专题3.10 一次方程与方程组章末题型过关卷（2份，原卷版+解析版）

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第3章 一次方程与方程组章末题型过关卷【沪科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．(3分)（2022·湖南·永州市冷水滩区京华中学七年级期中）已知x+2y与x+4互为相反数，则x+y的值为（　　）A．﹣4 B．﹣1 C．﹣2 D．2【答案】C【分析】根据相反数的性质“互为相反数的两个数相加得0”，可建立等式x+2y+x+4＝0，化简后可求出x+y的值．【详解】解：∵x+2y与x+4互为相反数，∴x+2y+x+4＝0，则2x+2y＝﹣4，故x+y＝﹣2．故选：C【点睛】本题考查了相反数的性质以及整式的加减运算，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．2．(3分)（2022·四川·隆昌市知行中学七年级阶段练习）若方程组的解中，则等于（     ）A．15 B．18 C．16 D．17【答案】D【分析】先将两个方程相加即可得到，再根据即可得到关于的方程，解方程即可得解．【详解】解：①+②得，∴∵∴∴．故选：D【点睛】本题考查了二元一次方程组的解满足一定条件求参数问题，加减消元法和代入消元法是求值的常用方法．3．(3分)（安徽省芜湖市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）符合条件|a＋5|＋|a－3|＝8的整数a的值有（    ）．A．4个 B．5个 C．7个 D．9个【答案】D【分析】此方程可理解为a到−5和3的距离的和，由此可得出a的值，继而可得出答案．【详解】解：|a＋5|表示a到−5点的距离，|a−3|表示a到3点的距离，由−5到3点的距离为8，故−5到3之间的所有点均满足条件，即−5≤a≤3，又由a为整数，故满足条件的a有：−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3共9个，故选：D．【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程，关键是利用数轴进行解答．4．(3分)（2022·湖北武汉·中考真题）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是（    ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】根据题意设出相应未知数，然后列出等式化简求值即可．【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x+6+20=22+z+y，整理得：x-y=-4+z，x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，∴x+y=3z-24=12故选：D．【点睛】题目主要考查方程的应用及有理数加法的应用，理解题意，列出相应方程等式然后化简求值是解题关键．5．(3分)（天津市耀华中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（  ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：A、根据等式性质2，a（x2+1）=b（x2+1）两边同时除以（x2+1）得a=b，原变形正确，故这个选项不符合题意；B、根据等式性质2，a=b两边都乘c，即可得到ac=bc，原变形正确，故这个选项不符合题意；C、根据等式性质2，c可能为0，等式两边同时除以c2，原变形错误，故这个选项符合题意；D、根据等式性质1，x=y两边同时减去3应得x-3=y-3，原变形正确，故这个选项不符合题意．故选：C．【点睛】此题主要考查了等式的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．6．(3分)（考点01一元一次方程-2022年《三步冲刺中考�数学》（安徽专用）之第1步小题夯基础）已知a为正整数，且关于x的一元一次方程ax﹣14＝x+7的解为整数，则满足条件的所有a的值之和为（　　）A．36 B．10 C．8 D．4【答案】A【分析】根据题意可知，解原方程可得，再由“方程解为整数”，即可求出a的值，最后再由a为正整数即可求出满足条件的所有a的值的和．【详解】解：，移项得： ，合并同类项得：，若a＝1，则原方程可整理得：-14＝7（无意义，舍去），若a≠1，则，∵解为整数，∴x＝1或-1或3或-3或7或-7或21或-21，则a-1＝21或-21或7或-7或3或-3或1或-1，解得：a＝22或-20或8或-6或4或-2或2或0，又∵a为正整数，∴a＝22或8或4或2，∴满足条件的所有a的值的和=22+8+4+2＝36，故选：A．【点睛】本题考查一元一次方程的解，正确掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键．7．(3分)（2022·浙江金华·七年级阶段练习）若方程组的解是，则方程组的解是（　　）A． B． C． D．【答案】C【分析】将方程组变形为，进而可得到，求解即可．【详解】解：方程组变形为，∴由题意知，，解得，故选：C．【点睛】本题考查解二元一次方程组，学会运用整体代入的思想是解题的关键．8．(3分)（2022·湖南常德·中考真题）某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（ ）A．9天 B．11天 C．13天 D．22天【答案】B【详解】解：根据题意设有x天早晨下雨，这一段时间有y天，有9天下雨，即早上下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数﹣早晨下雨=早晨晴天；②总天数﹣晚上下雨=晚上晴天；列方程组，解得，所以一共有11天，故选B．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．9．(3分)（浙江省绍兴市越城区2021-2022学年七年级上学期期末教学质量评价调测数学试题）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第几个图形中面积为1的正方形的个数为2019个（    ）A．402 B．403 C．404 D．405【答案】B【分析】由第1个图形有9个面积为1的小正方形，第2个图形有9+5＝14个面积为1的小正方形，第3个图形有9+5×2＝19个面积为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个面积为1的小正方形，由此求得答案即可．【详解】解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，…第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝5n+4个，根据题意得：5n+4＝2019，解得：n＝403．故选：B．【点睛】本题考查了图形的变化规律，找出图形之间的变化规律，利用规律建立方程是解题关键．10．(3分)（重庆市重庆市两江新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：．下列说法：①若，则生成的这数串中必有（为正整数）；②若，生成的前2022个数之和为55；③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32；④若，则的值只能是9．其中正确的个数是（    ）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据规则分别求出的值，再归纳类推出一般规律即可判断①；先分别求出的值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断②；分为偶数和为奇数两种情况，分别根据规则建立方程，解方程求出的值即可判断③；根据规则分别建立方程，解方程求出的值即可判断④．【详解】解：当时，，，，由此可知，的值是以循环往复的，所以若，则生成的这数串中必有（为正整数），说法①正确；当时，，，，，，，则从开始，的值是以循环往复的，因为，所以若，生成的前2022个数之和为，说法②错误；若为偶数，则，解得，符合题设，若为奇数，则，解得，符合题设，所以若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5，说法③错误；当时，因为7为奇数，所以，解得为偶数，所以或，解得或（舍去），所以或，解得或，均符合题意，即若，则的值是9或56，说法④错误；综上，正确的个数是1个，故选：A．【点睛】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，理解规则，正确归纳类推出一般规律是解题关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．(3分)（【冀教版】七年级上册第五章一元一次方程第五章巩固排查卷）在解方程的过程中，①去分母，得；②去括号，得；③移项，得；④合并同类项，得；⑤系数化为1，得．其中开始出错的步骤是________．【答案】①【分析】根据等式的性质方程两边同时乘以各个分母的最小公倍数即可去分母，然后依据去括号法则，移项、合并同类项求解，从而判断．【详解】去分母应得， ，故开始出错的步骤是①．【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意分数线起到括号的作用，去分母时要注意加括号．12．(3分)（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝_____．【答案】1【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可．【详解】如图，根据题意，可得第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得 ∴ 故答案为：1【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．13．(3分)（2022·山东德州·七年级期末）已知关于x、y的方程组的解为，则________．【答案】11【分析】将x=1，y=2代入方程组，可得关于m与n的方程组，相加即可得到答案．【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，∴，①+②得：3m-4n=11，故答案为：11．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，解决问题的关键是熟练掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值，用特殊方法解方程组求代数式求值．14．(3分)（2022全国·八年级单元测试）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为则的值为________.【答案】0【分析】根据方程组的解的定义，解应满足方程②，解应满足方程①，将它们分别代入方程②，①，就可得到关于a，b的二元一次方程组，解得a，b的值，代入代数式即可．【详解】甲看错了①式中x的系数a，解得，但满足②式的解，所以-12+b=-2，解得b=10；同理乙看错了②式中y的系数b，解满足①式的解，所以5a+20=15，解得a=-1．把a=-1，b=10代入，∴.【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义，以及解二元一次方程组的基本方法．15．(3分)（重庆市丰都县2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）在边长为的正方形中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，则正方形纸板的边长为______．【答案】5【分析】设正方形纸板的边长为，则，，根据区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大列方程即可得到答案．【详解】解：设正方形纸板的边长为，则，，区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大，，解得，正方形纸板的边长为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键．16．(3分)（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）陶行知老校长曾经说过：“教育不能创造什么，但它能启发解放儿童创造力以从事于我们创造之工作．”“创造节”是育才的三大传统节日之一，而其中的美食街活动一直都是同学们最期待的环节．今年的美食街活动中，初一（1）班摊位推出了A、B、C三种食品，每种食品的成本分别为10.5元．13.5元．7元．在八点至九点期间．A、B、C三种食品的单价之比为3∶4∶2，销量之比为1∶1∶3；由于味道太好，供不应求、故在九点到十点期间，初一（1）班摊位适当调整了价格，A、B、C三种食品的单价均有所上调，其中B食品的单价上调50%，但三种食品的销量之比不变，同时三种食品的销售额比之前有所增加，其中A、C增加的销售额之比为1∶2，且A、B食品在九点到十点期间的销售额之比为2∶3．若九点到十点三种食品的单价之和比八点到九点的单价之和多9.9元，则九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为__________．【答案】8%【分析】根据题意设出在八点至九点期间，A，B，C三种食品的单价分别为3x元，4x元，2x元，销量分别为m，m，3m，在九点到十点期间的三种食品的销量分别为n，n，3n，把这两天三种食品的单价、销量均表示出来，根据3月8日三种食品的单价之和比3月7日三种食品的单价之和多9.9元，列出方程求出x，再用整体法求出利润率即可．【详解】解：设在八点至九点期间，A，B，C三种食品的单价分别为3x元，4x元，2x元，销量分别为m，m，3m，∵在九点到十点期间的三种食品的销量之比不变，∴设在九点到十点期间的A，B，C三种食品的销量分别为n，n，3n，∵在九点到十点期间B食品的单价上调50%，∴在九点到十点期间B食品的单价为4x×（1 + 50%）= 6x（元）∵在九点到十点期间A，B食品的销售额之比为2：3，∴在九点到十点期间B食品的销售额为6nx元，A食品的销售额为4nx元，∴在九点到十点期间A食品的单价为（元），∵在九点到十点期间A，C食品增加的销售额之比为1：2，∴A食品增加的销售额为：（4nx-3mx）元，∴C食品增加的销售额为：（8nx-6mx）元，∴在九点到十点期间C食品的单价为：（元），∵在九点到十点期间三种食品的单价之和比在八点至九点期间三种食品的单价之和多9.9元，∴，∴，∴在九点到十点期间A、B、C三种食品的销售单价分别为10.8元，16.2元，7.2元，∴在九点到十点期间的利润率为： ，∴在九点到十点期间初一（1）班摊位的利润率为8%．故答案为：8%【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．(6分)（2022·重庆黔江·七年级期末）解方程（组）：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按解一元一次方程的一般步骤运算即可；（2）先将②左右两边乘以6，再用加减消元法运算即可．（1）解：左右两边乘以12得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：；（2）①左右两边乘以6得：，②+③得：，解得：，将代入②得：，解得：，∴原方程组得解为：．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程组的加法，掌握一元一次方程解法的一般步骤和加减消元法是解题的关键．18．(6分)（2022·浙江·兰溪市实验中学七年级阶段练习）对于实数、，定义关于“”的一种运算：，例如．（1）求的值； （2）若，，求的值．【答案】（1）5；（2）【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；(2)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可.【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝；故答案为：5.（2）根据题中的新定义化简得：，两式相加得：，则．故答案为：.【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解法.19．(8分)（2022·宁夏石嘴山·七年级期末）我市某包装生产企业承接了一批大型会议的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材，如图1所示，（单位：）（1）列出方程（组），求出图中与的值．（2）在试生产阶段，若将40张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．①两种裁法共产生型板材________张，型板材________张；②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，根据题意完成表格：③若做成图2所示的竖式与横式两种无盖礼品盒将裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩几张？【答案】（1）a=60、b=40；（2）①84，48；②见解析；③2张【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解．（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；②同样由图示完成表格；③根据A型板材恰好用完，得到4x+3y=84，求出整数解，再比较计算即可．【详解】解：（1）由题意得：，解得：，答：图甲中a与b的值分别为：60、40．（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×40=80，裁法二产生A型板材为：1×4=4，所以两种裁法共产生A型板材为80+4=84（张），由图示裁法一产生B型板材为：1×40=40，裁法二产生A型板材为，2×4=8，所以两种裁法共产生B型板材为40+8=48（张），故答案为：84，48．②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张．③由上表可知横式无盖款式共5y个面，用A型3y张，则B型需要2y张．则做两款盒子共需要A型（4x+3y）张，B型（x+2y）张．要使A型板材恰好用完，则4x+3y=84，∴x=21-y，当y=20时，x=6，则x+2y=46，当y=24时，x=3，则x+2y=51＞48，当y=16时，x=9，则x+2y=41，∴48-46=2张，∴B型板材最少剩2张．【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程（组）的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再根据图示解答．20．(8分)（2022·全国·七年级）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：(1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元．①求这两种大米各购进多少袋；②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元．(2)为刺激销量，超市决定在4月份增加购进C种大米作为赠品，进价为每袋10元，并推出两种促销方案．甲方案：“买3袋A种大米送1袋C种大米”；乙方案：“买3袋B种大米送2袋C种大米．”若进货款为2100元，4月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进三种大米各多少袋？【答案】(1)①A种大米30袋，B种大米40袋；②600元(2)方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋【分析】（1）①分别设A、B种大米为a袋、b袋，根据大米总袋数和金额列方程进行计算；②列出方程后利用总货款数与总袋数呈倍数关系，将总袋数的代数式整体代入货款的方程中计算；（2）设购进A种大米袋，B种大米袋，可得购进C种大米为袋，根据金额列出方程，利用袋数为整数的条件求出x、y的值，再根据x、y的值算出各种大米数量．(1)①设购进A种大米a袋，B种大米b袋，则题意列方程得，解得所以购进A种大米30袋，B种大米40袋；②设售出A种大米m袋，B种大米n袋，则，化简得，所以进货款（元）(2)设购进A种大米袋，购进B种大米袋，则购进C种大米为袋．由题意得：．解得，为正整数，∴或，则有① ， ②∴有两种购买方案：方案一：A种：57袋，B种：21袋，C种：33袋；方案二：A种：24袋，B种：42袋，C种：36袋【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，利用方程中代数式恰好呈倍数和未知数只能取整数巧妙解方程是解题关键．21．(8分)（江苏省泰州市兴化市2022-2023学年七年级上学期期末数学试题）(1)如图1：正方形ABCD边长为5，点P、点Q在正方形的边上．点P从点A以每秒3个单位长度的速度沿A→B→C→D→A折线循环运动，同时点Q从点C以每秒1个单位长度的速度沿C→D→A→B→C折线循环运动．设点P运动时间为x秒．①当x为何值时，点P和点Q第一次相遇．②当x为何值时，点P和点Q第二次相遇．(2)如图2：是长为6，宽为4的长方形ABCD，点E为边CD的中点，点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→E折线运动，到达点E停止．设点M运动时间为t秒，当三角形AME的面积等于9时，请求出t的值．【答案】(1)①；②(2)或【分析】（1）①点和点第一次相遇，比多运动10个单位，可得，即可解得答案；②点和点第二次相遇，比多运动30个单位，列方程即可解得答案；（2）由已知可得，分三种情况分别列方程：①当在上，即时，，②当在上，即时，，③当在上，即时，，即可解得答案．（1）①根据题意得：，解得，答：当为5时，点和点第一次相遇，②根据题意得：，解得，答：当为15时，点和点第二次相遇；（2）由已知可得，①当在上，即时，如图：根据题意得：，解得，②当在上，即时，如图：根据题意得：，解得，③当在上，即时，如图：根据题意得：，解得（不符合题意，舍去），综上所述，当的面积等于9时，的值为秒或秒．【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．22．(8分)（江苏省苏州市高新区实验学校2021-2022学年七年级数学第一学期期末试卷）【探索新知】如图1，点将线段分成和两部分，若，则称点是线段的圆周率点，线段、称作互为圆周率伴侣线段．（1）若，求的值（用含的代数式表示）；（2）若点也是图1中线段的圆周率点（不同于点），求与的数量关系．【深入研究】如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点的位置．（3）若点、均为线段的圆周率点，求线段的长度；（4）在图2中，点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为秒．点追上点时，停止运动，当、、三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请求出的值．【答案】（1）AB的值为；（2）；（3）线段MN的长度为；（4）或或或．【分析】(1)根据线段之间的数量关系代入解答即可；(2)根据线段的圆周率点的定义及相关线段的大小比较即可解题；(3)由题意可知，点C表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据题意可得关于x的一元一次方程，求解即可；(4)根据题意分类讨论计算即可：①点P在点C左侧，PC=πCQ；②点P在点C左侧，πPC=CQ；③点P在点C、点Q之间，且πPC=PQ；④点P在点C、点Q之间，且PC=πPQ．【详解】解：（1） ，，，；（2）如图， ，当BD=AC时，BC=AD， ，即点也是图1中线段的圆周率点， 与的数量关系是相等；（3）由题意可知，点C表示的数是π+ 1，若点M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM= x，，则x + πx = π+ 1解得：x= 1，，MN = =π + 1 - 1 - 1 = π – 1；（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：2t、π + 1、π + 1 +t，当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，有以下四种情况：①如图①，点P在点C左侧，PC= πCQ，， ；②如图②，点P在点C左侧，πPC = CQ，， ；③如图③，点P在点C、点Q之间，πPC= PQ，， ；④如图④，点P在点C、点Q之间，PC =πPQ，， ，符合题意的有或或或．【点睛】本题考查了一元一次方程在新定义类动点问题中的应用，有一定综合性，通过数形结合并分类讨论，是解题的关键．23．(8分)（2022·重庆市合川区合阳中学八年级期中）对于一个各位数字都不为零的三位正整数，若满足个位上数字是十位上数字的2倍，则称为“倍半数”．将一个“倍半数”任意一个数位上的数字去掉后可以得到三个新两位数，把这三个两位数之和记为．如“倍半数”，去掉百位上的数字后得到24，去掉十位上的数字后得到74，去掉个位上的数字后得到72，则．(1)求：，；(2)若能被13整除，求出满足条件的所有“倍半数”．【答案】(1)115,85(2)136或912【分析】（1）根据新定义“倍半数”列式计算即可；（2）设“倍半数”M的十位数字为x，个位数字为2x，百位数字为a，然后根据新定义内容列出F（M）的式子，并结合a和x的取值范围以及F（M）能被13整除的特点确定a和x的值即可．（1）解：F（512）=51+12+52=115F（236）=23+36+26=85．答：F（512）的值为115，F（236）的值为85．（2）解：设“倍半数”M的十位数字为x，个位数字为2x，百位数字为a，则F（M）=10a+x+10x +2x+10a+2x=20a+15x=5（4a+3x）由题意可得：1≤a≤9，1≤x≤4，且a，x均为正整数，又∵F（M）能被13整除，∴7