沪科版七年级上册第3章 一次方程与方程组综合与测试单元测试当堂达标检测题

沪科版初中数学七年级上册第三单元《一次方程与方程组》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在坐标平面上两点，，若点向右移动个单位长度后，再向下移动个单位长度后与点重合，则点所在的象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，为正整数，若，则满足条件的所有的值之和为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 一个水池有甲、乙两个进水管，单独开甲水管注满全池，单独开乙水管注满全池，如果同时开放两个水管，则注满水池需要(    )

A.  B.  C.  D.

5. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文加密，接收方由密文明文解密，已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，例如，明文，，，对应密文，，，当接收方收到密文，，，时，则解密得到的明文为．(    )

A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，

6. 某商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都以元出售．若按成本计算，其中一件盈利，另一件亏本，则在这次买卖中他(    )

A. 不赔不赚 B. 赚元 C. 赔元 D. 赚元

7. 用加减消元法解方程组时，下列结果正确的是(    )

A. 要消去，可以将 B. 要消去，可以将
C. 要消去，可以将 D. 要消去，可以将

8. 在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解为则原方程组的解(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知是方程组的解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 某电视台在黄金时段的分钟广告时间内，计划插播长度为秒和秒的两种广告秒的广告每播一次收费万元，秒的广告每播一次收费万元若要求每种广告播放不少于次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是(    )

A. 秒的广告播放次，秒的广告播放次
B. 秒的广告播放次，秒的广告播放次
C. 秒的广告播放次，秒的广告播放次
D. 秒的广告播放次，秒的广告播放次

11. 一辆轿车行驶小时的路程比一辆卡车行驶小时的路程少千米．如果设轿车平均速度为千米小时，卡车的平均速度为千米小时，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有匹，大马有匹，则下列方程组中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 规定，用表示大于的最小整数，例如：，，；用表示不大于的最大整数，例如：，，，如果整数满足关系式：，则          ．
14. 同一数轴上有点，分别表示数，，且，满足等式，点表示的数是多项式的一次项系数，点，，在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒个单位长度，点，均向右运动，速度分别为每秒个单位长度和每秒个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间的变化而改变，则该定值为______．
15. 定义一种新的运算：，例如：，
    那么：
    若，那么          ．
    若，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为          ．
16. 今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回只．已知李红家原有库存只，出门次购买后，家里现有口罩只．请问李红出门没有买到口罩的次数是______次．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 聪聪在对方程去分母时，错误地得到了方程，因而求得的解是，试求的值，并求方程的正确解．
18. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”如方程和为“兄弟方程”．

若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值；

若两个“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值；

若关于的方程和是“兄弟方程”，求这两个方程的解．

19. 已知数轴上的原点为，、、三点对应的数分别为，和，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴负方向运动，设点的运动时间为秒．
    线段的长为______，线段的长为______．
    当点运动到与点、距离相等时，求点表示的数．
    当、两点相遇时，求的值．
    当时，直接写出的值．
     
20. 如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数点为数轴上任意一点，其对应的数为．
    
    如果点到点，点的距离相等，那么的值是______；
    数轴上是否存在点，使点到点，点的距离之和为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
    若点，，开始在数轴上匀速向右运动，其速度分别为个单位长度秒，个单位长度秒，个单位长度秒，设运动时间为秒，请直接写出时的时间．
21. 小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程组的题目被墨水污染，“”和“”表示被污染的两个常数，他着急，便翻开书后面的答案，得到这道题的解是，请你帮小明求出和所表示的数．
22. 已知关于，的二元一次方程组与有相同的解．
    求，的值；
    求的值．
23. 已知关于，的方程组
    请直接写出方程的所有正整数解；
    若方程组的解满足，求的值；
    无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？
    若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值．
24. 打折前，买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元．打折后，买件商品和件商品用了元，问比不打折少花了多少钱？
25. 现要在长方形草坪中规划出块大小，形状一样的小长方形图中阴影部分区域种植鲜花．
    如图，大长方形的相邻两边长分别为和，求小长方形的相邻两边长．
    如图，设大长方形的相邻两边长分别为和，小长方形的相邻两边长分别为和．
    个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
    若种植鲜花的面积是整块草坪面积的，求和满足的关系式不含，．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了坐标与图形变化：平移．掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征．
先根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减得到与的关系式，求出与的值，得到点的坐标，进而判断点所在的象限．
【解答】
解：点，，
若点向右移动个单位长度后，再向下移动个单位长度后与点重合，
，，
，，
，在第四象限．
故选D．  

2.【答案】 

【解析】解：关于的方程有解，
，即，
故选：．
根据方程有解确定出的范围即可．
此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．依次移项，合并同类项，系数化为，解原方程，根据为正整数，得到几个关于的一元一次方程，解之，求出的值，相加求和即可得到答案．
【解答】
解：，
移项得：，
合并同类项得：，
若，则，无意义，舍去，
若，则，
为正整数，
或或或，
解得：或或或，
的值的和为：，
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次方程的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，当题中没有一些必须的量时，为了简便，可设其为甲乙效率之和工作时间，设工作总量为，求出甲乙的工作效率，然后求共同工作的时间．
【解答】
解：设注满水需要小时，则
  ，
解得 ．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．设解密得到的明文为，，，，根据加密规则求出，，，的值即可．
【解答】
解：设明文为，，，，
根据密文，，，，得到，，，，
解得：，，，，
则得到的明文为，，，．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明白盈利与亏本的含义，准确列出计算式，计算结果，难度一般．要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．
【解答】
解：设在这次买卖中原价都是，
则可列方程：，
解得：，
比较可知，第一件赚了元，
第二件可列方程：，
解得：，
比较可知亏了元，
两件相比则一共赔了元．
故选C．
 

7.【答案】 

【解析】解：用加减消元法解方程组时，要消去，可以将．
故选：．
方程组利用加减消元法变形，判断即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了二元一次方程组的解和加减消元法解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值把甲的结果代入第二个方程求出的值，把乙的结果代入第一个方程求出的值即可；将与的值代入方程组，求出解即可．
【解答】
解：由题意得： 

解得，
把代入方程组得：
解得，．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】解：是方程组的解，
，
两个方程相减，得，
，
故选：．
先根据解的定义将代入方程组，得到关于，的方程组．两方程相减即可得出答案．
本题考查了二元一次方程的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二元一次方程的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论本题中的等量关系：秒次数次数，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况．
【解答】
解：设秒的广告播次，秒的广告播次．
则，
每种广告播放不少于次，
，，或，；
当，时，
收益为：；
当，时，
收益为，
电视台在播放时收益最大的播放方式是：秒的广告播放次，秒的广告播放次，
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确找出等量关系，列出二元一次方程是解题的关键．
根据“路程速度时间”，分别计算出轿车行驶小时的路程和卡车行驶小时的路程，结合“一辆轿车行驶小时的路程比一辆卡车行驶小时的路程少千米”，列式整理后即可得到答案．
【解答】
解：根据题意得：

轿车行驶小时的路程为：千米，

卡车行驶小时的路程为：千米，

轿车行驶小时的路程比卡车行驶小时的路程少千米，

，

整理得：，，

故选：．

12.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：，
故选：．
根据“匹小马能拉片瓦，匹大马能拉片瓦”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题结合新定义考查解一元一次方程的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．根据新定义求出，，列方程求解即可．
【解答】
解：由题意得：，，
可化为：，
整理得，
移项合并得：，
系数化为得：．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
点表示的数是多项式的一次项系数，
点表示的数是，
运动后，点，，表示的数分别是：，，，
，
，



，
的值不随时间的变化而改变，
，
解得．
此时．
故答案为：．
根据非负性可求出和的值，根据多项式的定义得点表示的数，根据三个动点运动的速度，方向和时间表示运动后三点表示的数，由的值不随时间的变化而改变，可得答案．
此题考查了平方和绝对值的非负性，一元一次方程的应用，数轴以及动点运动问题，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可．
 

15.【答案】 

【解析】

解：，
，
解得；
，
，
，
则方程可以转化为，
则，
当，取不同值时，方程都有一个公共解，
，
解得．
故这个公共解为．
故答案为：；．
【分析】
根据新定义代入数据计算即可求解；
根据新定义可得，代入方程得到，则，根据当，取不同值时，方程都有一个公共解，得到方程组，解方程组即可求解．
本题考查了新定义，二元一次方程的解，关键是熟练掌握新定义运算．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用．
设李红出门没有买到口罩的次数是次，买到口罩的次数是次，根据买口罩的次数是次和家里现有口罩只，可列出关于和的二元一次方程组，求解即可．
【解答】
解：设李红出门没有买到口罩的次数是次，买到口罩的次数是次，由题意得：
，
整理得：，
解得：，
则李红出门没有买到口罩的次数是次．  

17.【答案】解：把代入方程得：，解得：，
把代入方程得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
则方程的正确解为． 

【解析】将代入方程，整理即可求出的值，将的值代入方程即可求出正确的解．
此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

18.【答案】解：方程的解为，
将代入方程得；
另一解为．
则或，
或；
方程的解为，
方程的解为，
关于的方程和是“兄弟方程”，
，
解得．
当时，；
，
所以这两个方程的解分别为和． 

【解析】本题考查了一元一次方程的解的定义和解一元一次方程，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．
根据新定义运算法则解答；
根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：或，解方程即可；
求得方程和的解，然后由“兄弟方程”的定义解答．
 

19.【答案】   

【解析】解：，
，
即线段的长为，线段的长为；
设点表示的数为，则
，
解得，即点表示的数为；
由题意得：
，
解得；
或．
根据绝对值的定义计算即可；
设点坐标为，再根据与点、距离相等列出计算式即可；
根据“动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿数轴负方向运动”列出方程即可；
根据“”，根据绝对值的定义列出方程计算即可．
本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意找出等量关系列出方程计算时解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：点到点，点的距离相等，
，
解得，
故答案为：；
存在，
当时，，解得，
当时，，无解；
当时，，解得，
综上所述，的值为或；
运动后表示的数为，边上的数为，表示得数为，
，，
，
，
解得或．
根据点到点，点的距离相等列出方程即可得答案；
分、、分别列出方程，即可解得答案；
运动后表示的数为，边上的数为，表示得数为，表示出，，根据列方程即可求出的值．
本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含的代数式表示、、运动后表示的数，从而表示出和，再列方程解决问题．
 

21.【答案】解：是的解，
，
．
，． 

【解析】利用二元一次方程组的解的意义解答即可．
本题主要考查了二元一次方程组的解的意义，将未知数的值代入原方程组解答是解题的关键．
 

22.【答案】解：关于、的二元一次方程组与有相同的解，
可得新方程组，
解这个方程组得；
把，代入，
得，
解得：，
． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
首先联立两个方程组中不含、的两个方程求得方程组的解；
把，代入两个方程组中含、的两个方程从而得到一个关于，的方程组求解即可．
 

23.【答案】解：方程，，
解得：，
当时，；当时，，
方程的所有正整数解为：，；
由题意得：，解得，
把代入，解得；
，
，
当时，，
即固定的解为：，
，
得：，
，
，
恰为整数，也为整数，
是的约数，
或，
或． 

【解析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键．
将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解；
将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值；
当含项为零时，取，代入可得固定的解；
表示出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，确定的值．
 

24.【答案】解：设商品打折前的单价为元，商品打折前的单价为元，
由题意：，
解得：，
则．
答：打折后，买件商品和件商品用了元，比不打折少花了元钱． 

【解析】设商品打折前的单价为元，商品打折前的单价为元，由题意：打折前，买件商品和件商品用了元，买件商品和件商品用了元．列出二元一次方程组，解方程组得出、的值，再由总价打折前的单价数量结合打折后的总价为元，即可求出节省的钱数．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组的应用．
 

25.【答案】解：依题意有：，
解得．
故小长方形的相邻两边长是，；
个小长方形的周长为，个大长方形的周长为，
：．
故个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是定值；
依题意有：，
化简得．
故和满足的关系式为． 

【解析】根据大长方形的相邻两边长分别为和，列出方程组计算可求小长方形的相邻两边长．
分别求出个小长方形的周长与大长方形的周长，再求出它们的比值即可求解；
根据长方形的面积公式即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，列代数式，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．