沪科版数学七年级上册专题6.3 期末专项复习之一次方程与方程组二十五大必考点（2份，原卷版+解析版）

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专题6.3一次方程与方程组二十五大考点【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32351" 【考点1 方程、一元一次方程的概念】  PAGEREF _Toc32351 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5235" 【考点2 方程、一元一次方程的解】  PAGEREF _Toc5235 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc6579" 【考点3 同解方程】  PAGEREF _Toc6579 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc17130" 【考点4 根据方程的解情况求值】  PAGEREF _Toc17130 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc11788" 【考点5 方程遮挡问题】  PAGEREF _Toc11788 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc17220" 【考点6 判断方程解的情况】  PAGEREF _Toc17220 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7922" 【考点7 等式的基本性质】  PAGEREF _Toc7922 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7253" 【考点8 一元一次方程的解法】  PAGEREF _Toc7253 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc2962" 【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】  PAGEREF _Toc2962 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32158" 【考点10 一元一次方程中的错看问题】  PAGEREF _Toc32158 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc18020" 【考点11 一元一次方程中的新定义问题】  PAGEREF _Toc18020 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc13506" 【考点12 一元一次方程中的动点问题】  PAGEREF _Toc13506 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc24393" 【考点13 绝对值方程】  PAGEREF _Toc24393 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc20421" 【考点14 列一元一次方程并求解】  PAGEREF _Toc20421 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc31562" 【考点15 一元一次方程的应用】  PAGEREF _Toc31562 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc23098" 【考点16 一元一次方程中的数形结合问题】  PAGEREF _Toc23098 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc20384" 【考点17 二元一次方程（组）的概念】  PAGEREF _Toc20384 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc21693" 【考点18 二元一次方程组的解】  PAGEREF _Toc21693 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc430" 【考点19 解二元一次方程组】  PAGEREF _Toc430 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16753" 【考点20 二元一次方程的整数解】  PAGEREF _Toc16753 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc31761" 【考点21 二元一次方程组的特殊解法】  PAGEREF _Toc31761 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc13671" 【考点22 二元一次方程组的新定义问题】  PAGEREF _Toc13671 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc2295" 【考点23 二元一次方程（组）的应用】  PAGEREF _Toc2295 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc7684" 【考点24 三元一次方程组的解法】  PAGEREF _Toc7684 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc17492" 【考点25 三元一次方程组的应用】  PAGEREF _Toc17492 \h 17【考点1 方程、一元一次方程的概念】【例1】（2022·湖南·七年级单元测试）下列方程中，一元一次方程共有（    ）个①4x﹣3＝5x﹣2；②3x﹣4y；③3x＋1＝；④＋＝0；  ⑤；⑥x﹣1＝12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）若方程是关于的一元一次方程，则这个方程的解是（    ）A．1 B．-1 C．3 D．-3【变式1-2】（2022·山东·泰安市泰山区大津口中学阶段练习）下列式子中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦是方程的有_________，是一元一次方程的有________（填序号）．【变式1-3】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级期中）关于x的方程a-3x=bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（　　）A．b≠-3 B．b=-3 C．b=-2 D．b为任意数【考点2 方程、一元一次方程的解】【例2】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）下列方程中，解是x＝2的方程是（　　）A．2x＝5x+14 B． C．2（x﹣1）＝1 D．2x﹣5＝1【变式2-1】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级阶段练习）下列方程后所列出的解不正确的是（    ）A． B．C． D．【变式2-2】（2022·江苏扬州·七年级期末）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时对应的整式的值：则关于x的方程﹣mx﹣n＝8的解为_____．【变式2-3】（2022·江西抚州·七年级期中）若方程的解是，则关于未知数的方程的解是______．【考点3 同解方程】【例3】（2022·四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）方程3x＋6＝0与关于x的方程3x＝2﹣2m的解相同，则m的值为（    ）A．﹣2 B．2 C．3 D．4【变式3-2】（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校七年级期中）已知关于x的方程2x=8与x+2＝－k的解相同，则代数式　的值是（    ）A．－ B． C．－ D．【变式3-3】（2022·广东惠州·七年级期末）若方程与的解相同，求a的值．（解方程要有详细步骤）．【考点4 根据方程的解情况求值】【例4】（2022·上海市奉贤区青溪中学八年级期末）如果关于x的方程（a+1）x＝+1无解，那么a的取值范围是（　　）A．a＝−1 B．a＞−1 C．a≠−1 D．任意实数【变式4-1】（2022·全国·七年级专题练习）关于x的方程有无穷多个解，则______．【变式4-2】（2022·全国·七年级专题练习）已知．当时，；当时，．则方程的解可能是（    ）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05【变式4-3】（2022·内蒙古通辽·七年级期末）若关于x的方程的解为整数，则正整数m的值为______．【考点5 方程遮挡问题】【例5】（2022·重庆黔江·七年级期末）方程中被阴影盖住的是一个常数．已知此方程的解是．则这个常数是(    )A． B． C． D．【变式5-1】（2022·河南开封·七年级期末）某书中一道方程题，处印刷时被墨盖住了，查后面答案，这道题的解为，那么处的数字为______．【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）小磊在解方程时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．【变式5-3】（2022·浙江杭州·中考真题）计算：．圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．(1)如果被污染的数字是，请计算．(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．【考点6 判断方程解的情况】【例6】（2022·江西抚州·七年级期中）若，则方程的解有（    ）A．只有一个解 B．只有一个解或无解C．只有一个解或无数个解 D．无解【变式6-1】（2022春•嵩县期中）当a＝1时，方程（a﹣1）x+b＝0（其中x是未知数，b是已知数（　　）A．有且只有一个解 B．无解 C．有无限多个解 D．无解或有无限多个解【变式6-2】（2022•顺德区模拟）已知关于x的方程（a﹣2）x＝b+3．（1）若原方程只有一个解，则a　　，b　　．（2）若原方程无解，则a　　，b　　．（3）若原方程有无数多个解，则a　　，b　　．【变式6-3】（2022·全国·七年级课时练习）若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　）A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解C．只有一个解 D．无解【考点7 等式的基本性质】【例7】（2022·辽宁·葫芦岛市实验中学七年级阶段练习）下列各式运用等式的性质变形，错误的是（   ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式7-1】（2022·河南·西峡县城区二中七年级阶段练习）、、为有理数，下列变形不正确的是（   ）A．如果，那么； B．如果，那么；C．如果，那么； D．如果，那么．【变式7-2】（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如图是方程的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有（     ）A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤【变式7-3】（2022·广东广州·七年级期末）四个数w、x、y、z满足x－2021＝y+2022＝z－2023＝w+2024，那么其中最小的数是_____，最大的数是______．【考点8 一元一次方程的解法】【例8】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）解方程：(1)0.5x-0.7=6.5-1.3x；(2)5(x+6)=6(2x-7)+9；(3)；(4)．【变式8-1】（2022·上海市罗南中学阶段练习）解方程：14%x﹣9%（x+10）＝7%x﹣0.2．【变式8-2】（2022·湖南·邵阳市第十六中学七年级期末）解下列方程：(1)(2)【考点9 换元法、整体代入法解一元一次方程】【例9】（2022·江苏·南通市八一中学七年级阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（　　）A．2013 B． C．2023 D．【变式9-1】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）当x＝1时，式子ax3+bx+1的值是2，则方程的解是 _____．【变式9-2】（2022·山东德州·七年级阶段练习）用整体思想解方程3（2x－3）- （3－2x）=5（3－2x）+（2x－3）【变式9-3】（2022·浙江杭州·七年级期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．【考点10 一元一次方程中的错看问题】【例10】（2022·全国·七年级专题练习）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（    ）A．3 B． C．4 D．【变式10-1】（2022·四川·威远县凤翔中学七年级期中）小李在解方程（x为未知数）时，误将看作，解得方程的解，则a＝________，原方程的解为________．【变式10-2】（2023·河北·九年级专题练习）已知关于x的方程的解为，则a的值为______；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的-1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为______．【变式10-3】（2022·山东枣庄东方国际学校七年级阶段练习）嘉淇解方程+1＝时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1．(1)试求a的值；(2)求原方程的解．【考点11 一元一次方程中的新定义问题】【例11】（2022·全国·七年级专题练习）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a、b两数中较小的数，例如min{2，-4}＝-4，则方程min{x，-x}＝3x＋4的解为（  ）A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2【变式11-1】（2022·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们规定了一种运算：＝ad﹣bc，例如＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当＝19时，求x的值．【考点12 一元一次方程中的动点问题】【变式12-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在中，cm，射线，动点E从点A出发沿射线的AG方向以每秒2cm的速度运动，点E出发1秒后，动点F从点B出发在线段BC上以每秒4cm的速度向点C运动．当点F运动到点C时，点E随之停止运动．连接AF，CE．设点E的运动时间为t（秒），当的面积等于的面积时，t的值为______（秒）【变式12-2】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________． 【变式12-3】（2022·上海理工大学附属初级中学期中）已知：中，，，，是最小的合数，、满足等式：，点是的边上一动点，点从点开始沿着的边按顺序顺时针移动一周，回到点后停止，移动的路径为，移动的速度为每秒3个单位长度．如图1所示．(1)试求出的周长；(2)当点移动到边上时，化简：；(3)如图2所示，若点是边上一动点，、两点分别从、同时出发，即当点开始移动的时候，点从点开始沿着的边顺时针移动，移动的速度为每秒5个单位，试问：当为何值时，， 两点的路径(在三角形边上的距离）相差3？此时点在哪条边上？【考点13 绝对值方程】【例13】（2022·四川·安岳县九韶初级中学七年级阶段练习）方程的解是，那么______．【变式13-1】（2022·全国·七年级专题练习）已知方程是关于x的一元一次方程．(1)求代数式的值；(2)求关于y的方程m|y－2|＝x的解．【变式13-2】（2022·江苏·南通市新桥中学七年级阶段练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值号，转化为一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|＝3．解：当x≥0时，原方程可化为x+2x＝3，解得x＝1，符合题意；当x＜0时，原方程可化为x-2x＝3，解得x＝-3，符合题意．所以，原方程的解为x＝1或x＝-3．仿照上面的解法，解方程 - 8＝－．【变式13-3】（2022·全国·七年级专题练习）有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程，解：当时，方程可化为：，解得，符合题意；当时，方程可化为：，解得，符合题意．所以，原方程的解为或．请根据上述解法，完成以下两个问题：（1）解方程：；（2）试说明关于的方程解的情况．【考点14 列一元一次方程并求解】【例14】（2022·江苏·南通第一初中七年级阶段练习）已知关于x的代数式2x﹣5和5x﹣2互为相反数，则x的值为 _____．【变式14-1】（2022·黑龙江·绥芬河市第三中学七年级期中）已知与的常数项相同，则__________．【变式14-2】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）等于什么数时，代数式的值比的值小1．【变式14-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）若与8之和的2倍等于与1之差的3倍，则______．【考点15 一元一次方程的应用】【例15】（2022·山东滨州·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产品中有______瓶大瓶产品．【变式15-1】（2022·福建泉州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道数学题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人几何？其大意是：今有若干人乘车，每3人共乘一车，剩余2辆车没人乘坐；若每2人共乘一车，剩余9个人没有车可乘坐．问共有多少人？【变式15-2】（2022·河北承德·七年级期末）小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜．(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．【变式15-3】（2022·江苏镇江·七年级期末）某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表：例如：寄往省内一件千克的物品，运费总额为：元．寄往省外一件千克的物品，运费总额为：元．（下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费）(1)小明同时寄往省内一件3千克的物品和省外一件千克的物品，各需付运费多少元？(2)小明寄往省内一件重千克，其中m是大于1的正整数，n为大于0且不超过的小数（即），则用含字母m的代数式表示小明这次寄件的运费为________；(3)小明一次向省外寄了一件物品，用了36元，你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗？【考点16 一元一次方程中的数形结合问题】【例16】（2022·全国·七年级课时练习）如图，在数轴上点 O是原点，点 A、B．、C．表示的数分别是﹣12、8、14．若 点 P从点 A出发以 2 个单位/秒的速度向右运动，其中由点 O运动到点 B．期间速度变为原来的 2 倍，之后立刻恢复原速，点 Q从点 C．出发，以 1 个单位/秒的速度向左运动，若点 P、Q同时出发，则经过__秒后，P、Q两点到点 B的距离相等．【变式16-1】（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，点A与点D在单位长度为1的数轴上，且表示的数互为相反数．(1)请填写：点B表示的有理数为________，点C表示的有理数为________；(2)若数轴上点P到点B、点C的距离之和等于7，则点P表示的数是________；(3)数轴上动点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时另一动点N从点C出发以每秒2个单位长度的速度也向左运动．运动t秒后M、N两点间的距离为1，求出t的值，并求此时点M的位置．【变式16-2】（2022·河南平顶山·七年级期末）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为．当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右边，； ②如图3，点、都在原点的左边，；③如图4，点、在原点的两边，；综上，数轴上、两点之间的距离．回答下列问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示和的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示和的两点A和之间的距离是______，如果，那么______；(3)解方程．【变式16-3】（2022·山东烟台·期末）如图所示，已知数轴上点A表示的数为140，B是数轴上一点，且AB=210．动点M从A出发，以（单位长度∕秒）的速度沿数轴向左匀速运动．(1)如图1，数轴上点B表示的数是　 ；运动4秒时动点M表示的数是　 　（用含的代数式表示）；(2)如图2，在点M从A向左运动的同时，动点P、N同时从B、A出发向右运动，已知点P的速度是M速度的2倍，点N的速度是M速度的3倍，经过y秒，点P、N之间的距离为　 　，点M、N之间的距离为　 　(3)如图2，若经过6秒时，点P、N之间的距离是点M、N之间的距离的2倍，求动点M的速度．【考点17 二元一次方程（组）的概念】【例17】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级阶段练习）方程①2x﹣3y＝1，②xy＝﹣2，③＝5，④x﹣+2＝0中，为二元一次方程的是（　　）A．① B．② C．③ D．④【变式17-1】（2022·上海·期末）下列方程组中，二元一次方程组有（   ）①；②；③；④．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式17-2】（2022·全国·八年级单元测试）已知是关于，的二元一次方程，则的值为________．【变式17-3】（2022·浙江·杭州市大关中学七年级期中）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________．【考点18 二元一次方程组的解】【例18】（2022·浙江·华东师范大学附属杭州学校七年级期中）方程组的解为，则被遮盖的两个数和分别为(   )A．， B．， C．， D．，【变式18-1】（2022·陕西·商洛市山阳信毅九年制学校七年级阶段练习）乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的a，解得，果果看错了方程②中的b，解得，求的值．【变式18-2】（2022·江苏·无锡市查桥中学七年级阶段练习）若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ）A．x+2y= -3 B． C． D．【变式18-3】（2022·陕西汉中·七年级期末）已知关于、的方程组，则下列结论中正确的有(    )①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，；③不论取什么数，的值始终不变．A．个 B．个 C．个 D．个【考点19 解二元一次方程组】【例19】（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）关于，方程组满足，的和为2，则的值为______．【变式19-1】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知方程组的解也是方程组的解求的值．【变式19-2】（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）解方程组(1)(2)【变式19-3】（2022·江苏泰州·七年级期末）在等式y＝ax2＋bx＋1中，当x＝－1时，y＝6；当x＝2时，y＝11．（1）求a，b的值；（2）当x＝－3时，求y的值．【考点20 二元一次方程的整数解】【例20】（2022·上海市静安区实验中学课时练习）二元一次方程3x+8y=27的所有正整数解为_________；整数解有_______个．【变式20-1】（2022·全国·七年级课时练习）已知关于x的方程有整数解，求满足条件的所有整数k的值．【变式20-2】（2022·重庆一中八年级开学考试）对任意一个四位数m，若m满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“M数”，将一个“M数”m的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如，“M数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123，这四个新三位数的和为，，所以．(1)计算：，；(2)若“M数”（，，x，y都是正整数），也是“M数”，且能被8整除．求的值．【变式20-3】（2022·重庆涪陵·七年级期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数，若的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数为“三峡数”．当三位自然数为“三峡数”时，交换的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数，规定．例如：当时，因为，所以583是“三峡数”；此时，则．(1)判断341和153是否是“二峡数”？并说明理由；(2)求的值；(3)若三位自然数（即的百位数字是，十位数字是，个位数字是，，，，是整数，）为“三峡数”，且时，求满足条件的所有三位自然数．【考点21 二元一次方程组的特殊解法】【例21】（2022·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）数学方法：解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法．(1)直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组，的解为，那么关于m、n的二元一次方程组的解为： ．(2)知识迁移：请用这种方法解方程组．(3)拓展应用：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【变式21-1】（2022·上海市复旦实验中学八年级期中）用换元法解方程组时，可设则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为_____．【变式21-2】（2022·陕西·西大附中浐灞中学八年级期末）解方程组：【变式21-3】（2022·北京朝阳·七年级期中）阅读下列材料并填空：（）对于二元一次方程组我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，求得一次方程组的解，用数可表示为．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：．从而得到该方程组的解为．（）仿照（）中数表的书写格式写出解方程组的过程．【考点22 二元一次方程组的新定义问题】【例22】（2022·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，，则关于和的二元一次方程组的解为（    ）A． B． C． D．【变式22-1】（2022·江苏·盐城市初级中学七年级期中）如果一个正整数m=a²-b²(a,b均为正整数，且a≠b)我们称这个数为“平方差数”，则a,b为m的一个平方差分解，规定：F(m)=,例如：8=81=42，由8= a²-b²=，可得或.因为a,b为正整数，解得，所以F（8）=.试求F（45）的值为_____.【变式22-2】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．(1)若2※2 =-3，求x- y的值；(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．【变式22-3】（2022·江苏南通·七年级期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：，其中（，为常数）．例如，当，时，．(1)当，时，__________；(2)若，求和的值；(3)如果组成数对的两个数，满足二元一次方程时，总有，则__________，__________．【考点23 二元一次方程（组）的应用】【例23】（2022·河南·南阳市第十九中学七年级阶段练习）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？(2)现有45吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？(3)若1辆甲种货车需租金120元/次，1辆乙种货车需租金100元次．请求出（2）中哪种租车方案费用最少，最少费用是多少？【变式23-1】（2022·重庆大足·七年级期末）今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．【变式23-2】（2022·重庆铜梁·七年级期末）端午节临近，某超市热销A、B、C三种粽子，其中其每千克B种粽子的成本价比每千克A种粽子的成本价高50%，每千克C种粽子的成本价是每千克A种粽子的成本价的2倍．最近，超市打算将三种粽子混装配成甲、乙、丙三种礼品盒进行销售（礼品盒的盒子成本价不计）．其中甲礼品盒有A种粽子3千克、B种粽子2千克、C种粽子2千克；乙礼品盒有A种粽子2千克、B种粽子3千克、C种粽子3千克；丙礼品盒有A种粽子4千克、B种粽子2千克、C种粽子4千克．销售时，每个丙礼品盒在成本价基础上提高后销售，甲、乙礼品盒的利润率都为20%．端午节前一天，该超市售出这三种礼品盒后获利25%，已知售出甲、丙礼品盒两种共25盒，且甲礼品盒不低于12个．则该超市当天售出三种礼品盒共______个．【变式23-3】（2022·重庆·模拟预测）唐代诗人杜甫曾到“读书破万卷，下笔如有神”．为了提升全民素养，某书店搞了一次现场促销活动，活动中名著和儿童读物两类图书套装优惠力度较大，其中每一类套装里含有线装本，精装本，平装本三种不同材质的图书，两类图书套装中相同材质图书的售价相同，且每一类套装中数量均为44本，其中名著套装内线装本，精装本，平装本数量之比为4：3：4，儿童读物套装内线装本，精装本，平装本数量之比为3：6：2．已知一套名著套装和一套儿童读物套装的售价之和与62本精装本图书的售价相同，一本精装本图书售价是一本线装本图书售价的2倍，每套名著套装的利润率为20%，每套儿童读物套装的利润率为36%，则当销售名著套装与儿童读物套装的数量之比为9：14时，该书店销售这两类套装的总利润率为______．【考点24 三元一次方程组的解法】【例24】（2022·四川·隆昌市知行中学七年级阶段练习）已知、、是三个非负实数，满足，，若，则的最大值与最小值的和为　　A．5 B．6 C．7 D．8【变式24-1】（2022·全国·七年级课时练习）解下列三元一次方程组：（1）；（2）．【变式24-2】（2022·广东·可园中学七年级期中）在等式中，当时，；当时，：当时，．(1)求，，的值；(2)求当时，的值．【变式24-3】（2022·吉林长春·七年级阶段练习）已知三个方程构成的方程组，，，恰有一组非零解，，，则________．【考点25 三元一次方程组的应用】【例25】（2022·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校九年级期中）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．【变式25-1】（2022·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（    ）A．元 B．元 C．元 D．元【变式25-2】（2022·重庆市永川区教育科学研究所一模）某中学科技节颁奖仪式隆重举行，其中小科技创新发明奖共有60人获奖，原计划特等奖5人，一等奖15人，二等奖40人．后来经校领导开会研究决定，在该项奖励总奖金不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：特等奖8人，一等奖18人，二等奖34人，调整后特等奖每人奖金降低40元，一等奖每人奖金降低20元，二等奖每人奖金降低10元，调整前一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多70元，则调整后特等奖每人奖金比一等奖每人奖金多_______元．【变式25-3】（2022·重庆丰都·七年级期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．丰都县某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成的A、B、C三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售．其中甲礼包含1条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾；乙礼包含2条A品牌毛巾、2条B品牌毛巾，3条C品牌毛巾；丙礼包含2条A品牌毛巾、4条C品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和．5月1日当天，超市对A、B、C三个品牌毛巾的售价分别打8折、7折、5折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的40%，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少0.8元，若A、B、C三个品牌的毛巾原价都是正整数，且B品牌毛巾的原价不超过11元，则小明在5月1日购买一个丙礼包，应该付________元．x﹣2﹣1012mx+n﹣12﹣8﹣404种类配餐价格（元）优惠活动A餐1份盖饭20消费满150元，减24元消费满300元，减48元……B餐1份盖饭＋1杯饮料28C餐1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜32寄往本省内寄往周边省份首重续重首重续重8元/千克5元/千克12元/千克6元/千克说明：①每件快递按送达地（省内，省外）分别计算运费．②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以千克为一个计重单位（不足克按千克计算）．甲种货车（辆）乙种货车（辆）总量（吨）第一次4531第二次3630