专题42 数列求和-备战2024年高考艺术生40天突破数学90分讲义

专题42 数列求和  【知识点总结】求数列前项和的常见方法如下：（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式.（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列.（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式.常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律.（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项.（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和.【典型例题】例1．（2023春·安徽蚌埠·高二蚌埠二中校考阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______．【答案】2022【解析】由，令，则，两式相加得：，∴．故答案为：2022例2．（2023·四川凉山·二模）已知对于任意函数在点处切线斜率为，正项等比数列的公比，且，又与的等比中项为2．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解析】（1）由题意，∴；由题可得，所以或（舍）所以，；（2）由题可知，所以，，所以，，即.例3．（2023·四川巴中·统考一模）已知数列满足，．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前n项和．【解析】（1）由等比数列求解，进而根据错位相减法即可求和.【详解】（1）由得：由知：∴，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）方法一由（1）得：，∴∴  ①  ②②-①得：∴．方法二由（1）得：，∴∴  ①  ②①-②得：∴．例4．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由，得，所以，累乘得，又，所以时，，当时，，符合上式，所以.（2）由（1），得，所以.例5．（2023春·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考阶段练习）已知是等差数列的前n项和，，．(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和.【解析】（1）由，则，故，所以.（2）由（1）知：，.例6．（2023·上海黄浦·统考一模）已知是等差数列，是等比数列，且，，，.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前2n项和.【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则，，，又，可得，所以.（2）由（1）可得，故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，所以，所以数列的前2n项和为：.即: 数列的前2n项和为.例7．（2023春·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知数列满足：.(1)求证：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式及其前项和的表达式.【解析】（1）由题意可知，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.（2）由（1）可知，，即前项和.例8．（2023春·河北承德·高三兴隆县第一中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，(1)求的通项公式；(2)记，若数列的前项和.【解析】（1）由题知即解得，所以.（2）.例9．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知数列的前项和为，且满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式及.【解析】（1）依题意，，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得，所以，所以.例10．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）∵，∴.又∵，∴，即，∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，∴，即，解得.∴；（2）由（1）可知，∴∴.例11．（2023·全国·模拟预测）在数列中，，．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【解析】（1）因为在数列中，，，所以，，所以，等式两边同加上得，因为，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，．（2）因为，即所以，为单调递减数列，因为，，所以，时，，时，，记的前项和为，则，所以，当时，，；当时，，，①，②所以，①②得：，即，综上，  【技能提升训练】一、单选题1．（2023·内蒙古通辽·校考二模）若数列的首项为且满足数列的前4项和=（   ）A．33 B．45 C．48 D．78【答案】D【解析】由，得，故是首项为，公比为2的等比数列，故，则，所以数列的前4项和为.故选：D.2．（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，当时，，当时，，当时，也满足，∴ 数列的通项公式为，，     故选：C3．（2023秋·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考期末）在数列中，已知且，则其前项和的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意得．故选：B．4．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（    ）A． B．C． D．数列的前和为【答案】C【解析】对于A，设等差数列 的公差为 , 前 项和为 , 由 , 可得 , 解得 2 , 则 , 故选项A正确;由得， , 11,，故选项B正确；=n=,故选项C错误；由 可得 , 即数列 的前 项 和 为 .故选项D正确.故选：C.二、填空题5．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）对于正整数，将其各位数字之和记为，如，，则______.【答案】【解析】方法一：由定义易知，，由此可知，，进而有，，进而有，，而，故.方法二：考虑每一位上的数字出现次数，千位数字仅有1和2，之和为：，百位数字之和为：，十位数字之和为；，个位数字之和为：，综上可知，.故答案为：.6．（2023·广西·校联考模拟预测）数列的前10项和为__________.【答案】【解析】，故.故答案为：.7．（2023·全国·高三专题练习）已知正整数n满足：则n＝______【答案】6【解析】依题意，，解得.故答案为：6.8．（2023秋·江苏常州·高二常州市第一中学校考期末）已知函数满足，若数列满足，则数列的前16项的和为______.【答案】【解析】，①，②两式相加，又因为，故，所以，所以的前16项的和为故答案为：三、解答题9．（2023春·安徽·高二安徽省太和中学校联考阶段练习）已知各项均为正数的数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）由知数列是以为公差的等差数列.又，所以，即解得或（舍去），所以.（2）因为，所以①，②，①②得：，所以，.10．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若，的前项和为，求的值域.【解析】（1）因为，所以，即  当时，，则，整理得（）， 则数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故，也满足  所以.（2）由（1）得所以；显然又因为，单调递增（），所以，所以的值域是.11．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列满足，．(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和．【解析】（1）∵为等比数列，则，且，可得，设数列的公比为，则．∵，则，可得，∴．（2）由（1）知，则，，∴，①，②得，∴．12．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，求的前20项和.【解析】由题意知数列满足，可得；所以所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而由等差数列前项和公式可得数列的前20项和为：13．（2023·全国·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)求；(2)若是与的等比中项，且，求数列的前项和．【解析】（1）解法一：当为偶数时，设， ，，所以．当为奇数时，设，则，，所以．综上，．解法二： 因为，，所以，得，当时，，所以，所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，所以．（2）由题意可得，，因为，所以，所以，所以．14．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）记数列{an}的前n项和为Sn，对任意正整数n，有2Sn＝nan，且a2＝3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对所有正整数m，若ak＜2m＜ak＋1，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.【解析】（1）由，则，两式相减得：， 整理得：，即时，，所以时， ，又时，，得，也满足上式.故.（2）由.所以，又，所以前40项中有34项来自.故.15．（2023春·河北唐山·高三开滦第一中学校考阶段练习）已知为等差数列的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，的前n项和为，证明：．【解析】（1）由设数列的公差为，则 解得，，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以；（2）由，可得，所以,又，故.16．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知正项数列中，．(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和．【解析】（1）当时，，解得，由当时，，得当时，，两式相减得，即，又，所以，又适合上式，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以；（2），则，，两式相减得，所以.17．（2023·全国·校联考模拟预测）在数列中，，点在直线上.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【解析】（1）依题意，，即，因此数列是公差为3的等差数列，则，所以数列的通项公式是.（2）由（1）得，则，于是，两式相减得，所以.18．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）设，向量，，．(1)令，求证：数列为等差数列；(2)求证：．【解析】（1）由题意可得：，则，可得，故数列是以首项，公差的等差数列.（2）由（1）可得：，则，∵，故.19．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列是正项等比数列，且，.(1)求的通项公式；(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列的前项和.①；②.【解析】（1）由等比数列的性质可得，由题意可得，解得，所以，等比数列的公比为，所以，.（2）若选①，.所以，，①则，②①②得，因此，；若选②，，所以，.20．（2023·云南昆明·统考一模）已知数列的前项和为，，且满足(1)设，证明：是等比数列(2)设，数列的前项和为，证明：【解析】（1）由题设，，则，所以，即，而，故是首项与公比都为的等比数列.（2）由（1），即，当时，，显然满足上式，所以，则，则，又时，所以且，故.21．（2023·广东湛江·统考一模）已知，为数列的前n项和，．(1)证明：数列为等比数列；(2)设数列的前n项和为，证明：．【解析】（1），，．由，得，，所以，故，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．（2），故，所以．22．（2023·贵州黔东南·统考一模）已知数列满足．(1)求的通项公式；(2)已知求数列的前20项和．【解析】（1）当时，可得，当时，，，上述两式作差可得，因为满足，所以的通项公式为.（2）因为，所以，.所以数列的前20项和为.23．（2023·山东泰安·统考一模）已知等差数列是递增数列，为数列的前n项和，，，，成等比数列.(1)求；(2)求.【解析】（1）设等差数列的公差为d，，，即整理得，解得，或（舍）所以故，（2）由（1）知，，所以，所以，则，.24．（2023·河南郑州·统考一模）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列前项和．【解析】（1）由题意当时，；当时，两式相减得，所以，当时也成立．所以数列的通项公式.（2）根据题意，得所以所以25．（2023·广西·统考模拟预测）记为等比数列的前项和.已知.(1)求；(2)设求数列的前项和.【解析】（1）设等比数列的公比为.由题意，可知，解得：，.（2）由题设及（1）可知：当为奇数时，，当为偶数时，，故，26．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足.(1)求的值及数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【解析】（1）因为，所以时，，所以.又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，综上.（2）由（1）知，当时，，当时，所以.27．（2023·河北石家庄·统考一模）已知等差数列的前n项和记为（），满足．(1)若数列为单调递减数列，求的取值范围；(2)若，在数列的第n项与第项之间插入首项为1，公比为2的等比数列的前n项，形成新数列，记数列的前n项和为，求．【解析】（1）设等差数列的公差为，由于，所以，解得，所以，若数列为单调递减数列，则对于恒成立，所以在上恒成立，则，所以，又数列为递增数列，所以，即，故的取值范围为；（2）若，则，根据题意数列为：第一组为：1，；第二组为：，，；第三组为：，，，；……第组为：，，，，…，；则前组一共有项，当时，项数为.故相当于是前组的和再加上这五项，即：设，则可看成是数列的前项和所以.28．（2023·山西·校联考模拟预测）已知数列满足，，且，，成等差数列.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）∵，∴.又∵，∴，即，∴数列是公比为2的等比数列.又∵，，成等差数列，∴，即，解得.∴；（2）由（1）可知，∴∴.