专题41 数列求和 -2024年新高考数学艺术生突破90分精讲

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题41 数列求和
【知识点总结】
求数列前项和的常见方法如下：
（1）公式法：对于等差、等比数列，直接利用前项和公式．
（2）错位相减法：数列的通项公式为或的形式，其中为等差数列，为等比数列．
（3）分组求和法：数列的通项公式为的形式，其中和满足不同的求和公式．常见于为等差数列，为等比数列或者与分别是数列的奇数项和偶数项，并满足不同的规律．
（4）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．
（5）倒序相加：应用于等差数列或转化为等差数列的数列求和．
【典型例题】
例1．（2024·高二·江西抚州·阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子.在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成;因此，此方法也称之为高斯算法.现有函数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
且，
令,
又
，
两式相加得：，
解得，
故选：B
例2．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，设从上往下各层的球数构成数列，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】注意到，则.
则
.
故选：B
例3．（2024·高三·江苏南京·开学考试）在数列中，已知，，则的前11项的和为（ ）
A．2045B．2046C．4093D．4094
【答案】C
【解析】由，得，而，解得，
所以的前11项的和
.
故选：C
例4．（2024·江西萍乡·二模）已知函数，等差数列满足，则 ．
【答案】/
【解析】.
依题意是等差数列，
令，
，
结合等差数列的性质，两式相加得.
故答案为：.
例5．（2024·甘肃陇南·一模）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为 .
【答案】240
【解析】由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240
例6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：．
【解析】（1），故为常数列，
其中，故，
故，即；
（2），设的前项和为，
则①，②，
两式①-②得，
，
故.
例7．（2024·高三·山西太原·期末）已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设的公差为，由题意得
；
当时，则，，
当时，则，，，
是以1为首项，3为公比的等比数列，
；
（2）由（1）得，
，①
，②
①－②得，
.
例8．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）等差数列的前项和为，其中；
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由题可得：，又，解得，
故.
（2），
故.
故数列的前项和.
例9．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求．
【解析】（1）设数列的公差为，由，
则，解得，故；
（2）由（1）得．
.
例10．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，证明：．
【解析】（1）设的公差为，则根据题意有，
解之得，所以，
即的通项公式为；
（2）由上可知，
所以，
则，
易知,
.
例11．（2024·高二·江苏南京·期末）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和为．
【解析】（1）①，
当时，，解得，
当时，②，
式子①-②得，故，
因为，所以，所以，
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2），
.
例12．（2024·高三·重庆·期末）已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．
【解析】（1）设数列的公差为，
则，，解得,
故；
（2）由可得前11项分别为
故的前11项分别为
所以
.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高二·湖北·阶段练习）高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．小学进行的求和运算时，他这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据以上提示探求：若，则（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【答案】B
【解析】根据等比数列的下标性质由，
∵函数，∴，
令，则，
∴，∴．
故选：B
2．（2024·高二·全国·课时练习）已知函数，数列满足，则（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
【答案】A
【解析】∵，
∴．
∵，
∴．令，
则，两式相加得，
∴．
故选:A
3．（2024·高三·宁夏石嘴山·期中）已知数列满足，，则其前6项之和是（ ）
A．16B．20C．33D．120
【答案】C
【解析】因为，
∴，，，，，
∴其前6项之和是.
故选：C．
二、多选题
4．（2024·高二·山西大同·期末）已知数列的前项和为，首项，且满足，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．数列是等比数列B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A选项，
取，得，又，所以，
取，得，所以，显然，
即数列一定不是等比数列，所以A错误；
对于B选项，
取，得，取，得，所以，所以B正确；
对于C，D选项，
由，得，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，
，，
，
所以C，D均正确．
故选:BCD．
三、填空题
5．（2024·高二·安徽蚌埠·阶段练习）已知，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得 ．
【答案】2022
【解析】由，
令，
则，
两式相加得：，
∴．
故答案为：2022
6．（2024·高三·全国·阶段练习）已知数列满足，则 ， .
【答案】 3
【解析】由题意，得，则数列为首项为1公差为3的等差数列，
所以，得，则；
由，得，
即，
所以.
故答案为：；3
7．（2024·陕西西安·二模）已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ．
【答案】
【解析】由题意，数列的通项公式为，
可得
.
故答案为：.
8．（2024·高三·河南·专题练习）数列，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前50项的和 .
【答案】34
【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，
将的每一项除以2所得余数构成的新数列为1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，
这是一个周期数列，周期为3，
又，故数列的前50项的和为
故答案为：34
9．（2024·高三·河南焦作·期末）已知数列中，，且，则的前12项和为 ．
【答案】
【解析】依题意，故，,
所以，，，…，
故的前12项和为．
故答案为：
10．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在各项均为正数的等差数列中，，，，成等比数列，保持数列中各项先后顺序不变，在与（）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则 .
【答案】348
【解析】设公差为，由题意得，
即，解得，
解得或（舍去），
故，，
则，，，，
，，，
，，，
，，
故.
故答案为：348
11．（2024·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2024项和 .
【答案】1012
【解析】由等和数列概念可得，，，，，
所以.
故答案为：1012
12．（2024·高三·广东肇庆·阶段练习）记数列的前项和为，且，则 .
【答案】/
【解析】，
，
所以数列是周期为3的周期数列，又，，，
.
故答案为：.
13．（2024·高二·湖南·阶段练习）已知数列满足，其前项和为，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
.
故答案为：.
四、解答题
14．（2024·高三·全国·专题练习）设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．
(1)求证：点的纵坐标为定值；
(2)若且求；
【解析】（1）证明：设，因为，故可得，
由知，故，
故.
故点的纵坐标为定值.
（2）由（1）知
，
两式相加得：
，
故.
15．（2024·高三·河北邯郸·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）因为，所以，
当时，，
所以，即，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）知，，所以，
因为①，
所以②，
由①-②得：
，
所以．
16．（2024·高三·河北沧州·阶段练习）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
【解析】（1）由题知，当时，，则．
又．①
当时，，②
①-②得，
所以．
当时，也适合．
综上，数列的通项公式为．
（2）因为．
所以，①
，②
①-②得，
整理得，
因为．所以
17．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且满足，等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）由，
当时，由，
两式相减，得，
因此数列是以2为首项，为公比的等比数列，即.
设等差数列的公差为，
因为，所以，因此，
故，；
（2）由（1）可知，，
所以，
设数列的前项和为，
则有，
，
两式相减，得，
即，
因此.
18．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)求的前项和．
【解析】（1）因为，
当时，得，
当时，，
两式相减得：，则，
检验：满足上式，故；
（2）由（1）知，
则，
故，
两式相减可得：
，
故．
19．（2024·高三·内蒙古锡林郭勒盟·阶段练习）设公差不为0的等差数列中，，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和满足：，求数列的前项和.
【解析】（1）设数列的公差为，
，
，
，
；
（2）当，
当时，，
，
，
①，
②，
由①-②得，，
，
.
20．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）设等比数列的公比为.
由，得，
解得.
因为的各项均为正数，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
所以，
，
两式相减，得
所以.
21．（2024·高三·山东·期中）数列中，．
(1)求数列的通项公式．
(2)求前n项和．
【解析】（1）方法1：
当．
又也适合上式，．
方法2：为公比为2，首项为1的等比数列．
，
（2）由（1）知，①
②
①－②，
22．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知数列满足.
(1)求证：为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
所以，
又，故为等比数列，首项为1，公比为2；
（2）由（1）可知，，故，
，
故
，
令①，
则，
其中②，
①-②得，
，
故，
.
23．（2024·陕西西安·二模）已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
则由题意得，即，解得，
数列的通项公式为
（2），则，
，

.
24．（2024·高三·江西·开学考试）已知数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）
设，则，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，．
（2），
．
25．（2024·高三·广东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，则由，，
得，解得，
故；
（2）由（1）得，
故
.
26．（2024·高三·浙江·开学考试）已知等差数列的各项均为正数，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的通项公式及其前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为，由，
得，解得，
所以的通项公式为.
（2）由得，，
所以，
又，所以.
由，
得.
27．（2024·高三·山东聊城·期末）已知等差数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
则，
所以
，所以.
28．（2024·高三·宁夏石嘴山·开学考试）已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求证：.
【解析】（1）因为成等比数列，且，
所以，由，解得，
所以.
（2）由，
得，
由，有，所以，得.
29．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）因为，，所以，
因为，所以，将两式相减，得：，
所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.
当为奇数时，，，……，且，
则，
当为偶数时，则，
所以.
（2）设的前项和为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以.
30．（2024·高三·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，， 是数列的前项和.求
【解析】（1）为等差数列，设公差为，，，
，，成等比数列，，
即，
整理得，解得或，
当时，，，
当时，，，
数列的通项公式为或；
（2），由（1）知，，，
，
.
故.
31．（2024·广西南宁·模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，，求数列的前n项和．
【解析】（1）由题意，当时，，
当时，，
当时，上式也符合，
所以的通项公式为.
（2）由（1）得，，所以，．
（ⅰ）当n为偶数时，；
（ⅱ）当n为奇数时，；
综上所述，.