专题13 函数与方程 -2025年新高考艺术生数学突破讲义

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一、函数的零点
对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.
二、方程的根与函数零点的关系
方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.
三、零点存在性定理
如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.
四、二分法
对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点
所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.
五、用二分法求函数零点近似值的步骤
（1）确定区间，验证，给定精度.
（2）求区间的中点.
（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）
（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.
用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.
【方法技巧与总结】
函数的零点相关技巧:
①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.
②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.
③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.
④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.
【典例例题】
例1．（2024·高三·全国·专题练习）函数f（x）＝2x＋x－2的零点个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
【答案】B
【解析】解析：f′（x）＝2x ln 2＋1＞0，所以f（x）在R上单调递增，f（0）＝－1，f（1）＝1，故函数的零点个数为1.故选B.
例2．（2024·江苏·一模）函数在区间内的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】令，得，则；
故，，
所以在共有4个零点，
故选： C.
例3．（2024·高三·北京海淀·阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】令，则
，
当时，若，得，符合；
当时，若，得，符合；
当时，若，得，符合；
故函数的零点个数为.
故选：C.
例4．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（ ）
A．B．的零点为3
C．在上为增函数D．的定义域为
【答案】C
【解析】,可知函数的零点为3，可知A,B正确；
中，由，解得：，
故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确.
故选：C
例5．（2024·四川成都·二模）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数，可得函数在，上为增函数，
当时，，当时，，
若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需，
解得或，所以t的取值范围为.
故选：B．
例6．（2024·高三·全国·竞赛）方程的实数解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】依题意，
原方程等价于
即，显然只有一个正实根.
故选：B.
例7．（2024·高三·陕西西安·期末）已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，作出的大致图象，如图所示，
要使得，
即函数与的图象有4个不同交点，则，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
例8．（2024·高三·全国·专题练习）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】的定义域为，
又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，
所以，
根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为，
故选：B.
例9．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数的图象与直线y＝x恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令x2＋4x＋2＝x，解得x＝－1或x＝－2，所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m＜2.
例10．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝则使得方程x＋f（x）＝m有解的实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，，即有解，则；
当时，，即有解，则，
即实数m的取值范围是.
故答案为：
例11．（2024·辽宁·二模）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则的值为 ．
【答案】
【解析】函数的定义域为，满足，
且当,时，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
例12．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知函数，若函数有两个不同零点，则极值点的个数为 .
【答案】2
【解析】令，则，由题意知，即；
，令，则，
即，则有两个变号零点，
所以函数有2个极值点.
故答案为：2.
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·山西·模拟预测）方程的实数根的个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】设，．在同一直角坐标系内画出与的大致图象，
当时，；当时，．
根据图象可得两个函数共有11个交点．
故选：C．
2．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，
得，解得，即命题成立的充要条件是，
显然成立，不等式、、都不一定成立，
而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，
所以命题成立的一个必要不充分条件是.
故选：D
3．（2024·高三·重庆·开学考试）函数的零点有（ ）
A．4个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
【解析】令，即，
可知函数的零点个数即为与的交点个数，
结合函数的图像，可知与的函数图像有两个交点，
所以函数有两个零点，即函数的零点有2个.
故选：C.
4．（2024·高三·浙江宁波·期末）函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知，可知为增函数，
且，
，
根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的.
故选：B
5．（2024·高三·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，
当时，，，
当时，，，
综上，
当时，令无解；当时，令解得；
当时，令无解；当时，令解得；
当时，令，解得，
综上实数根的个数为个，
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】依题意，作出函数与的图象，如图，
可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点；
又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点，
函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点，
综上所述，共有5个零点．
故选：D．
7．（2024·高三·浙江宁波·期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
由题意得，故当时，，
显然当，即为的一个零点，
要想在上恰有三个不同的零点，
若，解得，
若，无解，
若，无解.
故选：A
8．（2024·高三·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
由，即，在区间上恰有3个实根，
则，解得.
故选：D
9．（2024·高二·河南焦作·期末）设分别是方程，，的实根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，可得在上单调递增，
又由，所以；
再令，可得在上单调递增，
且，所以；
对于，即，则方程的根为与的图象交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中作出两个函数图象，如图所示，
由图可知，或，综上，.
故选：B.
10．（2024·高三·全国·专题练习）拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）
A．1B．2C．0D．
【答案】B
【解析】设函数在区间上的“中值点”为，由，得，
则由拉格朗日中值定理得，，即，而，
则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此，
设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得，
由拉格朗日中值定理得，，即，
令函数，函数在上单调递增，，
则函数在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解，
因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即，
所以.
故选：B
11．（2024·高三·河南·阶段练习）已知为偶函数，对任意有，当时，，则方程的所有实根之和为（ ）
A．3B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由得，
又为偶函数，所以，
故，，因此为周期为2的周期函数且为偶函数，
由时，，
作出和的图象，又，
由于和均关于对称，
由图象可知和的图象有6个交点，
根据对称可知：方程所有实根之和为6.
故选：B
12．（2024·高一·贵州·阶段练习）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为在上单调递增，
且，，
所以的零点所在的区间为.
故选：C
13．（2024·高一·全国·课时练习）下列关于二分法的叙述中，正确的是（ ）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
【答案】B
【解析】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误；
B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，
可精确到小数点后任一位，B正确；
C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，
因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；
D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误．
故选：B．
二、多选题
14．（2024·高三·云南·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．在定义域内单调递增
C．有2个零点D．的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A中，由函数，可得定义域为关于原点对称，
又由，所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B中，由，所以为单调递增函数，
所以函数在，单调递增，所以B错误；
对于C中，令，即，解得，所以C正确；
对于D中，例如：当时，，所以D不正确.
故选：AC.
15．（2024·高一·云南玉溪·期末）已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】令，
在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示：
由图可知共有20个交点，故，则A正确，B错误；
又函数的图象都关于对称，则，
故，则C正确，错误，
故选：AC
16．（2024·高一·山西吕梁·阶段练习）设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由函数 ，作出函数的图象，如图所示，
因为关于x的方程 有四个不同的解，且，
结合图象，可得，且，
则，其中，
所以，所以A不正确.
根据图象，要使得方程 有四个不同的解，可得，所以B正确；
因为，且，可得，
所以，可得，
又由，当且仅当时，等号成立，
显然，所以，所以C正确；
令，可得，结合图象，可得，所以D不正确.
故选：BC.
17．（2024·高一·江苏·专题练习）关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（ ）
A．是偶函数B．在区间单调递增
C．在有4个零点D．的最大值为2
【答案】BC
【解析】因为的定义域为，
又，为偶函数，故A正确．
当时，，它在区间单调递减，故B错误．
当时，，它有两个零点：；
当时，，
它有一个零点：，故在有个零点：，故C错误．
当时，；
当时，，
又为偶函数，的最大值为，故D正确．
故选：BC．
18．（2024·高三·广东揭阳·阶段练习）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．B．函数图像关于直线对称
C．函数的值域为D．若函数有四个零点，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】A选项，，A正确；
B选项，，
由于，故函数图像不关于直线对称，B错误；
C选项，画出的图象，如下：
数形结合可知函数的值域为，C正确；
D选项，若函数有四个零点，则与有4个交点，
故实数的取值范围是，D正确.
故选：ACD
三、填空题
19．（2024·高三·全国·专题练习）函数在所有零点之和为
【答案】
【解析】由，
令，即，解得或，
因为，所以或或，所以零点之和为.
故答案为：.
20．（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）设函数，为常数.若存在，使得，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为存在，使得，
所以函数在上有零点.
当时，不存在零点，
当时，为一次函数形式，具有单调性，
由函数零点存在性定理知，即，
解得或.
故答案为：.
21．（2024·高三·广东中山·阶段练习）函数的零点个数为
【答案】6
【解析】，故，
画出和，两函数交点个数即为的零点个数，
由图象可得，共6个交点，所以的零点个数为6.
故答案为：6
22．（2024·高一·江苏·专题练习）设函数，关于x的方程有三个不等实根，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】画出函数图象，结合图形可知，仅当时，方程有三个不等实根，
分别对应直线与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，
不妨设，
显然关于对称，故，
另一个交点位于一次函数图象上，令 −2x+6=−1 ，解得 x=72 ，
显然它在和以及的交点和之间，
故，
所以，
故答案为： ．
23．（2024·高三·山东·阶段练习）设函数（）在区间内恰有两个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题知，又因为，所以．
因为，所以，
当或，或时，，
要满足函数在区间内恰两个零点，则，解得．
故答案为：.
24．（2024·上海徐汇·一模）函数的零点是 ．
【答案】/0.5
【解析】由题意可得函数的定义域为.
，令可得，解得或（舍），
故答案为：.
25．（2024·高三·海南儋州·阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】方程等价于，
由一次函数和对勾函数的性质，作函数的图象如图，
由图象可知，方程只有一个实数根，则有三个不同的实数解，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
26．（2024·高三·河南·阶段练习）已知函数在区间上不单调，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知，
因为在区间上不单调，
即在区间有零点，
又，即为的零点在区间内，
所以解得，即m的取值范围是．
故答案为：
27．（2024·高一·河南郑州·期中）已知函数若函数仅有一个零点，则实数m的值是 ．
【答案】0
【解析】由函数解析式，在上递减，、上递增，且在处连续，
所以大致图象如下，
由函数仅有一个零点，即与仅有一个交点，
由图知：.
故答案为：0