江苏省南通市海门中学2024-2025学年高二（上）数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】

这是一份江苏省南通市海门中学2024-2025学年高二（上）数学第16周阶段性训练模拟练习【含答案】，共21页。试卷主要包含了已知线段AB的端点B在直线l，单分数，已知A，B为抛物线x2＝2py等内容，欢迎下载使用。
1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1→=a→，A1D1→=b→，A1A→=c→，则下列向量中与B1M→相等的向量是（ ）
A．−12a→+12b→+c→B．−12a→−12b→+c→C．12a→−12b→+c→D．12a→+12b→+c→
2．已知线段AB的端点B在直线l：y＝﹣x+5上，端点A在圆C1：(x+1)2+y2=4上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0）B．（1，4）C．（0，6）D．（﹣1，5）
3．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如25=13+115，729=16+124+158+187+1232，…，现已知2101可以表示成4个单分数的和，记2101=1606+1x+1y+1z，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y+z的值为（ ）
A．505B．404C．303D．202
4．在等差数列{an}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，…），则数列{Tn}（ ）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项
5．已知A，B为抛物线x2＝2py（p＞0）上的两个动点，以AB为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且面积为2π，若过圆心C作该抛物线准线l的垂线CD，垂足D，则|CD|的最大值为（ ）
A．2B．2C．22D．12
二．多选题（共6小题）
（多选）6．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l与双曲线右支交于点P．若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2有一个内角为120°，则双曲线的离心率可能是（ ）
A．13−12B．2C．13+12D．7
（多选）7．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，AH→=tAA1→(t∈[0，1])，则下列说法正确的有（ ）
A．CH→=tCA→+(1−t)CA1→
B．∀t∈[0，1]，都有CH→⋅BD→=0
C．∃t∈[0，1]，使得DH→∥B1C→
D．若平面α⊥CH，则直线CD与平面α所成的角大于π4
（多选）8．已知数列{an}满足a1=12，an=12an−1+λ2n(n≥2，n∈N∗)，其中λ∈{﹣1，0，1}，下列说法正确的是（ ）
A．当λ＝0时，数列{an}是等比数列
B．当λ＝﹣1时，数列{（﹣2）nan}是等差数列
C．当λ＝1时，数列{an−n2n}是常数列
D．数列{an}总存在最大项
（多选）9．已知等比数列{an}满足a1＝1，其前n项和Sn＝pan+1+r（n∈N*，p＞0）．（ ）
A．数列{an}的公比为p
B．数列{an}为递增数列
C．r＝﹣p﹣1
D．当p−14r取最小值时，an＝3n﹣1
（多选）10．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是（ ）
A．d＞0B．a1＜0
C．当n＝5时，Sn最小D．Sn＞0时，n的最小值为8
（多选）11．在正方体AC1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F与平面D1AE的垂线垂直，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．点F的轨迹是一条线段
B．A1F与BE是异面直线
C．A1F与D1E不可能平行
D．三棱锥F﹣ABD1的体积为定值
三．填空题（共6小题）
12．已知数列{an}满足an+2=an+1−an(n∈N∗)，且a1＝2，a2＝3，则a2022的值为 ．
13．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，以F为圆心的圆交线段AB于C，D两点（从上到下依次为A，C，D，B），若|AC|•|BD|≥|FC|•|FD|，则该圆的半径r的取值范围是 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的焦距为46，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，过O作OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1），则椭圆C的方程为 ．
15．已知a＞0，b＞0，且2a+b＝4，则ab+1a+2b的最小值为 ．
16．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与以坐标轴原点O为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点A（不同于点F1），与椭圆C在第一象限交于点B，若F2A→=12(F2F1→+F2B→)，则椭圆C的离心率为 ．
17．定义：满足下列两个条件的有穷数列a1，a2，…，an（n＝2，3，4，…）为n阶“期待数列”．
①a1+a2+a3+…+an＝0，②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝1．
试写出一个3阶“期待数列” ；若2021阶“期待数列”{an}是递增的等差数列，则a2021＝ ．
四．解答题（共5小题）
18．已知函数f(x)=lg2x，从下列两个条件中选择一个使得数列{an}成等比数列．
条件1：数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列；
条件2：数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{f(an)an}的前n项和Tn．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，点F为棱PD的中点，二面角D﹣FC﹣B的余弦值为66．
（1）求PD的长；
（2）求异面直线BF与PA所成角的余弦值；
（3）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值．
20．已知数列{an}满足a1=1，an+1+an=4n(n∈N∗)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正实数a，使得不等式a1a1+1⋅a2a2+1⋯⋯anan+1⋅an+1＜a2−3a对一切正整数n都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x经过点A（1，2），直线l：y＝kx+b与抛物线C交于M，N两点．
（1）若MN→=4OA→，求直线l的方程；
（2）当AM⊥AN时，若对任意满足条件的实数k，都有b＝mk+n（m，n为常数），求m+2n的值．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为63．点P是椭圆上的一动点，且P在第一象限．记△PF1F2的面积为S，当PF2⊥F1F2时，S=263．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如图，PF1，PF2的延长线分别交椭圆于点M，N，记△MF1F2和△NF1F2的面积分别为S1和S2．
（ⅰ）求证：存在常数λ，使得1S1+1S2=λS成立；
（ⅱ）求S2﹣S1的最大值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
B1M→=B1B→+BM→
=A1A→+12BD→
=A1A→+12（BA→+BC→）
=A1A→+12（B1A1→+A1D1→）
=c→+12（−a→+b→）
=−12a→+12b→+c→．
故选：A．
2．【解答】解：设线段AB中点M（x，y），A（x1，y1），B（x2，﹣x2+5），
由题意知：2x＝x2+x1，2y＝y1﹣x2+5，
∴x1＝2x﹣x2，y1＝2y+x2﹣5，
∵点A在圆（x+1）2+y2＝4上运动，
∴（2x﹣x2+1）2+（2y+x2﹣5）2＝4，
∵线段AB的中点M的轨迹方程为（x−x2−12）2+（y−5−x22）2＝1，
即曲线C2是以（x2−12，5−x22）为圆心，以1为半径的圆，
若曲线C2与圆C1有两个公共点，
则1＜|C1C2|＜3，
即1＜(x2−12+1)2+(5−x22)2＜3，
平方整理得，2＜x22﹣4x2+13＜18，
即x22−4x2+11＞0x22−4x2−5＜0，解得﹣1＜x2＜5，
故选：D．
3．【解答】解：2101=1101+1101
=1101+2202
=1101+1202+1202
=1101+1202+3606
=1101+1202+2606+1606
=1101+1202+1303+1606
所以x＝101，y＝202，z＝303满足题目x，y，z是以101为首项的等差数列，
所以y+z＝505．
故选：A．
4．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d=a5−a15−1=−1−(−9)4=2，
∴an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．
由an＝2n﹣11＝0，得n=112，而n∈N*，
可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最大项，
自T5起均小于0，且逐渐减小．
∴数列{Tn}有最大项，无最小项．
故选：B．
5．【解答】解：根据题意，2π=π(AB2)2，∴AB=22．
设|AF|＝a，|BF|＝b，过点A作AQ⊥l于Q，过点B作BP⊥l于P，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，
在梯形ABPQ中，∴2|CD|＝|AQ|+|BP|＝a+b，由勾股定理得，8＝a2+b2，
∵|CD|2=(a+b2)2=a2+b2+2ab4=8+2ab4=2+ab2≤2+a2+b24=4，
所以|CD|≤2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
故选：A．
二．多选题（共6小题）
6．【解答】解：过F1的直线l与双曲线右支交于点P，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，
所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
当∠PF2F1＝120°时，由余弦定理有|PF1|2＝|PF2|2+|F2F1|2﹣2|PF2|F2F1|cs∠PF2F1，
所以16a2＝4a2+4c2+4ac，可得e=ca=13−12，
当∠F1PF2＝120°时，由余弦定理有|F2F1|2＝|PF2|2+|PF1|2﹣2|PF2|PF1|cs∠PF1F2，
所以4c2＝16a2+4a2﹣2×2a×4a×（−12），整理得7a2＝c2，所以e=ca=7，
故选：AD．
7．【解答】解：由AH→=tAA1→，得CH→=CA→+AH→=CA→+tAA1→=CA→+t（CA1→−CA→）＝（1﹣t）CA→+tCA1→，故A错误；
CH→•BD→=[（1﹣t）CA→+tCA1→]•BD→=（1﹣t）CA→•BD→+tCA1→•BD→=0，故B正确；
当H在A1点时，DH，B1C显然平行，所以DH→∥B1C→，故C正确；
平面α⊥CH，则CH→为平面α的一个法向量，
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则H（1，0，t），C（0，1，0），D（0，0，0），
所以CH→=（1，﹣1，t），CD→=（0，﹣1，0），
设直线CD与平面α所成的角为θ，
则sinθ＝|cs＜CH→，CD→＞|=×=12+t2×1≤13＜22，
所以直线CD与平面α所成的角小于π4，故D错误；
故选：BC．
8．【解答】解：数列{an}满足a1=12，an=12an−1+λ2n(n≥2，n∈N∗)，其中λ∈{﹣1，0，1}，
对于A，当λ＝0时，an=12an−1，∵a1=12≠0，
∴数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列，故A正确；
对于B，当λ＝﹣1时，an=12an−1−12n，2nan=2n−1an−1−1，
∴2nan2n−1an−1=−1，
∴数列{2nan}是等差数列，∴数列{（﹣2）nan}不是等差数列，故B错误；
λ＝1时，an=12an−1+12n，2nan−2n−1an−1=1，
{2nan}是等差数列，又2a1＝1，∴2nan=n，an=n2n，
从而an−n2n=0是常数，故C正确；
由以上讨论知λ＝0时，{an}最大值是a1=12，
λ＝0时，2nan＝1+（n﹣1）×（﹣1）＝2﹣n，an=2−n2n，
n≥2时，an≤0，∴数列最大值为a1=12，
λ＝1时，an=n2n，an+1﹣an=n+12n−1−n2n=1−n2n+1≤0，
即an+1＜an（n≥2），a2＝a1，{an}有最大项12，故D正确．
故选：ACD．
9．【解答】解：因为Sn＝pan+1+r，
所以Sn﹣1＝pan+r（n≥2），
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝pan+1﹣pan，则pan+1＝（p+1）an（n≥2），
所以an+1an=p+1p（n≥2），
当n＝1时，a1＝S1＝pa2+r，所以a2=1−rp，
因为{an}为等比数列，
又q=p+1p=1+1p＞1，所以数列{an}为递增数列，
故选项A错误，选项B正确；
所以q=p+1p=1−rp，解得r＝﹣p，
故选项C错误；
p−14r=p+14p≥2p⋅14p=1，
当且仅当p=14p，即p=12时取等号，
此时数列{an}的公比为q=p+1p=3，
所以an＝3n﹣1，
故选项D正确．
故选：BD．
10．【解答】解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
因为a7＝3a5，可得a1+6d＝3（a1+4d），解得a1＝﹣3d，
又由等差数列{an}是递增数列，可知d＞0，则a1＜0，故A，B正确；
因为Sn=d2n2+(a1−d2)n=d2n2−7d2n=d2(n2−7n)=d2(n−72)2−498d，
当n＝3或4时Sn最小，故C错误，
令Sn=d2n2−7d2n＞0，解得n＜0或n＞7，即Sn＞0时n的最小值为8，故D正确．
故选：ABD．
11．【解答】解：如图，分别取线段BB1，B1C1的中点为M，N，连接A1M，MN，A1N，
因为正方体AC1，易得MN∥AD1，MN⊄面D1AE，AD1⊂面D1AE，所以MN∥面D1AE，
又A1M∥DE，A1M⊄面D1AE，D1E⊂面D1AE，
所以A1M∥D1AE，又MN∩A1M＝M，所以平面A1MN∥平面D1AE，
因为A1F与平面D1AE的垂线垂直，又A1F⊄ D1AE，
所以直线A1F与平面D1AE平行，所以A1F⊂面A1MN，
点F是侧面BCC1B1内的动点，且面A1MN∩面BCC1B1＝MN，
所以点F的轨迹为线段MN，故A正确；
对于B，由异面直线判定可知，A1F与BE是异面直线，故B正确；
对于C，当点F与点M重合时，直线A1F与直线D1E平行，故选项C错误；
对于D，因为MN∥AD1，MN⊄面ABD1，AD1⊂面ABD1，所以MN∥面ABD1，
则点F到平面ABD1的距离是定值，又三角形ABD1的面积是定值，
所以三棱锥F﹣ABD1的体积为定值，故选项D正确；
故选：ABD．
三．填空题（共6小题）
12．【解答】解：数列{an}满足an+2=an+1−an(n∈N∗)，且a1＝2，a2＝3，
∴a3＝a2﹣a1＝3﹣2＝1，
a4＝a3﹣a2＝1﹣3＝﹣2，
a5＝a4﹣a3＝﹣2﹣1＝﹣3，
a6＝a5﹣a4＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，
a7＝a6﹣a5＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
a8＝a7﹣a6＝2﹣（﹣1）＝3，
•••
∴{an}是周期为6的周期数列，
∵2022＝337×6，
∴a2022＝a6＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．【解答】解：由抛物线C：y2＝8x的焦的方程可得焦点F（2，0），设以F为圆心的圆的半径为r，
可知|FC|＝|FD|＝r，|AC|＝|AF|﹣r，|BD|＝|BF|﹣r，
设直线l的方程为：x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|＝x1+2，|BF|＝x2+2，
联立x=my+2y2=8x，整理可得：y2﹣8my﹣16＝0，
可得y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，
x1+x2＝m（y1+y2）+4＝8m2+4，x1x2=(y1y2)264=4，
|AC|•|BD|≥|FC|•|FD|，
即（|AF|﹣r）•（|BF|﹣r）≥r2，则r≤|AF|⋅|BF||AF|+|BF|=(x1+2)(x2+2)x1+x2+4=x1x2+2(x1+x2)+4x1+x2+4=4+16m2+8+48m2+8=2，当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，
所以0＜r≤2，
故答案为（0，2]．
14．【解答】解：由已知可得kAB•kOD＝﹣1，所以kAB=−1kOD=−112=−2，
则直线BA的方程为：y﹣1＝﹣2（x﹣2），即y＝﹣2x+5，
代入椭圆方程消去y整理可得：（b2+4a2）x2﹣20a2x+25a2﹣a2b2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），B（x2，y2），则x1+x2=20a2b2+4a2，x1x2=25a2−a2b2b2+4a2，
又由已知可得：2c＝46，所以c＝26，则a2＝b2+24，
所以x1+x2=20a25a2−24，x1x2=49a2−a45a2−24，
所以y1y2＝（﹣2x1+5）（﹣2x2+5）＝4x1x2﹣10（x1+x2）+25=121a2−4a4−6005a2−24，
又由OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，
所以49a2−a4+121a2−4a4−6005a2−24=0，即a4﹣34a2+120＝0，
解得a2＝30或4（舍去），所以a2＝30，b2＝6，
所以椭圆的方程为x230+y26=1，
故答案为：x230+y26=1．
15．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且2a+b＝4，
∴ab+1a+2b=ab+2a+bab=ab+4ab≥2ab⋅4ab=4，当且仅当ab=4ab，即a＝1，b＝2时等号成立，
∴ab+1a+2b的最小值为：4．
故答案为：4．
16．【解答】解：∵F2A→=12(F2F1→+F2B→)，∴点A是线段F1B的中点，∵∠F1AF2为直径所对的圆周角，
∴F2A⊥F1B，∴F2A为线段F1B的垂直平分线，∴|F1F2|＝|F2B|，|F1B|＝2|F1A|，
∵过F1的直线的倾斜角为30°，∴∠AF1F2＝30°，∴|F2A|＝2|F1F2|，∵F1，F2为椭圆C的焦点，
∴|F1F2|＝2c，∴|F2B|＝2c且|F2A|＝c，∴|F1A|=(2c)2−c2=3c，∴|F1B|=23c，
∵点B在椭圆C上，∴|F1B|+|F2B|＝2a，∴|F2B|=2a−23c，∴2c=2a−23c，即e=ca=3−12，
故答案为：3−12．
17．【解答】解：第一空由条件①②直接构造即可．可构造12，0，−12符合题意；
设等差数列{an}的公差为d，则a1+a2+⋯+a2021=2021a1+2020×20212d=0，
于是a1+1010d＝0（1），即a1011＝0，
由于{an}是递增的等差数列，且|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2021|＝1，
则a1+a2+⋯+a1010=1010a1+1010×10092d=−12（2），
联立（1）（2）解得d=11010×1011，
因此a2021=a1011+1010d=1010×11010×1011=11011．
故答案为：12，0，−12（答案不唯一）；11011．
四．解答题（共5小题）
18．【解答】解：（1）若选择条件1：数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列，
则f（an）＝4•2n﹣1＝2n+1，即lg2an=2n+1，
可得an=(2)2n+1=(212)2n+1=22n，an+1an=22n+122n=22n+1−2n不是常数．
若选择条件2：数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列，
则f（an）＝4+2（n﹣1）＝2n+2，即lg2an=2n+2，
可得an=(2)2n+2=(212)2n+2=2n+1，an+1an=2n+22n+1=2，数列{an}成等比数列．
∴数列{an}的通项公式为an=2n+1；
（2）f(an)an=2n+22n+1=n+12n，
Tn=221+322+423+...+n2n−1+n+12n，
12Tn=222+323+424+...+n2n+n+12n+1，
两式作差，可得12Tn=1+122+123+...+12n−n+12n+1
=1+14×(1−12n−1)1−12−n+12n+1=1+12−12n−n+12n+1=32−12n−n+12n+1，
则Tn=3−12n−1−n+12n．
19．【解答】解：（1）取AB中点M，
以D为坐标原点，分别以DM，DC，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设FD＝a，则D（0，0，0），F（0，0，a），C（0，2，0），
B（3，1，0），A（3，﹣1，0），FC→=（0，2，﹣a），CB→=（3，﹣1，0），
设平面FBC的一个法向量为m→=（x，y，z），
由m→⋅FC→=2y−az=0m→⋅CB→=3x−y=0，取x＝1，得m→=（1，3，23a）；
取平面DFC的一个法向量为n→=（1，0，0）．
由题意，得|cs＜m→，n→＞|=×=11+3+12a2×1=66，解得a=6，
因为点F为棱PD的中点，所以PD＝26；
（2）BF→=（−3，﹣1，6），PA→=（−3，1，26），
设异面直线BF与PA所成角为θ，
则csθ＝|cs＜BF→，PA→＞|=3−1+1210×28=7010；
（3）由（1）知平面FBC的一个法向量为m→=（1，3，2），
又AF→=（−3，1，6），
设直线AF与平面BCF所成角为α，
则sinα=×=2310×6=55．
20．【解答】解：（1）由an+1+an＝4n，假设其变形为an+1+λ（n+1）+μ＝﹣（an+λn+μ），
则有−2λ=4−2μ−λ=0⇒λ=−2μ=1，
所以an+1﹣2（n+1）+1＝﹣（an﹣2n+1），
又a1﹣2+1＝0．
所以an﹣2n+1＝0，即an＝2n﹣1；
（2）由（1）anan+1=2n−12n，
所以a1a1+1⋅a2a2+1⋯⋯anan+1⋅an+1=12⋅34⋅56⋯⋯2n−12n⋅2n+1，
令f(n)=12⋅34⋅56⋯⋯2n−12n⋅2n+1，
则f(n+1)=12⋅34⋅56⋯⋯2n−12n⋅2n+12n+22n+3，
所以f(n+1)f(n)=2n+12n+22n+32n+1=4n2+8n+34n2+8n+4＜1，所以f（n）是递减数列，
所以f(n)max=f(1)=12×3=32，
所以使得不等式a1a1+1⋅a2a2+1⋯⋯anan+1⋅an+1＜a2−3a 一切正整数n都成立，
则a2−3a＞32，
即a2−3a−6＞0⇒(a−23)(a+3)＞0，
因为a为正实数，所以a＞23．
21．【解答】解：（1）因为A（1，2），MN→=4OA→，所以kMN＝kOA=2−01−0=2，
则直线l方程为y＝2x+b，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立y2=4xy=2x+b可得4x²+（4b﹣4）x+b²＝0，
则Δ＝（4b﹣4）²﹣16b²＞0，得b＜12，且x1+x2＝1﹣b，x1x2=b24
因为MN→=4OA→，所以（x2﹣x1，y2﹣y1）＝4（1，2）＝（4，8），
所以x2﹣x1＝4，则（x2﹣x1）²＝（x2+x1）²﹣4x2x1＝16，
所以（1﹣b）²﹣b²＝16，解得b=−152，
所以直线方程为y＝2x−152，即4x﹣2y﹣15＝0；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立y2=4xy=kx+b可得k²x²+（2kb﹣4）x+b²＝0，
则Δ＝（2kb﹣4）²﹣4k²b²＞0，得kb﹣1＜0，
且x1+x2=4−2kbk2，x1x2=b2k2，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2b=4−2kbk+2b=4k，
y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝k²x1x2+kb（x1+x2）+b²=4bk，
因为AM⊥AN，所以AM→⋅AN→=0，可得（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，
即x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4＝0，
所以5k²+（6b﹣8）k+b²﹣4＝0，
即（k+b﹣2）（5k+b+2）＝0，
解得b＝2﹣k或b＝﹣5k﹣2，
当b﹣k+2时，直线恒过A点，此时AM不存在，
故本题应只有唯一解b＝﹣5k﹣2，
此时m＝﹣5，n＝﹣2，
即有m+2n＝﹣9．
22．【解答】解：（1）联立e=ca=63x2a2+y2b2=1，
所以y2＝b2（1−c2a2）=b23，
所以y=33b，
所以P（c，33b），
所以S△PF1F2=12•2c•33b=263，即bc＝22，
所以bc=2ca=63b2=a2−c2，
解得a2＝6，b2＝2，c2＝4，
所以椭圆E的方程为x26+y22=1．
（2）设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），M（x1，y1），N（x2，y2），
直线PM与直线PN的斜率均不为零，
因为F1（﹣2，0），F2（2，0），
设直线PM的方程为x+2＝my，
直线PN的方程为x﹣2＝my，
联立x+2=myx26+y22=1，得（m2+3）y2﹣4my﹣2＝0，
所以y0y1=−2m2+3，
因为x0+2＝my0，x026+y022=1，
所以y0y1=−2(x0+2y0)2+3=−2y02x02+3y02+4x0+4=−y022x0+5，
所以y1=−y02x0+5，
由x−2=nyx26+y22=1，得(ny+2)26+y22=1，
即（n2+3）y2+4ny﹣2＝0，
所以y0y2=−2n2+3，x0﹣2＝ny0，
x026+y022=1，
所以y0y2=−2(x0−2y0)2=−2y02x02+3y02−4x0+4=−y025−2x0，
所以y2=−y05−2x0，
所以S=12•|F1F2|•|y0|＝2y0，
S1=12•|F1F2|•|y1|＝﹣2y1，
S2=12•|F1F2|•|y2|＝﹣2y2，
所以1S1+1S2=−（12y1+12y2）=5+2x02y0+5−2x02y0．
（ⅰ）证明：1S1+1S2=−（12y1+12y2）=5+2x02y0+5−2x02y0=102y0=10S，
所以存在常数λ＝10，使得1S1+1S2=λS成立．
（ⅱ）S2﹣S1＝2（y1﹣y2）=2y05−2x0−2y05+2x0=8x0y025−4x02
=8x0y025(x026+y022)−4x0=8x0y016x02+252y02=8x06y0+25y02x0，
所以8x06y0+25y02x0≤82x06y0⋅25y02x0=835，
当且仅当x0=53913，y0=1313时，取等号，
所以S2﹣S1的最大值为835．
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