湖南省长沙市中雅中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份湖南省长沙市中雅中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
“考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟”
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下图中为轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．要注意：识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的定义，即可判断答案．
【详解】A、存在一条直线，使图形沿这条直线折叠后可重合，所以是轴对称图形，符合题意；
B、不存在直线，使图形沿这条直线折叠后可重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
C、不存在直线，使图形沿这条直线折叠后可重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
D、不存在直线，使图形沿这条直线折叠后可重合，所以不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
2. 下列各组线段中能围成三角形的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边．运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．根据上述方法逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、，
线段不能围成三角形，不符合题意；
B、，
线段不能围成三角形，不符合题意；
C、，
线段能围成三角形，符合题意；
D、，
线段不能围成三角形，不符合题意；
故选：C．
3. 如图所示，两个三角形全等，则等于（ ）
A. 72°B. 60°C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据图形得出根据全等三角形的性质得出，即可得出选项．
【详解】解：如图，
∵
又∵和全等，
故选：D．
4. 如图，点E，F在上，．要使，需要添加下列选项中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．根据，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵，
A. 添加，不能判定，不符合题意；
B. 添加，不能判定，不符合题意；
C. 添加，不能判定，不符合题意；
D. 添加，根据能判定，符合题意；
故选：D．
5. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于明确该三角形为钝角等腰三角形．由题意知，的内角为等腰三角形的顶角，进而可求底角．
【详解】解：∵在一个内角是的等腰三角形中，该内角必为顶角，
∴底角的度数为，
故选：A．
6. 下列图形中不具有稳定性的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据三角形具有稳定性进行解答即可．
【详解】解：A、具有稳定性，故此选项不符合题意；
B、不具有稳定性，故此选项符合题意；
C、具有稳定性，故此选项不合题意；
D、具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
7. 在中，和的度数如下，能判定是等腰三角形的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
【详解】解：A、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、，能判定是等腰三角形，故本选项符合题意；
D、，不能判定是等腰三角形，故本选项不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和三角形内角和定理，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形是解题的关键.
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 如果两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称．
B. 如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形．
C. 等腰三角形的对称轴是一条边上的中线所在的直线．
D. 所有的轴对称图形都只有一条对称轴．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握性质进行逐一判断．根据全等三角形的定义以及轴对称的性质可判断选项A和B；根据等腰三角形的性质可判断选项C；根据对称轴的性质可判断选项D．
【详解】解：A、如果两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称，故本选项不合题意；
B、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，故本选项不合题意；
D、等边三角形就有三条对称轴，故本选项不合题意；
故选：B．
9. 一个多边形的内角和是外角和的四倍，它是几边形？（ ）
A. 四B. 六C. 八D. 十
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查多边形的外角和与内角和，熟记任意多边形的外角和都为以及其内角和公式为（其中为边数）是解答本题的关键．设这个多边形是边形，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设这个多边形是边形，
则依题意得：，
解得，
故这个多边形是十边形．
故选：D．
10. 如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据角平分线的性质可得，由于是公共边，利用三角形全等的判定定理，从而可得；利用全等三角形的性质即可解得．
【详解】解：∵是斜边上的高，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是直角三角形，
∴，故选项A正确，不符合题意；
过点H作于点G，如图所示：
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，故选项B不正确，符合题意；
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，故选项D正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，故选项C正确，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 点关于轴的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标特征，根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可得解，熟练掌握点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
12. 如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到，，即可求得四边形的周长．
【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，，
∴，，
∴四边形的周长为，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
13. 等腰三角形其中两边长为7和5，则等腰三角形的周长为_________．
【答案】19或17##17或19
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义及三角形三边关系，注意本题要分两种情况解答．根据等腰三角形的定义，分两种情况：①当腰长为7时，②当腰长为5时，解答出即可．
【详解】解：根据题意，
①当腰长为7时，底为5，此时可以构成三角形，
∴周长；
②当腰长为5时，底为7， 此时可以构成三角形，
∴周长；
∴等腰三角形的周长为19或17，
故答案为：19或17．
14. 如图，在内，点O是三角形三条角平分线交点，若，则＝_________．
【答案】##130度
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用、角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形内角和定理先求出，再利用角平分线定义可得，即可求得．
【详解】解∶∵，
∴，
∵点O是三角形三条角平分线的交点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为∶ ．
15. 如图所示，是的中线，点E是的中点，连接、，若的面积为16，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可．
【详解】解：是的中线，的面积为16，
，
点E是的中点，
，，
阴影部分的面积为，
故答案为：．
16. 如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为_________．

【答案】81
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．如图作于，于，可证明，则，，，同理可证明：，则，故，则，根据即可求解．
【详解】解：∵N到点B，C的距离相等，
∴，
如图作于，于．

是的平分线，
，
在和中，
，
，
，，
同理可证明：，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：81．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，利用乘方法则、立方根的定义、绝对值的意义化简计算即可．
【详解】解∶原式
．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．利用加减消元法求解即可．
【详解】解∶，
，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
∴方程组的解为．
19. 老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图．
求作：边上的高．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E；
④连接，交于点M．
如图所示，所以线段就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即是边上的 线．
【答案】；；；是的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；垂
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定，基本作图，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明即可．
【详解】解：如图，根据题中作法作图即可得；
由②可得：，（均为圆的半径）
由③可得：，（相同圆的半径）
∴是的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
即是边上的垂线．
20. 如图，在已知的平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上，若点A、B、C的坐标分别是，，．
（1）画出关于x轴对称的图形△并写出的坐标．
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析，
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是坐标与图形，画轴对称图形，坐标系内三角形面积的计算，解题的关键是：
（1）分别确定A、B、C关于x轴的对称点、、，再顺次连接、、即可；
（2）利用割补法求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
；
【小问2详解】
解：．
21. 如图，，，．
（1）求证：．
（2）若，，求度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）由可得，再根据证明即可得；
（2）根据“全等三角形对应角相等”可得，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【小问1详解】
证明：∵，
，
即，
在和中，
，
∴，
．
【小问2详解】
解：∵，
，
∵在中，，，
．
22. 如图，点B，C，D在同一条直线上，，点A和点E在的同侧，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的外角性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）证出，由证明即可；
（2）由题意得，则；
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
23. 如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O．
（1）证明：；
（2）证明：垂直平分；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论；
（3）根据，得出，即可求出结果．
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴，
∵分别是和的高，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，，
∴点A、在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：．
24. （1） 如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据 证明．
（2）如图2，在中，平分，于，若，，通过（1）中构造全等的办法，可求得 ．
（3） ①如图3，中，，，平分，，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．
②如图4，中，，，点在线段上，，，垂足为，与相交于点．若的面积为64，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）①，证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质得，垂直得性质得，结合，可利用证明；
（2）延长交于点F，由问题情境可知，得出，结合三角形的外角性质即可得出结论；
（3）①延长、交于点F，利用证，有，结合问题情境可知，即可得出结论；
②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，可得和，进一步得，结合有和，利用可证得，说明，即可证明，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）延长交于点F，如图，
由问题情境可知，，
∴，
∵，
∴，
（3）①，证明如下：
延长、交于点F，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
由问题情境可知，，
∴，
∴；
②过点F作，交的延长线于点G，与相交于H，如图，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
在和中
∴，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴，负值舍去．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和证明三角形全等是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，A点坐标为，
（1）请写出点A关于x轴的对称点的坐标为 ；
（2）如图1，若，，请求出B点坐标；
（3）如图2，在（2）条件下，若C点和D点同时从原点出发，以相同的速度分别沿x轴和y轴的负半轴方向运动． E点和F点分别是，的中点，连接，． 请探究与的位置及数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3），，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可；
（2）过A作轴于M，过B作于N，证明，得出∴，，即可求解；
（3）连接，证明，得出，，利用三角形的内角和定理可证明，则，利用三角形中位线定理得出，，即可得出，．
【小问1详解】
解：点关于x轴的对称点的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：过A作轴于M，过B作于N，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴
【小问3详解】
解：，
理由：连接，
∵C点和D点同时从原点出发，以相同的速度分别沿x轴和y轴的负半轴方向运动，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵E点和F点分别是，的中点，
∴，，
∴，．