2023~2024学年山东省聊城市东昌府区九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023~2024学年山东省聊城市东昌府区九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共12个小题，共36分．在每个小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项）
1. 已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A. 70°B. 60°C. 50°D. 30°
【答案】A
【解析】∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选A．
2. 下列图形中不一定是相似图形的是( )
A. 两个等边三角形B. 两个等腰直角三角形
C. 两个正方形D. 两个长方形
【答案】D
【解析】等边三角形的三个内角都是，所以任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故A选项错误；等腰直角三角形的三个内角分别为，所以任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故B选项错误；正方形可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，故任意两个正方形也相似，故C选项错误；任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，所以任意两个长方形不一定相似，故正确答案为D选项.
3. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）．
A. B. C. 50D. 30
【答案】D
【解析】，
，
即，
，
的长是．
故选：D．
4. 如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，∴DC=R，∴BC=R，故选D.
5. 如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点B作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，即石坝的高度为2.7m，
故选A．

6. 如图,点D,E分别在的边上,增加下列条件中的一个：①，②,③,④,使与一定相似的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】①添加，又，
∴，成立；
②添加，且，
∴，成立；
③添加，但不一定与相等，故与不一定相似；
④添加且，
∴，成立．
综上，使与一定相似的有①②④，
故选：B．
7. 以原点O为位似中心，作位似图形，与的相似比为，若点C的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】D
【解析】在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：；
不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：，
故选：D．
8. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A. 100°B. 110°C. 115°D. 120°
【答案】B
【解析】如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
9. 如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 9cm2B. 8cm2C. 6cm2D. 12 cm2
【答案】A
【解析】∵是面积为的等边三角形,∴
∵矩形平行于,∴,∴
∵被截成三等分,∴，,∴
∴
∴图中阴影部分的面积
故选：A
10. 如图，和都是等边三角形，点M是的外心，那么的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，延长交于点D，连接，
∵是等边三角形，点M是的外心，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
11. 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（ ）
A. 90°B. 95°C. 100°D. 105°
【答案】D
【解析】如图：连接OB，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝OD，
∴OC＝OB．
∵OC⊥AB，
∴,
∴∠OBC＝30°．
∵，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故选D．
12. 如图,正方形ABCD的边长是3,BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中， ，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴ ，
∴AO2=OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中 ，
∴△CQF≌△BPE，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中， ，
∴△ADF≌△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵△EBP∽△DAP，
∴ ，
∴BE=，∴QE=，
∵△QOE∽△PAD，
∴ ，
∴QO=，OE=，
∴AO=5﹣QO=，
∴tan∠OAE==，故④正确，
故选C．
二、填空题（本题共5个小题，共15分）
13. 如图，已知四边形四边形，若，，则的长为______．
【答案】
【解析】∵四边形四边形，∴，
∵，，∴，∴，
故答案为：．
14. 如图， 中，ACB=90°, AC=4, BC=3, 则 _______.
【答案】
【解析】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A=．
故答案为．
15. 已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为______°．
【答案】30°或150 °
【解析】如图，∵弦AB将圆周分为5：1两段弧，
∴，
在优弧AB上取一点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取一点D，连接AD，BD，
∵，，
∴，；
故答案是30°或150 °．
16. 正六边形的内切圆半径与外接圆半径之比为___．
【答案】
【解析】如图，六边形ABCDEF是正六边形
连接AD、CF，交于点O，过点O作于点G
由正六边形的性质可知，点O是正六边形的内切圆和外接圆的圆心，OC为其外接圆的半径，OG是其内切圆的半径，且是等边三角形
设,则在中，，
因此，
故答案为：．
17. 如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】如图，连接OB，是的切线，

设





故答案为：
三、解答题（本题共8个小题，共计69分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．）
18. 计算：
（1）
（2）
解：（1）
．
（2）
．
19. 如图，O为原点，两点坐标分别为，．
（1）以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出两点的对应点的坐标；
（3）已知为内部一点，写出对应点的坐标．
解：（1）如图，即为所求．
（2）由图可得，点．
（3）由题意得，点的坐标为．
20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝ = ＝12，
∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝ ．
21. 如图，是一个地下排水管横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的长（结果保留π）．
解：（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，
∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，
∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm
又∵OA＝OD＝50cm
∴OH＝OD-HD＝25cm
∴AH＝cm
∴AB＝50cm；
（2）连接OB，
∵OA＝50cm，OH＝25cm，∴OH＝OA
∵∠OHA＝90°,∴∠OAH＝30°,∴∠AOH＝60°
∵OA＝OB，OH⊥AB,∴∠BOH＝∠AOH＝60°,∴∠AOB＝120°
∴的长是：cm．
22. 如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物定点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC＝60m，山坡的坡比为1：2．
（1）求该建筑物的高度（即AB的长，结果保留根号）；
（2）求此人所在位置点P的铅直高度（即PE的长，结果保留根号）．
解：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PE＝BF，PF＝BE
∵在Rt△ABC中，BC＝90米，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC•tan60°＝60（米），
故建筑物的高度为60米；
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD＝，
∴CE＝2x，
∵在Rt△PAF中，∠APF＝45°，
∴AF＝AB﹣BF＝60 ﹣x，
PF＝BE＝BC+CE＝60+2x，
又∵AF＝PF，
∴60﹣x＝60+2x，
解得：x＝20﹣20，
答：人所在的位置点P的铅直高度为（20﹣20）米．
23. 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C
（1）求证：∠CBP=∠ADB
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
解：（1）连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠CBP=∠ADB；
（2）∵OP⊥AD，
∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴，即，
∴BP=7．
24. 图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据:,,,,，
解：（1）如图，过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）在Rt△ABF中，
∵cs∠BAF＝，
∴AF＝ABcs∠BAF＝3cs37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD−CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD−AF＝3.25−2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
25. 如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．
解：（1）连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OFAC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG=
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
S△DHF ∶S△DHB= FH∶HB=DF ∶DB
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝
∴FH＝FG＝4，
∴
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF
∴
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴⊙O的直径为.