2023-2024学年山东省聊城市阳谷县九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省聊城市阳谷县九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题（共48分）
一、选择题（共12小题，每题4分，满分48分，有且只有一个正确答案）
1. 若两个相似三角形的面积比是，则它们对应边的中线之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵两个相似三角形的面积比是，
∴两个相似三角形的相似比是，
∴它们对应边的中线之比为，
故选：C．
2. 已知关于原点位似的两个图形上，一组对应点的坐标分别为和，则（ ）
A. 1B. C. 4D.
【答案】C
【解析】关于原点位似的两个图形上，一组对应点的坐标分别为和，
故，解得：；故选：C
3. 学校艺术节上,同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似，
故选：A．
4. 若锐角满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴，故选：C．
5. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图，过点A作AC⊥BC于C，
在Rt△ABC中，sinB=，则AC=AB•sinB=100sin65°（米），故选：A．
6. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（ ）
A. 95°B. 105°C. 115°D. 125°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠D=85°，
∴；
故选A．
7. 在中，，垂足为D，，则
（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，
∵于点D，∴．
∵，
∴．∴．∴，
设．∴,∴．
故选C．
8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为3米，则点C到弦所在直线的距离是（ ）

A. 1米B. 2米
C. 米D. 米
【答案】C
【解析】连接交于D，

由题意得：米，，
∴（米），，
由勾股定理得，（米），
∴米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
9. 如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，
∵已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴，
∵是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于，
∴的度数为，故选D．
10. 下列关于圆的说法中，正确的是（ ）
A. 过三点可以作一个圆
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 平分弦的直径垂直于弦
D. 圆的直径所在的直线是它的对称轴
【答案】D
【解析】A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．故选：D．
11. 如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】，．
故选：C．
12. 如图，在中，，定义：斜边与的对边的比叫做的余割，用“”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，故该选项是错误的，不符合题意；
B、，故该选项是错误的，不符合题意；
C、，故该选项是正确的，符合题意；
D、，故该选项是错误的，不符合题意；
故选：C
二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）
13. 如图，在平面直角坐标系中，与关于点P成位似图形，则该位似中心点P的坐标是______．
【答案】
【解析】如图所示：
位似中心点P的坐标是．
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，则__________．
【答案】10
【解析】∵中，，，，
∴，
∴，
故答案为：10．
15. 如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC=2m，CD=5.4m，∠DCF=30°，则车位所占的宽度EF为____米．（，结果精确到0.1）
【答案】4.4
【解析】在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF＝，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cs∠ADE＝，
∴DE＝，
∴EF＝ED+DF＝2.7+1.732≈4.4（米）．
故答案为: 4.4．
16. 半径为1的圆中，弦AB=，则弦AB所对的圆周角的度数为______
【答案】45°或135°
【解析】如图所示，∵OC⊥AB，∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=．在Rt△AOC中，OA=1，AC=，根据勾股定理得：OC==，即OC=AC，∴△AOC为等腰直角三角形，∴∠AOC=45°，同理∠BOC=45°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°．∵∠AOB与∠ADB都对，∴∠ADB=∠AOB=45°，∴∠AEB=135°，则弦AB所对的圆周角为45°或135°．故45°或135°．
17. 如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于_____cm．
【答案】
【解析】连接BC．
∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∴BC是⊙O的直径．
∵AB=6cm，AC=4cm，∴BC==（cm），
∴⊙O的半径为：cm．
故答案为．
18. 如图，圆的直径垂直于弦，垂足是，，，则的长为______．

【答案】
【解析】∵，
∴，
∵圆的直径垂直于弦，
∴，则为等腰直角三角形，
∵
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（共8小题，满分78分，应写出必要的文字说明和解题步骤）
19. 如图，在平行四边形中，点E为边上一点，点F为线段上一点，且．求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，．
∵，，
∴，
∴．
20. “圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表达为：“如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长为多少？
解：连接，
∵
∴，
设圆O的半径的长为x，则
∵，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：
所以（寸）．
21. 计算
（1）
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
22. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝0.5m，EF＝0.3m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，∴△DEF∽△DCB， ∴，
∵DF＝0.5 m，EF＝0.3 m，AC＝1.5 m，CD＝10 m，
由勾股定理得DE＝＝0.4 m， ∴，
∴BC＝7.5m， ∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9（m），
答：树高AB是9m．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠B＝60°，求AC的长．
解：如图，作直径AD，连接CD．
∴∠ACD=90°．
∵∠B=60°，
∴∠D=∠B=60°．
∵⊙O的半径为6，
∴AD=12．
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
∴CD=6．
∴AC=6．
24. 如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
解：（1）在⊙O中，
∵ OD⊥BC于D，
∴ BD=CD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC；
（2）连接OB，如图所示：
∵BC=8，由（1）得BD=CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ △ABC的面积：，
∴ △ABC面积为32．
25. 如图．已知中，．

（1）求的长；
（2）设边上的高线，交边于点，求的长．
解：（1）如图所示，过点作于点，

∵
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
（2）如图所示，

∵是边上的高，是边上的高，
∴
∴．
26. 无人机爱好者小新尝试利用无人机测量他家所住楼房的高度．小新站在距离楼房60米的O处，他操作的无人机在离地面高度米的P处，无人机测得此时小新所处位置O的俯角为，楼顶A处的俯角为．（O，P，A，B在同一平面内）
（1）求楼房的高度；
（2）在（1）的条件下，若无人机保持现有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，请问：经过多少秒，无人机刚好离开小新的视线？
解：（1）作，交于，，交于，
由题意可知，，米，米，
则米，
∴米，
∵，，
易知四边形为矩形，与飞行方向平行，
∴，米，，
∴米，
∴米；
（2）延长与飞行方向相交于，
由（1）知米，米，
∴，
∴，
∴，，
∴米，
∵无人机保持现有高度且以4米/秒的速度沿平行于的方向继续匀速向前飞行，
∴无人机刚好离开小新的视线的时间为：秒，
即：经过15秒，无人机刚好离开小新的视线．