2024~2025学年江苏省南通市如皋市十校高一(上)11月期中考试数学试卷(解析版)

这是一份2024~2025学年江苏省南通市如皋市十校高一(上)11月期中考试数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是，.
故选：D.
2. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，则，
由，得，解得，则，所以.
故选：C.
3. 已知函数，其中a、b为常数，若，则（ ）
A. B. 7C. D. 4
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，令，
则，函数是奇函数，
因此，而，
所以.
故选：A.
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B、D；
又，故排除C.
故选：A.
5. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85的物体，放在25℃的空气中冷却，1min以后物体的温度是75.若要将物体的温度降为45，需要冷却的时间为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：，，）
A. 5.8minB. 6.0minC. 6.2minD. 6.4min
【答案】B
【解析】由题意可知，，
当时，，于是，整理得，
当，于是，所以，故，
将代入可得，故，
故.
故选：B.
6. 若函数是奇函数，则实数a、b的值分别为（ ）
A. 1，1B. ，C. ，1D. 1，
【答案】D
【解析】已知时，.
当时，，根据函数表达式，.
因为是奇函数，所以.
当时，.
由可得.
对于，等式两边对应项系数相等.
对于的系数，可得，解得. 对于的系数，可得.
故，.
故选：D.
7. 已知，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为对数函数、均为上的增函数，
则，即.
故选：B.
8. 已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A. B.
C. 8D. 9
【答案】C
【解析】当时，不等式恒成立，
得当时，恒成立，且当时，恒成立，
即当时，恒成立，且当时，恒成立，
因此且，则，即，
于是，当且仅当，
即时取等号，所以的最小值为8.
故选：C.
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若函数的定义域是，则函数的定义域为
B. 对应，其中，，，则对应是函数
C. 对于定义在上的函数，若，则不是偶函数
D. 函数在上单调递增，在上单调递增，则在上是增函数
【答案】AC
【解析】对于A，根据题意可得，解得，
所以的定义域为，故A正确，
对于B，对应，其中，，，则对应不是函数，比如，则可取，故不符合函数定义，B错误，
对于C，若为偶函数，则需要对定义域内任意的都有，
因此对于定义在上的函数，若，则不是偶函数，C正确，
对于D，函数在上单调递增，在上单调递增，
则在上不一定是增函数，比如，但在上不是增函数，故D错误.
故选：AC.
10. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ）
A. B.
C. D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】作出的图象如下：令，则，
故，，A错误，BC正确；
令，则或
，结合图象可知，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数的定义域是且，当时，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C.
D. 满足不等式的的取值范围为
【答案】ACD
【解析】函数的定义域是且，
对于A，取，则，A正确；
对于B，，，由当时，，得，
于是，，函数在上单调递增，
B错误；
对于C，取，则，即，
则有，
因此，C正确；
对于D，由选项C知，，则，
，
不等式，则，解得，D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知幂函数的图像关于轴对称，则____________．
【答案】9
【解析】因为是幂函数，所以，即.
解得或.
当时，，，函数是奇函数，
其图像关于原点对称，不符合题意.
当时，，，函数是偶函数，
其图像关于轴对称，符合题意.
所以，.
将代入，可得.
13. 已知，，用含a、b式子表示____________．
【答案】
【解析】因为，
.
由，可得，将其代入中，
得到.
对进行化简，所以，.
因为.
把代入可得：.
14. 已知函数为上的偶函数，对任意，当时，均有成立，若，则实数的取值范围为____________．
【答案】或
【解析】由任意，均有成立，
得在上单调递减，
又函数为R上的偶函数，则在上单调递增，
不等式
，则，
即或，解得或，
所以实数的取值范围为或.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数且．
（1）若在区间上的最大值是2，求实数的值；
（2）若函数且在上是增函数，求实数的取值范围：
解：（1）当时在上单调递增，
则，即，解得或（舍去）；
当时在上单调递减，
则，即，解得或（舍去）；
综上可得或.
（2）因为且在上增函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
16. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求a、b的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由于是R上的奇函数，
，即，所以，，
又，所以，解得，经检验符合题意.
（2）在R上单调递增，证明如下：
由于，可得，
设，则，
由于，故
因此，，
故R上单调递增.
（3）由于为奇函数，故由可得，
又在R上单调递增，因此对任意实数恒成立，
故，
由于对勾函数在单调递减，故当取最小值，
因此，故.
17. 已知二次函数满足，且．
（1）求的解析式；
（2）记，当时，求的最大值（用表示）．
解：（1）设，由，
得，即，
因此，解得，，
由，得，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，
当时，，，在上单调递减，
，
当，即时，，在上单调递增，
，
当时，，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
所以的最大值.
18. 已知函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且满足．
（1）求函数，的解析式；
（2）若在区间上的最大值为，求实数的值．
解：（1）因为函数，分别为定义在上的奇函数和偶函数，
且满足，所以，即，
解得，.
（2）因为，所以，
，
则
，
令，因为与在上单调递增，
则在上单调递增，
所以，，
所以，
令，，
依题意可得在上的最大值为，
因为，
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）；
当时，，解得（舍去）；
综上可得.
19. 定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”．
（1）判断是否为“伴随函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：；
（3）已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求取值范围．
解：（1）函数的定义域为，
取，则，此时，不存在，使得，
因此，函数不是“伴随函数”.
（2）因为函数在定义域上为增函数，则存在，
使得，
若，则，
根据题意，存在，使得，矛盾，
故，所以，，
所以，，即.
（3）若，则当时，，
此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”，
所以，，所以，函数在上单调递增，
则，，
由“伴随函数”的定义可得，
因为，解得，即，，
当时，，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因为，，恒有，
则，所以，，
令，则，由题意可得，
令，，函数在上单调递增，
所以，，则，
因此，实数的取值范围是.